高三物理一轮复习学案动量doc高中物理

2022届高三物理一轮复习学案：动量教学目标1．理解和掌握动量及冲量概念，反复强调动量及冲量的方向性，使学生对矢量的方向性给予足够的重视，掌握矢量方向的表示方法。2．理解和掌握动量定理的内容以及动量定理的实际应用，会选择研究对象及有关过程，并使学生熟练掌握用代数方法研究矢量问题的方法，即根据具体问题建立坐标，假设正方向并结合动量、冲量的实际方向引入正负量结实掌握用代数方法处理一维矢量运算的根本方法。3．熟练掌握动量守恒定律的内容及使用条件，会推导动量守恒定律的数学表达式，了解动量守恒定律普遍适用于自然中的微观世界和客观世界。4．理解和掌握用动量守恒定律解决各种碰撞问题，即弹性碰撞、完全非弹性碰撞及非弹性碰撞，并掌握各种类型碰撞的特点，以及各种碰撞中的能量转化规律。5．通过动量守恒定律的应用，培养学生综合分析和处理问题的能力，使学生能把碰撞前后的物理过程联系在一起，并能灵活地选择过程和对象解决问题。6．使学生能够总结力和运动、功和能、动量和冲量的关系，并了解它们之间的区别和联系。即让学生掌握解决力学问题的三规律，牛顿第二定律、动量定理、动能定理的区别和联系，并能在实际问题中灵活地选择规律解决问题。教学重点、难点分析1．重点（1）动量、冲量的方向及动量的变化（也叫动量的增量）的方向是教学重点，也是难点。结实掌握动量、冲量及动量的变化方向是学好动量定理、动量守恒定律的根底。（2）熟练掌握动量守恒定律的应用，能联系实际问题，灵活选择假设干个动量守恒的系统，综合分析和解决问题，用动量守恒定律解题是解决力学问题的根本方法和重要方法，与其他方法相比，往往也是简便方法，那么应为教学的重点。（3）理解和掌握各种类型碰撞中的能量转化规律，这是综合利用功能关系及动量守恒定律解题的根底。2．难点（1）对于动量、冲量及动量改变量的方向及方向的表示方法和处理方法，在多年的教学实践中，反映出学生不易承受，并在解决问题中经常出现错误，因此应屡次练习反复强调。（2）对动量守恒系统的选择以及相关过程的选择，学生往往出现错误，尤其对一个比较复杂的物理过程需要选择假设干个守恒系统和假设干个相关过程解题是教学的难点。（3）用动量守恒定律处理同一直线上的碰撞问题时，确定正方向后，引入正负号表示碰撞前后动量的方向时，学生容易出现正负号的错误。正确使用正负号表示各矢量的方向是教学的难点。如减少错误时机，表示矢量的字母一般只表示矢量大小，而表示方向的正负号应标在字母前面，当矢量的实际方向未知时可以把表示方向的正负号含在字母中。在矢量运算过程中应时刻注意字母中是否内含方向。教学过程设计一、动量、冲量1．动量——定义：物体的质量和速度的乘积叫做动量。公式：p=mv，单位kg·m/s。（1）动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。（2）动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。2．冲量——定义：力和力的作用时间的乘积叫做冲量。公式：I=Ft，单位是N·s。（1）冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。（2）冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和力的方向相同）。如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。（3）高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。（4）要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。【例1】质量为m的小球由高为H的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？7/7\n解：力的作用时间都是，力的大小依次是mg、mgcosα和mgsinα，所以它们的冲量依次是：，，特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。二、动量定理1．内容：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。公式：Ft=mv2-mv1或I=Δp（1）动量定理说明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量（或者说是物体所受各外力冲量的矢量和）。（2）动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。（3）现代物理学把力定义为物体动量的变化率：（牛顿第二定律的动量形式）。（4）动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。【例2】以初速度v0平抛出一个质量为m的物体，抛出后t秒内物体的动量变化是多少？