2023届高考数学一轮复习单元测试--第二章直线和圆的方程A卷（Word版附解析）

2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第二章直线和圆的方程A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（）A．B．C．D．2．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（）A．B．C．D．3．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．4．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A．B．C．D．5．已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆\n的切线，，切点分别为，，则最小时，原点到直线的距离为（）A．B．C．D．6．直线被圆所截得的弦长为，则（）A．B．C．D．7．已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（）A．或B．或C．D．8．已知直线l与单位圆O相交于，两点，且圆心O到l的距离为，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（）A．B．C．D．10．一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11．设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（）A．B．\nC．D．12．下列说法正确的是（）A．直线必过定点B．直线在轴上的截距为C．直线的倾斜角为60°D．过点且垂直于直线的直线方程为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线（切点为），若的最大值为，则该圆的半径r等于____．14．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是___________.15．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于、两点，过点、分别作圆的两条切线与，直线与交于点，则线段长度的最小值是___________.16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；\n（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.18．点E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，点M在边AB上，且，沿图1中的虚线DE，EF，FD将，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.\n（1）证明：；（2）若正方形ABCD的边长为6，求点M到平面DEF的距离.19．已知点在抛物线上，过点作圆()的两条切线，与抛物线分别交于､两点，切线､与圆分别相切于点､.（1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标；（2）若点的坐标为，且时，求的值；（3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围.\n20．如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长;（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大?21．如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．\n22．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.（1）求圆的圆心坐标和面积；（2）若直线的斜率为，求弦的长；（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得：，所以圆心，半径，由为等腰直角三角形知，圆心到直线的距离，所以，解得，故选：D.2．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（）\nA．B．C．D．【答案】D【解析】将圆与圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为，即，由，得，即点，因此，，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的取值范围是.故选：D.3．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将代入得，将代入得，所以A，B不在直线l上，又上，所以点p在线段AB上，直线AB的方程为：，由，解得，直线方程，即为，\n设直线的倾斜角为，则，因为，所以，则，所以，即，因为，所以，故选：D4．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为，可知，过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，\n故选：C5．已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，，切点分别为，，则最小时，原点到直线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，所以圆心，半径，在中，，当最小时，最小，最大，最小，此时，的最小值为圆心到直线的距离：，此时，，因为，所以，所以圆心到直线的距离为，所以两平行直线与之间的距离为，因为原点到直线的距离为，所以原点到直线的距离为.故选：A6．直线被圆所截得的弦长为，则（）\nA．B．C．D．【答案】A【解析】，即，该圆圆心为，半径为直线截圆所得的弦长为，则圆心到直线的距离为，解得故选：A7．已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（）A．或B．或C．D．【答案】A【解析】解：已知点，与直线，且直线与线段相交，直线，即直线，它经过定点，的斜率为，的斜率为，则直线的斜率的取值范围为或，故选：.8．已知直线l与单位圆O相交于，两点，且圆心O到l的距离为，则的取值范围是（）\nA．B．C．D．【答案】A【解析】圆的方程为，圆心到直线的距离为，交于与，由与联立得或，则，排除BD；圆心到直线的距离为，交于和设与联立得或则，排除D，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】圆方程可化为：，则圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；圆与圆有且仅有两条公切线，两圆相交，又两圆圆心距，，即，解得：或，可知CD中的的取值满足题意.\n故选：CD.10．