易错点24空间中的位置关系一、单选题1.如图，在四面体ABCD中，已知 ܥ ܥ，那么D在平面ABC内的射影H必在A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D. ܥ内部2.如图，在正四棱柱 ܥ ܥ 中，E、F分别是 、 ܥ 的中点，则以下结论中不成立的是A.EF与 垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与 ܥ 异面3.已知三个不同的平面 和直线 线，若 ᦙ ， ᦙ 线，则“ ”是“ 线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知两个不同的平面 和两条不重合的直线 线，下列四个命题 若 线， ，则线 ； 若 ，则 ； 若 ， 线，线 ，则 ； 若 ， ᦙ 线，则 线其中真命题的个数是A.1B.2C.3D.45.下列四个命题：\n 任意两条直线都可以确定一个平面； 若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合； 直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面； 若直线l上有一点在平面 外，则l在平面 外 其中错误命题的个数是A.1B.2C.3D.46.在正方体 ܥ ܥ 中，E为棱CD的中点，则A. B.C.D.7.若a、b表示直线， 表示平面，下列命题中正确的有 ， h ； ， h ； ， h ．A. B. C. D. 8.如图 䁪所示，在正方形 中，E，F分别是 及 的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使 ， ， 三点重合，重合后的点记为G，如图 䁪所示，那么，在四面体 ܧ 中必有A. ܧ 所在平面B. ܧ 所在平面C. ܧ ܧ所在平面D. ܧ所在平面二、填空题9.已知直线a，b和平面 ，若 ，且直线b在平面 内，则a与 的位置关系是．10.如图，已知四棱锥 ܥ 的底面为正方形， 平面ABCD，则四棱锥的五个面中，与平面PAD垂直的平面有_________________． 11.正方体 ܥ ܥ 的棱长为a，点P是棱AD上一点，且 ，过 ， ，P的平面交底面ABCD于PQ，点Q在直线CD上，则PQ的长为_________12.设m是一条直线， 是两个不同的平面，且 ，给出下列两个论断： ； \n ，以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：______________ 用“h”符号作答䁪。三、解答题13.矩形ABCD中， ，P为线段DC的中点，将 沿AP折起，使得平面 平面ABCP． Ⅰ䁪求证： ； Ⅱ䁪求点P到平面ADB的距离． 14.如下图所示，在矩形ABCD中，已知 ，E是AD的中点，沿BE将 折 起至 香 的位置，使 香ܥ 香 。求证：平面 香 平面BCDE．\n15.设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且 平面ABCD，若 ， ܥ ． 䁪求PC与平面PAD所成角的正切值； 䁪在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为 ，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由； 䁪若点E是PD的中点，在 内确定一点H，使ܥ + 的值最小，并求此时HB的值．16.如图，在四棱锥 ܥ 中，底面ABCD为直角梯形， ܥ ， ܥ ܥ ， ܥ ܥ 是以AB为斜边的等腰直角三角形，且平面 平面 ܥ 点F满足： ܧ 耀 䁪．\n 䁪试探究 为何值时，ܥ 平面BDF，并给予证明； 䁪在 䁪的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值一、单选题1如图，在四面体ABCD中，已知 ܥ ܥ，那么D在平面ABC内的射影H必在A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D. ܥ内部【答案】A【解析】解：在四面体ABCD中，已知 ܥ， ܥ， ᦙ ，AB， ， ܥ 平面ABD， ܥ 平面ABC， 平面 ܥ 平面ABD，平面 ܥᦙ平面 ，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．故选：A．