解：因为合外力就是重力，所以Δp=Ft=mgt。有了动量定理，不管是求合力的冲量还是求物体动量的变化，都有了两种可供选择的等价的方法。此题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要方便得多。当合外力为恒力时往往用Ft来求较为简单；当合外力为变力时，在高中阶段只能用Δp来求。2．利用动量定理定性地解释一些现象【例3】鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？解：两次碰地（或碰塑料垫）瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变化相同。根据Ft=Δp，第一次与地板作用时的接触时间短，作用力大，所以鸡蛋被打破；第二次与泡沫塑料垫作用的接触时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破。（再说得准确一点应该指出：鸡蛋被打破是因为受到的压强大。鸡蛋和地板相互作用时的接触面积小而作用力大，所以压强大，鸡蛋被打破；鸡蛋和泡沫塑料垫相互作用时的接触面积大而作用力小，所以压强小，鸡蛋未被打破。）F【例4】某同学要把压在木块下的纸抽出来。第一次他将纸迅速抽出，木块几乎不动；第二次他将纸较慢地抽出，木块反而被拉动了。这是为什么？解：物体动量的改变不是取决于合力的大小，而是取决于合力冲量的大小。在水平方向上，第一次木块受到的是滑动摩擦力，一般来说大于第二次受到的静摩擦力；但第一次力的作用时间极短，摩擦力的冲量小，因此木块没有明显的动量变化，几乎不动。第二次摩擦力虽然较小，但它的作用时间长，摩擦力的冲量反而大，因此木块会有明显的动量变化。3．利用动量定理进展定量计算利用动量定理解题，必须按照以下几个步骤进展：（1）明确研究对象和研究过程。研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的质点组。质点组内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。（2）进展受力分析。只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力。所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用力（内力）会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。如果在所选定的研究过程中的不同阶段中物体的受力情况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。（3）规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负。（4）写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量（或各外力在各个阶段的冲量的矢量和）。（5）根据动量定理列式求解。【例5】斜面体固定在水平面上，如右图，质量为m的物体沿斜面匀速下滑，那么物体由斜面顶端下滑到斜面底端的过程中，下述正确的选项是A．重力与摩擦力对物体的冲量大小相等7/7\nB．斜面对物体的弹力的冲量大小为零C．物体所受外力的合力的冲量等于零D．重力对物体做的功与物体抑制摩擦力所做的功相等[思考]：①物体动量的变化与物体所受一个力的冲量有直接关系吗？（无）②在一个过程中物体受到一个外力的冲量能等于零吗？（否）③在一个过程中如果物体所受两个外力的冲量大小相等，这两个外力的大小有什么关系？（大小相等）④物体所受外力对物体做功为零时，这个力的冲量是否也一定为零？（否）[总结]：①物体动量变化只与合外力的冲量有关。②物体所受一个外力可以对物体不做功，但这个力的冲量不可能为零。ABC【例6】质量为m的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t1到达沙坑外表，又经过时间t2停在沙坑里。求：（1）沙对小球的平均阻力F；（2）小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I。解：设刚开场下落的位置为A，刚好接触沙的位置为B，在沙中到达的最低点为C。（1）在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为t1+t2，而阻力作用时间仅为t2，以竖直向下为正方向，有：mg(t1+t2)-Ft2=0，解得：。（2）仍然在下落的全过程对小球用动量定理：在t1时间内只有重力的冲量，在t2时间内只有总冲量（已包括重力冲量在内），以竖直向下为正方向，有：mgt1-I=0，∴I=mgt1。这种题本身并不难，也不复杂，但一定要认真审题。要根据题意所要求的冲量将各个外力灵活组合。