易错点12函数的单调性、极值和最值问题一、单选题1.函数 数 m ln数ʹ ݔm ݔ ʹ的单调增区间是 洠A. 洠和 ݔ ʹʹ ݔ B. 和 ݔ ʹ44洠C. 洠和 ݔ ʹ ݔ D. 洠和 ݔ ʹ42. 数 m 数 mʹ在 ʹ处有极小值，则常数c的值为A.2B.6C.2或6D.13.函数 数 m ln ݔ䁒 有小于1的极值点，则实数a的取值范围是A. 洠B. 洠C. 洠 D.数 洠m 数 ݔ m4.设函数 数数m 数数数 m，函数 数数m 数 数 > m，若对任意的数 ∈[ ]，总存在数 ∈[ ]，使得 数数 m 数数 m，则实数m的取值范围是 洠ʹA.[ ]B.[ ]C.[ ݔ ].Dm ݔ m 5.下列说法正确的是A.若p： ，sin 洠，则¬ sin >洠．B.命题“已知 䁪∈ ，若 ݔ䁪 ，则 ʹ或䁪 洠”是真命题．C.“ ʹݔʹ 䁒 在 ∈[洠 ʹ]上恒成立” “数 ʹݔʹ mmin 数䁒 mmin在 ∈[洠 ʹ]上恒成立”．ʹ洠D.函数䁪 ݔ ݔ数 ∈ m的最小值为2． ʹݔ 二、单空题洠 ʹ6.已知 数 m ݔ ݔ洠在数 洠 洠m单调递减，则m的取值范围为________． ʹ7.已知函数 数 m 数ʹ ݔ洠m ݔ洠ݔ䁒 数䁒∈ e是自然对数的底数m 若有且仅有3个负整数 洠， ʹ， ，使得 数 洠m ， 数 ʹm ， 数 m ，则a的最小值是______．ʹ洠洠8.已知函数 数 m ln ݔ䁒 4在 处取得极值，若 得∈ 洠，则 数 mݔ 数得mʹ4的最大值是_______．9.已知函数 数 m的定义域为[ 洠 ]，部分对应值如下表， 数 m的导函数䁪 数 m的图\n象如图所示 下列关于 数 m的命题：x 洠045 数 m1221 函数 数 m的极大值点为0，4； 函数 数 m在[ ʹ]上是减函数； 如果当 ∈[ 洠 䀀]时， 数 m的最大值是2，那么t的最大值为4； 函数䁪 数 m与䁪 䁒的交点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是____________________．三、解答题洠 ʹʹ10.已知函数 ݔ 得ݔ ݔ ，其导函数 的图象关于y轴对称， 洠 ． 数Ⅰm求实数m，n的值；数Ⅱm若函数䁪 的图象与x轴有三个不同的交点，求实数 的取值范围．洠 ʹ11.已知函数 数 m ݔʹ䁒 ݔ香 ，且 数 m在 处取得极值 ． \n数洠m求曲线䁪 数 m在数 m处的切线方程；数ʹm求 数 m在[ ]上的最大值和最小值．12.如图，在四棱锥 中，底面菱形ABCD的两对角线的交点为O， 4， ʹ，且 ， ʹ，E为AO的中点．数洠m证明： ；ʹ䀀 数ʹm设P为截面SAC上的动点，满足 䀀sin䀀 数 䀀 m 设F，G分别为 ʹAB，BC的中点，求点P到平面SFG的最大距离． 䁒13.已知函数 数 m ln数䁒 m 数䁒> m的最小值为0． 数洠m求 数 m的解析式；\n洠数ʹm若函数 数 m 数 m 有两个零点 洠 ʹ，且 洠 ʹ，求证： 洠ݔ ʹ>洠ʹ 一、单选题1.函数 数 m ln数ʹ ݔm ݔ ʹ的单调增区间是 洠A. 洠和 ݔ ʹʹ ݔ B. 和 ݔ ʹ44洠C. 洠和 ݔ ʹ ݔ D. 洠和 ݔ ʹ4【答案】A 【解析】解：函数 的定义域为 ݔ ，ʹʹ4 ʹݔ ݔʹ又 ݔʹ ，ʹ ݔ ʹ ݔ 令 > ，即4 ʹݔ ݔʹ> ，化简得ʹ ʹݔ ݔ洠> ，洠解得 洠 或 > ，ʹ 又函数 的定义域为 ݔ ，ʹʹ 故函数 数 m ln 数ʹ ݔm ݔ 的单调递增区间为 洠和．ʹ故选A．2. 数 m 数 mʹ在 ʹ处有极小值，则常数c的值为A.2B.6C.2或6D.1【答案】A【解析】解： 函数 数 m 数 mʹ， 数 m ʹ 4 ݔ ʹ，又 数 m 数 mʹ在 ʹ处有极值， 数ʹm 洠ʹ ൌ ݔ ʹ ，解得 ʹ或6，又由函数在 ʹ处有极小值，故 ʹ， 时，函数 数 m 数 mʹ在 ʹ处有极大值，\n故选A．3.函数 数 m ln ݔ䁒 有小于1的极值点，则实数a的取值范围是A. 洠B. 洠C. 洠 D.