天水一中2022届第一次模拟考试数学试题（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．集合，，若，则（）A．B．C．D．2.设是虚数单位，复数（）A.B.C.D.3.已知,则()A．B．C．D．4.函数的图像关于原点对称，是偶函数，则A.1B.C.D.5.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程中的，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为A．51个B．50个C．49个D．48个6.下列说法正确的是A．命题“，”的否定是“，”B．命题“已知，若，则或”是真命题C．“在上恒成立”“在上恒成立”D．命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题7．在中,已知,且,则()A.B.C.D.8.已知函数的周期是，将函数的图象沿-12-轴向右平移个单位，得到函数的图象，则函数（）A.B.C.D.9．设函数，则其零点所在的区间为（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）10.如图所示的程序框图的输入值，则输出值的取值范围为（）A．B．C．D．11．抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若的外接圆与抛物线的准线相切（为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则（）A．2B．4C．6D．812．如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为,则（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.如图，已知可行域为△ABC及其内部，若目标函数z=kx+y，当且仅当在点B处取得最大值，则k的取值范围是.14.已知函数，则的解集为15.若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sinx＋4cosx；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有-12-16、在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在点M，使，则圆心的横坐标的取值范围为三、解答题（共70分）17.（12分）某站针对2022年中国好声音歌手三人进行上网投票，结果如下观众年龄支持支持支持20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取人，其中有6人支持，求的值.（2）在支持的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率.18.(本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.19．如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是的中点，．（1）求证：∥平面；（2）求点到平面的距离．20.已知椭圆C的方程是，倾斜角为的直线过椭圆的右焦点且交椭圆于两点。（1）若椭圆的左顶点为（-2，0），离心率，求椭圆C的方程；（2）设向量，若点在椭圆C上，求的取值范围。21．已知函数在与时都取得极值．（1）求的值；（2）若对，不等式恒成立，求-12-的取值范围．22.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（1）证明：∠D=∠E；（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．23.在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为:（为参数），M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.24.已知函数,（1）当时，求不等式的解集;（2）若的解集包含，求的取值范围.天水一中2022届第一次模拟考试数学答案（文科）1.【答案解析】A解析：由，得=2，所以,.即，，因此2.【答案】【解析】A解析：复数．故选：A．3.【答案解析】C∵cos（x-）=-，∴cosx+cos（x-）=cosx+cosxcos+sinxsin=cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x-）=×（-）=-1故选C．【思路点拨】利用两角和与差的余弦函数将cosx+cos（x-）化为cos（x-）即可．-12-4.【答案】D解析：∵关于原点对称，∴函数是奇函数，∴∵是偶函数，∴对任意的都成立，∴，∴，∴对一切恒成立，∴，∴，故选：D【思路点拨】由题意可得对任意的都成立，代入整理可求；由题意可得对任意的都成立，代入整理可求。5.【答案】【解析】C解析：由题意知，代入回归直线方程得，故选【思路点拨】由题意求出x的平均值再根据公式求出y的平均值，代入回归方程可直接求出结果.6.【答案解析】A、“∀x∈R，ex＞0”的否定是“∃x0∈R，ex≤0”；∴命题错误；B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x-1有一个零点时，a=-1”，∵f（x）有一个零点时，a=-1或a=0；∴命题错误．故选：B．【思路点拨】B.A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假．7.【答案】A【解析】-12-试题分析：因为，，所以，，，故选A。8.【答案解析】B∵函数y=3sinωx（ω＞0）的周期是=π，∴ω=2．将函数y=3cos（ωx-）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y=f（x）=3cos[2（x-）-]=3cos（2x--）=3sin（2x-）的图象故选B．【思路点拨】由条件根据诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．9.【答案】C【解析】试题分析：因为，，，，，且，所以，函数的零点在区间（1，2）内.10.【答案】【解析】B解析：由程序框图可知，输出的y值是函数在时的值域，所以输出值的取值范围为，故选B.【思路点拨】由框图得其描述的意义，从而得到输出值的取值范围.11.【答案】B试题分析：设的外接圆圆心为，且半径为3，由已知得点到抛物线准线的距离等于，故点在抛物线上，且点的横坐标为，由抛物线定义得，，所以考点：抛物线的标准方程和定义.12.【答案】D解析：三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是，该几何体的外接球的体积V1=，V2=，∴V1：V2=，故选D-12-．.【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此求出结果．13.14.【答案】【解析】解析：.15.【答案解析】②③①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2-|x|=，在 x=和 x=- 处的切线都是y=-，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=，即 x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．【思路点拨】①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在 x= 和 x=-处的切线都是y=-，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．-12-16.【答案】【解析】解析：解：设点M（x，y），由MA=2MO，知，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，故答案为：．17.【答案解析】（1）40（2）（2）（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴=，解得n=40，（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b则这6人中任意选取2人，共有=15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），其中恰好有1人在20岁以下的事件有：，（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．故恰有1人在20岁以下的概率P=．【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．（2）计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案18.-12-（Ⅱ）由题意，设数列的前项和为，,，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列……9分所以……………………………………12分考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的通项公式；3.等差数列的前n项和公式；4.等比数列的前n项和公式；5.等比中项；6.分组求和法.19.【答案】（1）证明见解析；（2）试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算；（3）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键．试题解析：（1）证明：连接，设，连接．∴四边形是正方形，∴是的中点，又是的中点，．平面，平面，平面．（2）由三棱柱为直三棱柱得,，又，-12-由体积法．考点：1、直线与平面平行的判定；2、求几何体的体积．20．（本小题满分12分）解：（1）由已知，椭圆方程为。（2）直线的方程为由，得，从而。，点在椭圆C上，，解得，且=又即的取值范围是。21.【答案】（1），（2）或试题分析：（1）对于可导函数取得极值是，导数一定为零；（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）试题解析：（1）因为，所以由，得，，当，-12-时，所以，列表如下递增极大值递减极小值递增符合函数在与时都取得极值的要求，所以，（2）由（1）可知当时，为极大值，而所以为最大值，要使恒成立，则只需即，解得或．考点：函数的极值与导数及恒成立问题22.【答案解析】答案略证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（2）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形【思路点拨】根据圆内接四边形角关系求出，证明三角相等证明等边三角形。23.【答案解析】（1）（2）2（1）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以-12-从而的参数方程为（为参数）（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。所以.【思路点拨】根据等量关系求出参数方程，根据极坐标求出长度。24.【答案解析】（1）{x}（2）-（1）当时，或或或（2）原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立【思路点拨】利用零点分段求出解集，求出最值求出参数a。-12-