假设此题目给出小球自由下落的高度，可先把高度转换成时间后再用动量定理。当t1>>t2时，F>>mg。mMv0v/【例7】质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度A匀加速前进，当速度为v0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。假设汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为，该过程经历时间为v0/μg，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是。【例8】质量为m=1kg的小球由高h1=0.45m处自由下落，落到水平地面后，反跳的最大高度为h2=0.2m，从小球下落到反跳到最高点经历的时间为Δt=0.6s，取g=10m/s2。求：小球撞击地面过程中，球对地面的平均压力的大小F。解：以小球为研究对象，从开场下落到反跳到最高点的全过程动量变化为零，根据下降、上升高度可知其中下落、上升分别用时t1=0.3s和t2=0.2s，因此与地面作用的时间必为t3=0.1s。由动量定理得：mgΔt-Ft3=0，F=60N【例9】如以下图，静止在水平面上的小船连同球的质量总共为M，质量均为m的甲乙两球以大小相等的速度v先后向左右水平抛出，先水平向左抛出甲球，然后再水平向右以大小相同的速度抛乙球，判断：抛球过程中甲乙两球受到的冲量大小关系。学生思考后教师做简单分析：抛甲球时，甲球受的冲量等于甲球动量的变化mv，同时船受到反方向的冲量，因而获得向右的冲量向右运动起来。设此时船向右运动的速度为v船，抛乙球时，乙球受到的冲量等于乙球动量的变化，即mv-mv船，显然甲球受到的冲量大于乙球受的冲量。解例之前，提示学生思考下述问题：①抛出甲球前后，甲球动量分别为多少？（0；mv）②抛出甲球过程船载着乙球如何运动？③抛出乙球前后，乙球动量分别为多少？④抛球过程中，两球所受合外力的冲量取决于什么？7/7\n通过以上思考引导学生自己得出结论：甲球受的冲量大。通过此例使学生掌握，用动量的变化求冲量的一种方法。解完例可引导学生追忆解题过程，以便提高学生的解题能力。①解此题选择了几个研究对象？（三个对象：甲球、乙球和船）②对每个研究对象如何使用动量定律列出方程？（着重强调方向性，例如对甲球以左为正方向，F甲t甲=mv，对乙球以右为正方向，F乙t乙=mv-mv船，各字母只表示绝对值）【例10】质量为m的物块以初速v0沿倾角为θ的粗糙斜面冲上斜面，滑到B点速度为零，然后滑下回到A点（如右图）。关于物块所受的冲量，下述说法中正确的选项是A．物块上滑过程和下滑过程受到摩擦力冲量等值反向B．物块上滑过程和下滑过程受到重力的冲量等值同向C．物块从冲上斜面A点到返回A点的整个过程中所受到各外力的冲量的总和方向向下D．物块从冲上斜面到返回斜面底端的整个过程中合外力的冲量总和小于2mv。先让学生认真审题2～3分钟，然后提出问题引导学生思考：①上滑下滑过程中，摩擦力的方向是什么方向；上滑和下滑所用时间长短用什么方法比较最简单？（用t=s/v）②重力的冲量是否在任何过程中都是竖直向下的？③合外力的冲量大小及方向用什么规律判断和计算最为方便？（用物体动量的变化）分析：因上滑时间小于下滑时间，那么各力的冲量都是上滑过程小于下滑过程，重力的冲量方向永远竖直向下，合力冲量的大小和方向，用动量定理最方便。以沿斜面向下为正方向，有∑Ft=mvt-（-mv0），因v1＜v0那么∑Ft＜2mv0，故应选D。通过审题和启发引导，可以加深学生对根本概念和规律的理解和应用，提高学生提取有关知识解决实际问题的能力。通过思考可让中等学习水平的学生解答此题，一般是可以正确解答的。三、动量守恒定律（一）动量守恒定律1．动量守恒定律一个系统不受外力或者受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。2．动量守恒定律成立的条件（1）系统不受外力或者所受外力之和为零；（2）系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；（3）系统在某一个方向上所受的合外力为零，那么该方向上动量守恒。（4）全过程的某一阶段系统受的合外力为零，那么该阶段系统动量守恒。3．动量守恒定律的表达形式除了m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′，即p1+p2=p1+p2外，还有：Δp1+Δp2=0，Δp1=-Δp2和4．动量守恒定律的重要意义从现代物理学的理论高度来认识，动量守恒定律是物理学中最根本的普适原理之一。（另一个最根本的普适原理就是能量守恒定律）从科学实践的角度来看，迄今为止，人们尚未发现动量守恒定律有任何例外。相反，每当在实验中观察到似乎是违反动量守恒定律的现象时，物理学家们就会提出新的假设来补救，最后总是以有新的发现而胜利告终。