数 洠m 数 ݔ m【答案】B【解析】解：因为 数 m ln ݔ䁒 ，所以函数定义域为 > ，洠洠由 数 m ݔ䁒 得，䁒 ， ， 䁒又函数 数 m ln ݔ䁒 有小于1的极值点，洠所以 洠且䁒 ，所以䁒 洠，䁒故选B．4.设函数 数数m 数数数 m，函数 数数m 数 数 > m，若对任意的数 ∈[ ]，总存在数 ∈[ ]，使得 数数 m 数数 m，则实数m的取值范围是 洠ʹA.[ ]B.[ ]C.[ ݔ ].Dm ݔ m 【答案】D【解析】解：要对任意的 洠∈[ ʹ ʹ]，总存在 ʹ∈[ ʹ ʹ]，使得 数 洠m 数 ʹm，则 数 m的值域是 数 m的值域的子集，，所以 在 上单调递减，在 ݔ 上单调递增，即 在[ ʹ m上单调递减，在数 ʹ]上单调递增，， ʹ ʹ， 数 m 洠，所以 ∈ 洠 ʹ，因为函数 且 > ，所以 在[ ʹ ʹ]上单调递增， ʹ ， ʹ ，所以 ∈ ，因为 数 m的值域是 数 m的值域的子集， ʹ所以且 > ， 洠\n解得 ʹ．故选D．5.下列说法正确的是A.若p： ，sin 洠，则¬ sin >洠．B.命题“已知 䁪∈ ，若 ݔ䁪 ，则 ʹ或䁪 洠”是真命题．C.“ ʹݔʹ 䁒 在 ∈[洠 ʹ]上恒成立” “数 ʹݔʹ mmin 数䁒 mmin在 ∈[洠 ʹ]上恒成立”．ʹ洠D.函数䁪 ݔ ݔ数 ∈ m的最小值为2． ʹݔ 【答案】B【解析】解：对于选项A，若：，sin 洠，则：， 所以该选项不正确；对于选项B，命题“已知，若，则或”的逆否命题为“若且，则”，由于逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，所以该选项正确；对于选项C，“在上恒成立”不等价于“在上恒成立”，因为不等式两边的自变量都是“”，它只表示两边函数取相同的自变量时，左边的函数值不小于右边的函数值，所以不等价于“在上恒成立” 所以该命题不正确；对于选项D，函数的最小值不是ʹ 设，所以因为，所以函数在单调递增，所以函数的最小值为，所以该选项错误．故选：B．二、单空题洠 ʹ6.已知 数 m ݔ ݔ洠在数 洠 洠m单调递减，则m的取值范围为________． ʹ\n【答案】 【解析】解：由题可得 数 m ʹݔ ，而 数 m在 洠 洠上单调递减，则 数 m ʹݔ 对 ∈ 洠 洠恒成立， 数 洠m 因此有 数洠m 解得 即 ．所以m的取值范围是 ．故答案为 ．7.已知函数 数 m 数ʹ ݔ洠m ݔ洠ݔ䁒 数䁒∈ e是自然对数的底数m 若有且仅有3个负整数 洠， ʹ， ，使得 数 洠m ， 数 ʹm ， 数 m ，则a的最小值是______． 【答案】 ʹ【解析】解：由 数 m 可得数ʹ ݔ洠m ݔ洠 䁒 ．令 数 m 数ʹ ݔ洠m ݔ洠， 数 m 䁒 ，则 数 m 数ʹ ݔ m ݔ洠， 当 ， 数 m ，当 > ， 数 m> ，故 是极小值点，ʹʹʹ洠且 数 m ，故 数 m的图象如图所示．ʹ显然，当䁒 时满足 数 m 的负整数x有无数个，因此䁒 ． 数 m 数 m ʹ 䁒此时必须满足即， 数 4m> 数 4m >4䁒 解得 ʹ 䁒 ，则a的最小值是 ʹ， 4 故答案为 ． ʹ\nʹ洠洠8.已知函数 数 m ln ݔ䁒 4在 处取得极值，若 得∈ 洠，则 数 mݔ 数得mʹ4的最大值是_______．【答案】ʹ洠【解析】解： 数 m ln ݔ䁒 4，则 数 m ݔʹ䁒 ． 洠依题意可得 数m ʹݔ䁒 ，可得䁒 ʹ．ʹʹ洠所以 数 m ln ʹ 4 数 m 4 ． 洠洠洠 4 ʹ当 ∈[ m 数 m > ，此时 数 m单调递增，4ʹ 洠洠洠当 ∈数 洠] 数得m 4 在[ 洠]上单调递减，ʹ得ʹ4洠所以 max数得m 数m ，即 max 数得m ．4所以 数 mݔ 数得m的最大值为．9.已知函数 数 m的定义域为[ 洠 ]，部分对应值如下表， 数 m的导函数䁪 数 m的图象如图所示 下列关于 数 m的命题：x 洠045 数 m1221 函数 数 m的极大值点为0，4； 函数 数 m在[ ʹ]上是减函数； 如果当 ∈[ 洠 䀀]时， 数 m的最大值是2，那么t的最大值为4； 函数䁪 数 m与䁪 䁒的交点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是____________________．