易错点4函数的图象一、单项选择题 1.形如 如 Ͳ 的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生 动地称为“囧函数” 若函数 如 洠 且 洠 有最小值，则当 如洠Ͳ 如洠时的“囧函数”与函的图象交点个数为 A.1B.2C.4D.62.已知实数m是给定的常数，函数 如 洠的图象不可能是 A.B.C.D.3.记实数 洠， ， ， 中的最大数为max 洠Ͳ Ͳ···Ͳ ，最小数为min 洠Ͳ Ͳ···Ͳ ，则 ݔ ሼ ݔ 洠Ͳ 洠Ͳ െെ如 A.B.1C.3D. 4.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美” 如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美 给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①正弦函数 如sin 可以是无数个圆的“优美函数”； 洠 洠 洠 ②函数 如 可以是无数个圆的“优美函数”； 洠 洠③函数 如ln 洠可以是某个圆的“优美函数”；④函数 如 是“优美函数”的充要条件为函数 如 的图象是中心对称图形 其中正确命题的序号是 A.①③④B.①②C.②③D.①②④5.定义在R上的函数 同时满足：①对任意的 都有 洠 如 ；②当 \n 洠Ͳ 时， 如 若函数 如 log 洠 恰有3个零点，则a的最大值是 A.5B.2C.3D.46.定义在R上的函数 同时满足：①对任意的 都有 洠如 ；②当 洠Ͳ 时， 如 若函数 如 log 洠恰有3个零点，则a的最大值是 A.5B.2C.3D.4 7.已知函数 与 的图象如图所示，则不等式的解集为 ൏ ൏ A. Ͳ洠B.洠ͲC.Ͳ D. Ͳ 8. 如ln cos 的部分图象大致为 A.B.C.D.二、多项选择题9.设函数 如 ，给出的四个说法正确的是 A. 如 时，有成立B. 如 ， 时，方程 如 ，只有一个实数根C. 如 的图象关于点 Ͳ 对称D.方程 如 ，至多有两个实数根10.设 是函数 的导函数，将 如 和 如 的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是 \nA.B.C.D.11.如图，某池塘里浮萍的面积 单位： ，与时间 单位：月 的关系为 如 ， 且 洠 ，则下列说法正确的是 ①浮萍每月的增长率为1②第5个月时，浮萍的面积就会超过 ③浮萍每月增加的面积都相等④若浮萍蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 洠， ， ，则 洠 如 A.①B.②C.③D.④12.已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数 的图象的是 A.B.C.D.三、填空题13.设函数，若函数 恰有3个零点，则实数m的取值范围为__________．14. 表示不超过x的最大整数，例如 如 ， 洠 如 ，已知 如 ，\n 如log 洠 ，则函数 如 的零点个数是________．15.已知函数 如 洠 洠 Ͳe是自然对数的底数 若有且仅有3个负整数 洠， ， ，使得 洠 ， ， ，则a的最小值是______．πx16.对于函数 如lg 和 如sin 洠 ，下列说法正确的是___________． 洠 函数 如lg 的图象关于直线 如 对称；πx 如sin 洠 的图象关于直线 如 对称； 两函数的图象一共有10个交点； 两函数图象的所有交点的横坐标之和等于30； 两函数图象的所有交点的横坐标之和等于24．四、解答题 17.设函数，其中 ൏ ൏ ，已知 如 ． Ⅰ 求 ； Ⅱ 将函数 如 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 ，再将得到 的图象向左平移个单位，得到函数 如 的图象，求 在 Ͳ 上的最小值． sin 18.已知函数 如，将函数 如 的图象上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再 \n洠 将图象上每个点的横坐标缩短到原来的，然后向左平移个单位，再向上平移个单位， 得到 如 的图象． 