例如静止的原子核发生β衰变放出电子时，按动量守恒，反冲核应该沿电子的反方向运动。但云室照片显示，两者径迹不在一条直线上。为解释这一反常现象，1930年泡利提出了中微子假说。由于中微子既不带电又几乎无质量，在实验中极难测量，直到1956年人们才首次证明了中微子的存在。又如人们发现，两个运动着的带电粒子在电磁相互作用下动量似乎也是不守恒的。这时物理学家把动量的概念推广到了电磁场，把电磁场的动量也考虑进去，总动量就又守恒了。（二）动量守恒定律的应用1．碰撞两个物体在极短时间内发生相互作用，这种情况称为碰撞。由于作用时间极短，一般都满足内力远大于外力，所以可以认为系统的动量守恒。碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。7/7\n仔细分析一下碰撞的全过程：设光滑水平面上，质量为m1的物体A以速度v1向质量为m2的静止物体B运动，B的左端连有轻弹簧。在Ⅰ位置A、B刚好接触，弹簧开场被压缩，A开场减速，B开场加速；到Ⅱ位置A、B速度刚好相等（设为v），弹簧被压缩到最短；再往后A、B开场远离，弹簧开场恢复原长，到Ⅲ位置弹簧刚好为原长，A、B分开，这时A、B的速度分别为。全过程系统动量一定是守恒的；而机械能是否守恒就要看弹簧的弹性如何了。（1）弹簧是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为弹性势能，Ⅱ状态系统动能最小而弹性势能最大；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少全部转化为动能；因此Ⅰ、Ⅲ状态系统动能相等。这种碰撞叫做弹性碰撞。由动量守恒和能量守恒可以证明A、B的最终速度分别为：，。（这个结论最好背下来，以后经常要用到。）（2）弹簧不是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少，一局部转化为弹性势能，一局部转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和（1）相同，弹性势能仍最大，但比（1）小；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少，局部转化为动能，局部转化为内能；因为全过程系统动能有损失（一局部动能转化为内能）。这种碰撞叫非弹性碰撞。（3）弹簧完全没有弹性。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和（1）相同，但没有弹性势能；由于没有弹性，A、B不再分开，而是共同运动，不再有Ⅱ→Ⅲ过程。这种碰撞叫完全非弹性碰撞。可以证明，A、B最终的共同速度为。在完全非弹性碰撞过程中，系统的动能损失最大为。（这个结论最好背下来，以后经常要用到。）【例11】质量为M的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。质量为m的小球以速度v1向物块运动。不计一切摩擦，圆弧小于90°且足够长。求小球能上升到的最大高度H和物块的最终速度v。解：系统水平方向动量守恒，全过程机械能也守恒。在小球上升过程中，由水平方向系统动量守恒得：由系统机械能守恒得：，解得全过程系统水平动量守恒，机械能守恒，得此题和上面分析的弹性碰撞根本相同，唯一的不同点仅在于重力势能代替了弹性势能。【例12】动量分别为5kgm/s和6kgm/s的小球A、B沿光滑平面上的同一条直线同向运动，A追上B并发生碰撞后。假设已知碰撞后A的动量减小了2kgm/s，而方向不变，那么A、B质量之比的可能范围是什么？解：A能追上B，说明碰前vA>vB，∴；碰后A的速度不大于B的速度，；又因为碰撞过程系统动能不会增加，，由以上不等式组解得：此类碰撞问题要考虑三个因素：①碰撞中系统动量守恒；②碰撞过程中系统动能不增加；③碰前、碰后两个物体的位置关系（不穿越）和速度大小应保证其顺序合理。2．子弹打木块类问题子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。【例13】设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。解：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：mv0=（M+m）v从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f，设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2，如以下图，显然有s1-s2=d对子弹用动能定理：……①7/7\n对木块用动能定理：……②①、②相减得：……③这个式子的物理意义是：fd恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移）。