【答案】 ．【解析】解： 由导函数的图象知，函数 数 m的最大值点为0与4，故 正确；\n由已知中䁪 数 m的图象可得在[ ʹ]上 数 m ，即 数 m在[ ʹ]是减函数，即 正确；由已知中䁪 数 m的图象，及表中数据可得当 或 4时，函数取最大值2，若 ∈[ 洠 䀀]时， 数 m的最大值是2，那么 䀀 ，故t的最大值为5，即 错误； 函数 数 m在定义域为[ 洠 ]共有两个单调增区间，两个单调减区间，故函数䁪 数 m 䁒的零点个数可能为0、1、2、3、4个，即函数䁪 与䁪 䁒的交点个数可能为0、1、2、3、4个，因 正确，综上可得正确命题的序号是 ．故答案是 ．三、解答题洠 ʹ10.已知函数 ݔ 得ݔ ݔ ，其导函数 的图象关于y轴对称， ʹ 洠 ． 数Ⅰm求实数m，n的值；数Ⅱm若函数䁪 的图象与x轴有三个不同的交点，求实数 的取值范围．【答案】解：数Ⅰm 数 m ʹݔʹ ݔ得 函数 数 m的图象关于y轴对称， ．洠ʹ又 数洠m ݔ得ݔ ，解得得 4 ，得 4． 数Ⅱm问题等价于方程 数 m 有三个不相等的实根时，求 的取值范围．洠 ʹ由数Ⅰm，得 数 m 4 ݔ 数 m 4 令 数 m ，解得 ʹ． 当 ʹ或 >ʹ时， 数 m> ， 数 m在数 ʹm，数ʹ ݔ m上分别单调递增．又当 ʹ ʹ时， 数 m ， 数 m在数 ʹ ʹm上单调递减．ʹ 数 m的极大值为 数 ʹm ，极小值为 数ʹm ． 实数 的取值范围为．洠 ʹ11.已知函数 数 m ݔʹ䁒 ݔ香 ，且 数 m在 处取得极值 ． 数洠m求曲线䁪 数 m在数 m处的切线方程；数ʹm求 数 m在[ ]上的最大值和最小值．\n 数 m ݔ洠ʹ䁒ݔ香 【答案】解：数洠m 数 m ʹݔ4䁒 ݔ香，由 数 m ݔ洠ൌ䁒ݔ 香 䁒 洠 ʹ得所以 数 m ݔ4 ʹ洠．香 ʹ洠 因为 数 m ʹ洠，所以曲线䁪 数 m在数 m处的切线方程为ʹ洠 ݔ䁪 ．数ʹm由数洠m知 数 m ʹݔ 数 洠ʹ 4ݔ m数 m， ∈[ ]，令 数 m ，得 ；令 数 m> ，得 ．所以 数 m在[ m上单调递减，在数 ]上单调递增，故 数 m 쳌得 数 m ．因为 数 m ʹ， 数m 洠ൌ，所以 数 m 䁒 数 m ʹ．12.如图，在四棱锥 中，底面菱形ABCD的两对角线的交点为O， 4， ʹ，且 ， ʹ，E为AO的中点．数洠m证明： ；ʹ䀀 数ʹm设P为截面SAC上的动点，满足 䀀sin䀀 数 䀀 m 设F，G分别为 ʹAB，BC的中点，求点P到平面SFG的最大距离．【答案】解：数洠m证明：在菱形ABCD中， 又 ，所以， ，又因为AC， 平面SAC， ，所以， 平面SAC，因为 平面SAC，从而， ．因E为AO的中点，且 ，所以， ，因为BD， 平面ABCD， ，\n所以， 平面ABCD，因为 平面ABCD，所以 ．数ʹm 为坐标原点，过A平行BD的直线为x轴，AC所在直线为y轴，过A垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系． 洠 ʹ，洠洠故则 数 m 数 洠 m 数 4， m， 数 1，洠m， 数 洠 m 数 m．ʹʹ洠设平面SFG的法向量为 数 䁪 m， 数 ʹ m 数 洠m，ʹʹ䁪 由得洠令 ʹ，则 数ʹ 洠m． ʹ ݔ 所以，设点P到平面SFG的最大距离为 数䀀m，则点P到平面SFG的距离．则，故 数䀀m在上单调递增，因此， 数䀀m的最大值为．即点P到平面SFG的最大距离为． 䁒13.已知函数 数 m ln数䁒 m 数䁒> m的最小值为0． 数洠m求 数 m的解析式；洠数ʹm若函数 数 m 数 m 有两个零点 洠 ʹ，且 洠 ʹ，求证： 洠ݔ ʹ>洠．ʹ 【答案】解：数洠m，定义域为，从而，\n令，由于，则；故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，，故，．数ʹm，，是函数的两个零点，，两式相减，可得即，故．\n，．令，其中，则，构造函数，则．对于，恒成立，故，即．可知，