2如图，在正四棱柱 ܥ ܥ 中，E、F分别是 、 ܥ 的中点，则以下结论中不成立的是A.EF与 垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与 ܥ 异面【答案】D【解析】解：连 ܥ，则 ܥ交 ܥ 于F且F为 ܥ 中点，三角形 ܥ中 ܧ ܥ，并且 ܧ ܥ，所以 ܧ 平面ABCD，而 面ABCD， 所以EF与 垂直；故A正确；\n又 ܥ ，所以EF与BD垂直，EF与CD异面；故B、C正确；观察正方体，连 ܥ，则 ܥ交 ܥ 于F且F为 ܥ 中点，可得 ܧ ܥ，所以 ܧ ܥ ；故选D．3已知三个不同的平面 和直线 线，若 ᦙ ， ᦙ 线，则“ ”是“ 线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：根据面面平行的性质定理，可知当“”时，有“ 线”，故充分性成立；反之，当 线时，可能相交 如图䁪，故必要性不成立．所以“”是“ 线”的充分不必要条件．故选A．4已知两个不同的平面 和两条不重合的直线 线，下列四个命题 若 线， ，则线 ； 若 ，则 ； 若 ， 线，线 ，则 ； 若 ， ᦙ 线，则 线其中真命题的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解： 因为两平行线中的一条垂直平面 ，则另一条也垂直这个平面，是直线与平面垂直的判定定理之一，故 真命题； 垂直同一直线的两平面平行，是两个平面平行的判定之一，故 真命题；\n 根据直线与平面垂直可推出平面与平面垂直．故 真命题； 、n可以是异面直线．故 是假命题．故选C．5下列四个命题： 任意两条直线都可以确定一个平面； 若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合； 直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面； 若直线l上有一点在平面 外，则l在平面 外 其中错误命题的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：在 中，两条异面直线不能确定一个平面，故 错误；在 中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故 错误；在 中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体 ܥ中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故 错误；在 中，若 ，则l上所有点都在 内；反之，若l上有一个点不在 内，则l必在 外， 正确．故错误命题为 ，共3个．故选：C．\n6在正方体 ܥ ܥ 中，E为棱CD的中点，则A. B.C.D.【答案】C【解析】解：连 ܥ，由题意得 ܥ ܥ， 平面 ܥܥ ，且 ܥ 平面 ܥܥ ， ܥ ， ܥ 平面 ܥ 平面 ܥ ， ܥ 平面 ܥ ， ᦙ ܥ ， ܥ 平面 ܥ ， 平面 ܥ ， ܥ ．故选C．7若a、b表示直线， 表示平面，下列命题中正确的有 ， h ； ， h ； ， h ．A. B. C. D. 【答案】D【解析】解： ， h ，故正确； ， h 或 ，故错误； ， h 与 可能斜交或 或 ，故错误．即命题中正确的有 ．故选D．8如图 䁪所示，在正方形 中，E，F分别是 及 的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使 ， ， 三点重合，重合后的点记为G，如图 䁪所示，那么，在四面体 ܧ 中必有\nA. ܧ 所在平面B. ܧ 所在平面C. ܧ ܧ所在平面D. ܧ所在平面【答案】A【解析】解： 在折叠过程中，始终有 ， ܧ，即 ， ܧ， ᦙ ܧ ，GE， ܧ 平面EFG， 平面EFG，故A正确B错误；因为 ܧ ， ܧ ， ᦙ ，GE， 平面SGE，所以 ܧ 平面SGE，故C错误．若 面SEF，则 ，由 䁪知 ，在 中，这是不可能的，D错．故选A．二、填空题9已知直线a，b和平面 ，若 ，且直线b在平面 内，则a与 的位置关系是．【答案】 平面 或 平面 【解析】解：因为 ，所以a，b共面，若此平面就是平面 ，满足题意，所以直线 平面 ；若a，b构成的平面不是平面 ，则根据线面平行的判定定理，可知直线 平面 ．综上可知直线a与平面 的位置关系为 平面 或 平面 ，故答案为 平面 或 平面 ．10如图，已知四棱锥 ܥ 的底面为正方形， 平面ABCD，则四棱锥的五个面中，与平面PAD垂直的平面有_________________．【答案】平面PAB、平面PCD、平面ABCD【解析】解：因为 平面ABCD， 平面ABCD，\n所以 因为底面ABCD为正方形，所以 因为PA， 平面PAD， ᦙ ，所以 平面 又因为 ܥ ，所以ܥ 平面PAD．