洠 当 Ͳ 时，求 的值域； 已知锐角 䳌䁨的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 如， 如 ， 如 ， 求 䳌䁨的面积． 19.已知，将函数 的图象向左平移个单位得到函洠 数 如 的图象． 洠 求函数 的最小正周期和单调递减区间； 当 Ͳ时，求函数 的取值范围． 20.已知函数 如ሻ ሼ െ ݍ 其中p，q是实数 的部分图象如图所示．\n 洠 求函数 如 ሼ 形式的解析式及其最小正周期； 将函数 如 的图象向左平移 ൏ ൏ 个单位长度后，得到函数 如 的图象，已知点 Ͳ ，若函数 如 的图象上存在点Q，使得 晦如 ，求函数 如 在区间 Ͳ 内的单调增区间和最值． 21. 洠 已知 Ͳ ，使得函数 如lg 洠 的定义域为R的概率为________． 古代数学家杨辉在沈括的隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由 个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n层，最下层 即下底 由 个球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下： 如 ，根据以上材料，我们可得洠 如________． 洠 cosͲ 洠Ͳ洠 设函数， 如 函数 如 ，若存在唯一的 Ͳ ൏ 洠Ͳ x，使得 如 ሼ ݔ Ͳ െ的最小值为 ，则实数a的取值范围为________． 已知 䳌䁨中， ሼ 䳌 ሼ 䁨如 ሼ ሼ 䳌 ሼ 䁨 ሼ ，则sin 如________ \n一、单项选择题 1.形如 如 Ͳ 的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生 动地称为“囧函数” 若函数 如 洠 且 洠 有最小值，则当 如洠Ͳ 如洠时的“囧函数”与函的图象交点个数为 A.1B.2C.4D.6【答案】C【解析】 函数 如 洠 Ͳ 洠有最小值， 洠， 洠 当 如洠Ͳ 如洠时， 如如， 洠洠画出函数 如与 如log 的图象在同一坐标系数内的图象： 洠 结合图形，得到交点个数有4个．故选C．2.已知实数m是给定的常数，函数 如 洠的图象不可能是 A.B.C.D.【答案】D【解析】当 如 时，C符合题意；当 时， 如 ， 如 ，设 如 的两根为 洠， ， 则 洠 如 ൏ ，则两个极值点 洠， 异号，则D不合题意． \n故选D．3.记实数 洠， ， ， 中的最大数为max 洠Ͳ Ͳ···Ͳ ，最小数为min 洠Ͳ Ͳ···Ͳ ，则 ݔ ሼ ݔ 洠Ͳ 洠Ͳ െെ如 A.B.1C.3D. 【答案】D【解析】在同一坐标系中作出三个函数 如 洠， 如 洠与 如 的图象如图：由图可知， ሼ ݔ 洠Ͳ 洠Ͳ െ为射线AM，抛物线的一部分ANB，线段BC，与射线CT的组合体，显然，在C点时， 如 ሼ ݔ 洠Ͳ 洠Ͳ െ取得最大值． 如 解方程组得，䁨 Ͳ ， 如 洠 ሼ 洠Ͳ 洠Ͳ 如 故答案为． 故选D．4.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美” 如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美 给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①正弦函数 如sin 可以是无数个圆的“优美函数”； 洠 洠 洠 ②函数 如 可以是无数个圆的“优美函数”； 洠 洠\n③函数 如ln 洠可以是某个圆的“优美函数”；④函数 如 是“优美函数”的充要条件为函数 如 的图象是中心对称图形 其中正确命题的序号是 A.①③④B.①②C.②③D.