一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】由题意知的图象过点和，所以直线，，又和中和y的系数相同，且的图象过，所以.对于A，，所以A正确；对于B，，，所以，选项B正确；对于C，，所以C错误；对于D，，，所以D错误.故选AB.11．设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由可得，故圆的直径是4，\n所以直线过圆心，即，故B正确；又，均为正数，所以由均值不等式，当且仅当时等号成立；故C正确；又，当且仅当，即，即时，等号成立，故D正确.故选：BCD12．下列说法正确的是（）A．直线必过定点B．直线在轴上的截距为C．直线的倾斜角为60°D．过点且垂直于直线的直线方程为【答案】ABD【解析】可化为，则直线必过定点，故A正确；令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；设过点且垂直于直线的直线的斜率为因为直线的斜率为，所以，解得则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线（切点为），若的最大值为，则该圆的半径r等于____．【答案】1【解析】\n设圆的圆心为，因为点P是直线上的动点，所以当点到点的距离最小时，取得最大值，此时与直线垂直，因为为，所以，点到直线的距离为，在中，，故答案为：114．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是___________.【答案】【解析】由函数有两个不同的零点，可知与的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当与的图象相切时，，即，由图可知，故相切时，因此结合图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，即当时，函数有两个不同的零点.故答案为：.\n15．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于、两点，过点、分别作圆的两条切线与，直线与交于点，则线段长度的最小值是___________.【答案】【解析】圆的圆心坐标为，半径为．直线过定点，连接、，如图，为圆的半径是定值，，要使最小，则最大，即最小，也就是最小，此时，，，．求得，线段长度的最小值是．故答案为：．16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为_____________.\n【答案】【解析】设点关于直线的对称点，解得，所以，将军从P出发到达直线上点A再到营区，，所以本题问题转化为求点到营区的最短距离，根据圆的几何性质可得最短距离为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）设圆的方程为：，根据题意得，故所求圆M的方程为：；（2）如图，\n四边形的面积为，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即为点到直线的距离所以，四边形面积的最小值为.18．点E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，点M在边AB上，且，沿图1中的虚线DE，EF，FD将，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.（1）证明：；（2）若正方形ABCD的边长为6，求点M到平面DEF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为是正方形，\n所以折起后有，.又交于点，所以平面.又平面，所以.（2）设点到平面的距离为，因为AB=3AM，所以PE=3ME，所以点M到平面DEF的距离为.又两两垂直，所以平面.因为，，所以.而，所以，解得，所以点到平面的距离为.19．已知点在抛物线上，过点作圆()的两条切线，与抛物线分别交于､两点，切线､与圆分别相切于点､.（1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标；（2）若点的坐标为，且时，求的值；（3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】（1）设点的坐标为，则，解得或，即点的坐标为或；\n（2）当点的坐标为，且时，，在直角三角形中，，且，同理，，且，从而；（3）由题意知切线､的斜率均存在且不为零，设切线方程为，由，得，记切线､的斜率分别为､，则，由于切线､的方程分别为､，联立，消去，得，设､，则，故，同理，，于是，因为，所以，.所以.即的取值范围是.20．如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.\n（1）求新桥BC的长;（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大?【答案】(1)150m(2)|OM|=10m【解析】试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1）点坐标为，，因此要求的长，就要求得点坐标，已知说明直线斜率为，这样直线方程可立即写出，又，故斜率也能得出，这样方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，列出不等式组，可求得的范围，进而求得最大值．当然本题如果用解三角形的知识也可以解决．试题解析：（1）如图，以为轴建立直角坐标系，则，，由题意，直线方程为．又，故直线方程为，由，解得，即，所以\n；（2）设，即，由（1）直线的一般方程为，圆的半径为，由题意要求，由于，因此，∴∴，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大．21．如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为，直线L的方程为．（1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，\n∴，．将x=4代入，得．∴MN的中点坐标为（4，0），MN=．∴以MN为直径的圆的方程为．同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是．（2）设点P的坐标为，∴（），∴．∵，将x=4代入，得，．∴，MN=．MN的中点坐标为．以MN为直径的圆截x轴的线段长度为为定值．∴⊙必过⊙O内定点．22．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.（1）求圆的圆心坐标和面积；（2）若直线的斜率为，求弦的长；（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程．【答案】(1)见解析;(2);(3)，或．【解析】（1）圆的圆心坐标为，半径，面积为；（2）直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，；\n（3）因圆上恰有三点到直线的距离等于，转化为则圆心到直线的距离为，当直线垂直于轴时，显然不合题意；设直线的方程为，即，由，解得，故直线的方程为，或