因为 平面PAD， 平面PAB，所以 平面PAD故答案为：平面PAB、平面PCD、平面ABCD 11正方体 ܥ ܥ 的棱长为a，点P是棱AD上一点，且 ，过 ， ，P的平面交底面ABCD于PQ，点Q在直线CD上，则PQ的长为_________ 【答案】 【解析】解：因为平面 ܥ 平面ABCD，而平面 ᦙ平面 ܥ ，平面 ᦙ平面 ܥ ，所以 ．又因为 ，所以 ，设 ᦙ ，因为 ܥ ， 所以 ∽ 所以 ，即 ． 又知 ∽ ，所以 ， 所以 ，又 ，所以 ． 故答案为 12设m是一条直线， 是两个不同的平面，且 ，给出下列两个论断： ； ，\n以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：______________ 用“h”符号作答䁪。【答案】【解析】解： 是两个不同的平面，，且 ，．故答案为．三、解答题13矩形ABCD中， ，P为线段DC的中点，将 沿AP折起，使得平面 平面ABCP． Ⅰ䁪求证： ； Ⅱ䁪求点P到平面ADB的距离．【答案】解： Ⅰ䁪 ， ， ， + ， ， 平面 平面ABCP，平面 ᦙ平面 ܥ ， 平面ABCP， 平面ADP， 平面ADP， Ⅱ䁪由 Ⅰ䁪知， ， ， ᦙ ， 平面DBP，\n 平面 平面DBP， 平面 ᦙ平面 ，在平面DBP内作 于E，则 平面ADB， 在 中， ， + 点P到平面ADB的距离为． 14如下图所示，在矩形ABCD中，已知 ，E是AD的中点，沿BE将 折起 至 香 的位置，使 香ܥ 香 。求证：平面 香 平面BCDE．【答案】解：证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接 香 ， 香㐴，MN，则 㐴 ܥ． ，E是AD的中点， ，即 香 香 ． 香㐴 香ܥ 香 ， 香 ܥ ．在四边形BCDE中，ܥ 㐴，又 㐴ᦙ 香 ， ܥ 平面 香 㐴 ܥ 香㐴． ܥ且 ܥ， 必与CD相交． 又 香㐴 ， 香㐴 ܥ ， 香㐴 平面BCDE．又 香㐴 平面 香 ， 平面 香 平面BCDE．15设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且 平面ABCD，若 ，\n ܥ ． 䁪求PC与平面PAD所成角的正切值； 䁪在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为 ，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由； 䁪若点E是PD的中点，在 内确定一点H，使ܥ + 的值最小，并求此时HB的值．【答案】解： 䁪因为平面，ܥ 平面，所以，又因为底面是矩形，所以，又 ᦙ ， 平面APD，所以平面，所以与平面所成角为， 又由题意可得：，，所以tan ܥ ． 所以与平面所成角的正切值为． 䁪假设边上存在一点G满足题设条件，作，又 平面ABCD，所以 ，因为 ᦙ ，所以平面，\n所以． 因为 ， 所以 ，所以 ，故存在点G，当时，使点D到平面的距离为． 䁪延长CB到，使，因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，因为 ᦙ ，所以平面，则ܥ香是点C关于面的对称点，连接ܥ香 ，交面于H，则点H是使的值最小时，在面上的一点．作于M，则点M是AD的中点，连接交AB于N，连接HN，则，\n所以，又，所以，而，所以．所以．16如图，在四棱锥 ܥ 中，底面ABCD为直角梯形， ܥ ， ܥ ܥ ， ܥ ܥ 是以AB为斜边的等腰直角三角形，且平面 平面 ܥ 点F满足： ܧ 耀 䁪． 䁪试探究 为何值时，ܥ 平面BDF，并给予证明； 䁪在 䁪的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值． 【答案】解 䁪当 时，ܥ 平面FBD． 证明如下：连接AC，交BD于点M，连接MF．因为 ܥ ，所以 ܥ ܥ ， 又 ܧ ， 所以ܧ ܧ ，所以 ܥ ܧ ܧ ，\n所以MF ܥ ，又 ܧ 平面BDF，ܥ 平面BDF，所以ܥ 平面FBD． 䁪取AB的中点O，则 ，又因为平面 平面ABCD，平面 ᦙ平面 ܥ ，所以 平面ABCD，因为 平面ABCD，所以 ，由 ܥ ܥ ，及 ܥ 得 ，由 两两垂直可建立空间直角坐标系 ݔ ，因为 为等腰直角三角形， ܥ ܥ ，所以 ，设 ，所以 耀 耀 耀， 耀 耀， 耀 耀，ܥ 耀， 耀 耀， 耀 耀 ，所以 耀 耀， 耀， ܧ 耀 ，ܧ 耀 ， 所以ܧ 耀 ， 设平面BDF的法向量为线 ݔ ，线 耀则有 线 ܧ 耀 +ݔ 耀所以 耀 取 ，得线 ，设直线AB与平面BDF所成的角为 ， 线 则sin cos 线 线 +耀 +耀 ． + + 即直线AB与平面BDF所成角的正弦值为