由上式不难求得平均阻力的大小：至于木块前进的距离s2，可以由以上②、③相比得出：从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：，，一般情况下M>>m，所以s2<<d。这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。这就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：…………④当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔEK=fd（这里的d为木块的厚度），但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用④式计算ΔEK的大小。做这类题时一定要画好示意图，把各种数量关系和速度符号标在图上，以免列方程时带错数据。3．反冲问题在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各局部的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用过程中系统的动能增大，有其它能向动能转化。这类问题统称为反冲。【例14】质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？解：先画出示意图。人、船系统动量守恒，总动量始终为零，所以人、船动量大小始终相等。从图中可以看出，人、船的位移大小之和等于L。设人、船位移大小分别为l1、l2，那么：mv1=Mv2，两边同乘时间t，ml1=Ml2，而l1+l2=L，∴应该注意到：此结论与人在船上行走的速度大小无关。不管是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。做这类题目，首先要画好示意图，要特别注意两个物体相对于地面的移动方向和两个物体位移大小之间的关系。以上所列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。如果发生相互作用前系统就具有一定的动量，那就不能再用m1v1=m2v2这种形式列方程，而要利用（m1+m2）v0=m1v1+m2v2列式。【例15】总质量为M的火箭模型从飞机上释放时的速度为v0，速度方向水平。火箭向后以相对于地面的速率u喷出质量为m的燃气后，火箭本身的速度变为多大？解：火箭喷出燃气前后系统动量守恒。喷出燃气后火箭剩余质量变为M-m，以v0方向为正方向，，得：。四、课堂小结1．动量定理中应重点掌握以下几点内容：（1）动量、冲量都是矢量，运算遵守矢量运算法那么，和力的运算方法相同。（2）使用动量定理时，应选择研究对象，并对物体进展受力分析。（3）在同一直线上使用动量定理时，应选择一个正方向，联系动量和冲量的实际方向，结合所设的正方向引入正负号，将矢量运算转化为代数运算。7/7\n（4）使用动量定理解题，灵活选择对象和过程可给解题带来方便。2．动量守恒定律中应重点掌握以下内容：（1）动量守恒定律针对一个合外力为零的系统，使用时应在物理过程中找一个合外力为零的系数及有关状态列出方程。（2）使用动量守恒定律解题一般可以规定正方向，引入正负号，把矢量运算转化为代数运算。（3）解同一道题有时可以选假设干个系统和假设干个相关的状态，注意系统与系统、状态与状态之间的联系。（4）认真细致地搞清物理图景，摸清物理过程的开展和演变规律，针对不同的开展变化阶段，适用相关的规律列出方程。（5）解决较复杂的习题，需要动量守恒定律和前后相关的物理规律的综合应用，使用时要注意规律间的联系和使用条件方法上的区别。3．碰撞中应重点掌握以下内容：（1）一般的碰撞可以分成三种类型，即弹性碰撞；完全非弹性碰撞；非弹性碰撞。（2）弹性碰撞完毕后，由于遵守动量守恒和动能守恒，所以通过计算可求出碰撞以后的结果．（3）完全非弹性碰撞可求出碰后的共同速度，物体发生相互作用时，当在某一时刻，物体的瞬时速度瞬时相等时，可用完全非弹性碰撞的模式求出瞬时相等的共同速度。（4）实际中的碰撞大多属于非弹性碰撞，界于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间，碰后情况由物体的弹性性质决定。（5）碰后情况定性分析，应满足三个条件：①碰撞前后系统总动量守恒；②碰撞前后遵守总能量守恒，例如两小球碰后由于有光能、内能、声能的产生，总动能应该减小；③碰撞过程应符合实际情况，例如两球碰撞后的左右位置不能调换。五、课后追忆下课后，及时记录学生活动根本情况、教学效果，以及没有估计到的突发情况和采取的应急措施，并设想改进方法．也可找个别学生了解情况，使教学效果的鉴别接近实际。我们已经复习了牛顿定律、动量定理和动量守恒、动能定理和机械能守恒。它们分别反映了力的瞬时作用效应、力的时间积累效应和力的空间积累效应。解决力学问题离不开这三种解题思路。在比较复杂的题目中，这三种手段往往是交替使用的。7/7