①②④【答案】B【解析】将圆的圆心放在正弦函数 如 ሼ 的对称中心上，则正弦函数 如 ሼ 是该圆的“优美函数”；故有无数个圆成立，故①正确； 洠 洠 洠 洠 洠 洠 洠 洠 洠 函数 如 的定义域是R， 如 如 如 洠 洠 洠 洠洠 洠 洠 洠 洠 ， 如 是奇函数，将圆心放在原点，故对于任意一个圆O，都是 洠 洠优美函数，故②正确；函数 如ln 洠 是偶函数，在 时是单调递增的，大致图象如图1，故其不可能为圆的“优美函数”； ③不正确；函数 如 的图象是中心对称图形，则 如 是“优美函数”，但函数 如 是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2，故④错误．故选B．5.定义在R上的函数 同时满足：①对任意的 都有 洠 如 ；②当 洠Ͳ 时， 如 若函数 如 log 洠 恰有3个零点，则a的最大值是 A.5B.2C.3D.4【答案】C【解析】画出函数 如 的图象，如下图所示．\n若函数 如 log 洠 恰有3个零点，则函数 如log 的图象与函数 如 的图象有3个交点．log ൏洠则需满足，解得 ൏ ，所以实数a最大值为3， ݍ 洠故选C．6.定义在R上的函数 同时满足：①对任意的 都有 洠如 ；②当 洠Ͳ 时， 如 若函数 如 log 洠恰有3个零点，则a的最大值是 A.5B.2C.3D.4【答案】C【解析】由题意得方程有三个解，所以函数 如 和的图象有三个交点，因为对任意的 都有 洠 如 ，所以函数 如 是周期为1的函数，又当 洠Ͳ 时， 如 ，画出函数 如 的图象，如下图所示．结合图象可得，要使两函数的图象有三个交点，\n ݍ ൏洠则需满足，解得 ൏ ， ݍ 洠 实数a最大值为3，故选C． 7.已知函数 与 的图象如图所示，则不等式的解集为 ൏ ൏ A. Ͳ洠B.洠ͲC.Ͳ D. Ͳ 【答案】A【解析】图中实线部分曲线应为导函数 如 的图象， 则函数 如 在区间 Ͳ 上的减区间为 Ͳ，增区间为Ͳ ，合乎题意． 由图象可知，不等式的解集为 Ͳ洠． ൏ ൏ 故选A． 8. 如ln cos 的部分图像大致为 A.B.C.D.【答案】B【解析】 如 ，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，，排除C，故选B．\n二、多项选择题9.设函数 如 ，给出的四个说法正确的是 A. 如 时，有成立B. 如 ， 时，方程 如 ，只有一个实数根C. 如 的图象关于点 Ͳ 对称D.方程 如 ，至多有两个实数根【答案】ABC【解析】对 当 如 时， 如 ， ， 如 恒成立，故A正确．对䳌 如 Ͳ 时，得 如 在R上为单调增函数，且值域为R，故方程 如 ，只有一个实数根，故B正确．对䁨 因为 如 ，所以 如 ，可得函数 的图象关于点 Ͳ 对称，故C正确．对 当 ൏ ， 时，函数 的大致图像如下图 此时方程 如 有3个实根，且为根最多的情况，故D错误．故选ABC．10.设 是函数 的导函数，将 如 和 如 的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是 A.B.\nC.D.【答案】ABC【解析】 若 是二次函数图象，则递增时，递减时，，图形符合，B.若 Ͳ 是与x轴无交点的曲线的图象，根据图象恒成立，则 单调递增，图形符合，C.若 是下面的图象，呈单调递增，则，图形符合，D.若 是上面的图象，左递增，则，图形不符合，若 是下面的图象，中间递减，则，图形不符合，故选ABC．11.如图，某池塘里浮萍的面积 单位： ，与时间 单位：月 的关系为 如 ， 且 洠 ，则下列说法正确的是 ①浮萍每月的增长率为1②第5个月时，浮萍的面积就会超过 ③浮萍每月增加的面积都相等④若浮萍蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 洠， ， ，则 洠 如 A.①B.②C.③D.④【答案】ABD【解析】由题意可知：浮萍蔓延的面积 与时间 月 的关系： 如 且 洠 ，且由函数图象可知函数过点 洠Ͳ ， 洠如 ， 如 ， 这个指数函数的底数是2，可知浮萍每月的增长率为1，正确； 函数的解析式为： 如 ，对于②，当 如 时， 如 如 ，故第5个月时，浮萍的面积就会超过 ，成立；对于③，浮萍一月增加的面积与浮萍二月增加的面积不相等，C错误；对于④，由于： 如 洠， 如 ， 如 ， 洠如洠， 如log ， 如log ，\n又因为洠 log 如log log 如log 如log ， 若浮萍蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 洠， ， ，则 洠 如 成立．正确为：①②④．故选：A、B、D．12.已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数 的图象的是 A.B.C.D.【答案】BCD【解析】由导函数图象可知，函数 在 Ͳ ， Ͳ 上递增，在 Ͳ 上递减，由选项可知，只有选项A符合题意，选项B，C，D均不合题意．故选BCD．三、填空题13.设函数，若函数 恰有3个零点，则实数m的取值范围为__________．【答案】 洠Ͳ 【解析】由题意，设函数令 如 ，即 如 ，所以问题转化为 如 ， 如 有3个交点，在坐标系内，作出函数 的图象如下所示：\n结合图象可知： 洠൏ ，故实数m的取值范围为 洠Ͳ ．故答案为 洠Ͳ ．14. 表示不超过x的最大整数，例如 如 ， 洠 如 ，已知 如 ， 如log 洠 ，则函数 如 的零点个数是________．【答案】2【解析】当 ൏ ൏洠时， 如 ，则 如 如 ，当洠 ൏ 时， 如洠，则 如 如 洠，当 ൏ 时， 如 ，则 如 如 ，当 ൏ 时， 如 ，则 如 如 ，当 ൏ 时， 如 ，则 如 如 ，当 ൏ 时， 如 ，则 如 如 ，此时 Ͳ洠 ，即当 ൏ 洠， 洠且n为整数时， 如 ，则 如 如 Ͳ洠 ，由 如 如 得 如 ，分别作出函数 和 的图象如图：则两个函数图象有2个交点，故函数零点的个数为2个，故答案为2．15.已知函数 如 洠 洠 Ͳe是自然对数的底数 若有且仅有3个负整数\n 洠， ， ，使得 洠 ， ， ，则a的最小值是______． 【答案】 【解析】由 可得 洠 洠 ．令 如 洠 洠， 如 ，则 如 洠， 当 ൏ ， ൏ ，当 ， ，故 如 是极小值点， 洠且 如 ，故 的图象如图所示． 显然，当 时满足 的负整数x有无数个，因此 ൏ ． 此时必须满足即， 解得 ൏ ，则a的最小值是 ， 故答案为 ． πx16.对于函数 如lg 和 如sin 洠 ，下列说法正确的是___________． 洠 函数 如lg 的图象关于直线 如 对称；πx 如sin 洠 的图象关于直线 如 对称； 两函数的图象一共有10个交点； 两函数图象的所有交点的横坐标之和等于30； 两函数图象的所有交点的横坐标之和等于24．【答案】 \n 【解析】在同一坐标系中画出函数 如lg 和 如sin 洠 的图象如下图 所示：由图可知：函数 如lg 的图象关于直线 如 对称，故 洠 错误； 当 如 时， 如sin取最小值 洠， 即直线 如 为函数 如sin的一条对称轴， 又由定义域关于 如 对称，故 正确；两函数的图象一共有10个交点，故 正确；由图知，两曲线的10个交点关于直线 如 对称，即这些交点的平均数为3，故所有交点的横坐标之和等于30，故 正确， 错误，故正确的命题有 ．故答案为 ．四、解答题 17.设函数，其中 ൏ ൏ ，已知 如 ． Ⅰ 求 ； Ⅱ 将函数 如 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 ，再将得到 的图象向左平移个单位，得到函数 如 的图象，求 在 Ͳ 上的最小值． 【答案】解： Ⅰ 函数 如sin sin 如sin cos cos sin sin 如sin cos 如 sin ， 又 如 sin 如 ， 如 ， ， \n解得 如 ，又 ൏ ൏ ， 如 h Ⅱ 由 Ⅰ 知， 如 sin ，， 将函数 如 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 ，得到函数 如 sin 的图象； 再将得到的图象向左平移个单位，得到 如 sin 的图象， 函数 如 sin h洠 当 Ͳ 时， Ͳ ， 洠 sin Ͳ洠 ，洠 当 如 时， 取得最小值是 如 ． sin 18.已知函数 如，将函数 如 的图象上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再 洠 将图象上每个点的横坐标缩短到原来的，然后向左平移个单位，再向上平移个单位， 得到 如 的图象． 洠 当 Ͳ 时，求 的值域； 已知锐角 䳌䁨的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 如， 如 ， 如 ， 求 䳌䁨的面积．sin 【答案】解： 洠 如， 将函数 如 的图象上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得 如sin ，洠再将图象上每个点的横坐标缩短到原来的，得到 如sin ， 然后向左平移个单位，得到 如sin ， 再向上平移个单位，得到 如sin ； 当 Ͳ ， Ͳ， \n 则，sin Ͳ洠 所以 如sin Ͳ洠 ． sin 如如 如或 由题意三角形为锐角三角形，故舍去 ， 洠 䳌䁨如 sin ，① cos 如如，② 又 如 ， 如 ，代入①②得 如 ， 则 䳌䁨如． 19.已知，将函数 的图象向左平移个单位得到函洠 数 如 的图象． 洠 求函数 的最小正周期和单调递减区间； 当 Ͳ时，求函数 的取值范围． 【答案】解： 洠 由题意得， 如cos sin cos 洠 如sin ݍ 如sin ， 所以 如sin ， 函数 的最小正周期为 如如 ， 要求 的单调递减区间，只需 ，k ， 解得 ，k ， 所以 的单调递减区间为 Ͳ ， ； 由 洠 得 如sin ， \n 因为 ， 所以 ， 此时sin 洠Ͳ ， 所以 在区间 Ͳ 上的取值范围在区间为 洠Ͳ 20.已知函数 如ሻ ሼ െ ݍ 其中p，q是实数 的部分图象如图所示． 洠 求函数 如 ሼ 形式的解析式及其最小正周期； 将函数 如 的图象向左平移 ൏ ൏ 个单位长度后，得到函数 如 的图象，已知点 Ͳ ，若函数 如 的图象上存在点Q，使得 晦如 ，求函数 如 在区间 Ͳ 内的单调增区间和最值． 【答案】解： 洠 如ሻ ሼ െ ݍ ， ሻ ሼ െ ݍ 如 Ͳ 则由图象得 ሻ ሼ െ ݍ 如 Ͳ ሻ如 Ͳ解得െ如 洠Ͳ 故 如 sin cos 如 ሼ ， 故函数 的解析式为 如 ሼ ， 最小正周期 如 ．\n 由 洠 可知 如 如 ሼ 于是当且仅当晦 Ͳ 在 如 的图象上时满足条件． 如 ሼ 如 ． 由 ൏ ൏ ，得 如． 故 如 ሼ 如 ݍ ， 当 Ͳ ，即 时， 函数 如 的单调增区间为 Ͳ Ͳ ，最大值是2，最小值是 ． 21. 洠 已知 Ͳ ，使得函数 如lg 洠 的定义域为R的概率为________． 古代数学家杨辉在沈括的隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由 个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n层，最下层 即下底 由 个球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下： 如 ，根据以上材料，我们可得洠 如________． 洠 cosͲ 洠Ͳ洠 设函数， 如 函数 如 ，若存在唯一的 Ͳ ൏ 洠Ͳ x，使得 如 ሼ ݔ Ͳ െ的最小值为 ，则实数a的取值范围为________． 已知 䳌䁨中， ሼ 䳌 ሼ 䁨如 ሼ ሼ 䳌 ሼ 䁨 ሼ ，则 sin 如________． 洠洠 【答案】 洠 洠 洠 ൏ 洠 【解析】要使函数 如lg 洠 的定义域为R， 则 或 如 ， 如 ൏ 所以 Ͳ Ͳ 故所求概率为如． \n 故答案为． 观察规律，可令 如洠， 如 ， 洠则有洠 如 洠 洠 ． 洠故答案为 洠 洠 ． 根据函数的性质，画出函数 ， 的图象， 如 ሼ ݔ Ͳ െ的最小值为 应为 洠 如 洠 如 ，所以 ൏ ，即 ൏ ．故答案为 ൏ ． 设A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为 ሼ 䳌 ሼ 䁨如 ሼ ሼ 䳌 ሼ 䁨 ሼ ，由正弦定理得 如 ሼ ， 由余弦定理， ݍ 如， 洠 故 ሼ 如 ݍ ， 洠 故 ሼ ݍ 如 sin 如 ， 当且仅当 如 时，取等号，\n而 sin ，故 ሼ ݍ 如 ，又sin cos 如洠，解得 ሼ 如 ， ݍ 如 ， 洠 故sin 如 ሼ ݍ ݍ ሼ 如 ． 洠 洠 故答案为 洠
