2022年绍兴市高三教学质量调测数学（文）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式:球的表面积公式柱体的体积公式 球的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高台体的体积公式其中表示球的半径锥体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高如果事件，互斥，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高那么第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集，集合，则A．B．C．D．2．复数满足(为虚数单位)，则在复平面上，复数对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件104．在边长为的菱形中，，则在方向上的投影为A．B．C．D．5．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A．B．C．D．（第5题）6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．若B．若，则C．若，则（第7题）D．若则7．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中分别是这段图象的最高点和最低点，是图象与轴的交点，且，则的值为A．B．C．D．8．已知实数满足若是使取得最大值的可行解，则实数的取值范围是A．B．C．D．9．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点．若△的面积为，则双曲线的离心率等于A．B．C．D．1010．设函数．若方程有且只有两个不同的实根，则实数的取值范围为A．B．C．D．第Ⅱ卷（共100分）（第11题）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩分成六段：…，它的频率分布直方图如图所示．则该批学生中成绩不低于分的人数为▲．12．6名外语翻译者中有4人会英语，另外2人会俄语．现从中抽出2人，则抽到英语，俄语翻译者各1人的概率等于▲．13．已知实数构成公差不为零的等差数列，且构成等比数列，则此等比数列的公比等于▲．14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是▲．15．已知函数是偶函数，当时，．设函数的零点为，且，则非零实数的取值范围是▲．（第14题）16．已知，为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最小值为▲．17．已知是曲线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分10别为，当的值最小时点的坐标为▲．三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．(本小题满分14分)（第18题）在△中，为边上一点，．已知，．（Ⅰ）若，求角的大小；（Ⅱ）若△的面积为，求边的长．19．(本小题满分14分)已知数列的前项和，是与的等差中项．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，数列的前项和为，若满足不等式的正整数有且仅有两个，求实数的取值范围．20．(本小题满分14分)（第20题）如图，平面，平面，，，为中点．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅱ）为线段上一点，且，求证：．1021．(本小题满分15分)已知函数()．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若，且函数在上不存在极值点，求的取值范围．22．(本小题满分15分)过点的直线与抛物线：相交于两点，过点分别作轴的垂线交直线：于点．（Ⅰ）若四边形是等腰梯形，求直线的方程；（Ⅱ）若，，三点共线，求证：与轴平行；（Ⅲ）若对于任意一个以为直径的圆，在直线上总存在点在该圆上，求实数的取值范围．（第22题）102022年绍兴市高三教学质量调测数学（文）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．C2．A3．A4．C5．B6．D7．C8．B9．D10．A二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．4512．13．14．15315．16．17．三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)18．(本小题满分14分)解:（Ⅰ）在△中，由正弦定理得，……………………3分则，则或，……………………5分又因为，所以或．……………………7分（Ⅱ）由已知得，……………………9分得．……………………10分又由余弦定理得，，……………………12分得．……………………13分由，得．……………14分19．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）当时，；当时，；故．………………4分又是与的等差中项，所以，得．……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，………………………109分所以．……………………10分设，则在且上是减函数．………………………（12分）因为满足不等式的正整数有且仅有两个，所以应满足……………………13分解得．……………………14分20．(本小题满分14分)解：(Ⅰ)平面，为在平面上的射影，为与平面所成角．……………………2分平面，，设，又，．在△中，，，又为中点，，，．…5分在△中，，．………………………7分（Ⅱ），为中点，．又平面，，平面．……………………9分又平面，，……………………11分又，平面．……………………13分又平面，．……………………14分21．(本小题满分15分)解：(Ⅰ)当时，，……………………2分①若，即时，，所以为上的增函数，所以的增区间为；…4分②若，即时，，10所以在，上为增函数，在上为减函数．……………………7分所以的增区间为，；减区间为．综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为，；减区间为．（Ⅱ）方法1：由，得，……………………8分即，．……………………9分由在上不存在极值点，下面分四种情况讨论．①当没有极值点时，，得；……10分②当有两个极值点，且两个极值点都在时，则得无解；……………………11分③当有两个极值点，且两个极值点都在时，则得；……………………12分④当有两个极值点，且两个极值点一个在，另一个在时，则得无解．……………………13分综上，的取值范围为．……………………15分方法2：由，得，……………………8分即，．……………………9分令，即，变形得，因为，所以，令，10则，．因为在上单调递减，故，………13分由在上不存在极值点，得在上无解，所以，．……………………14分综上，的取值范围为．……………………15分22．(本小题满分15分)解：（Ⅰ）若四边形为等腰梯形，则，故直线的方程为．……………………2分（Ⅱ）设直线的方程为，，则，，由得，得，．………4分因为三点共线，所以，……………………5分即，又，得，又，所以，所以，……………………7分故直线与轴平行；……………………8分（Ⅲ）设，由已知以为直径的圆经过点，得，……………………9分即，即．（*）由（Ⅱ）知，，，则，，代入（*）式得．………………………11分因为总存在点，所以关于的方程恒有解，所以要恒成立．即对一切的恒成立，整理后得．………………………12分10①当时，上式不可能对一切的恒成立；………………………13分②当时，对一切的恒成立，只需要，即．………………………14分综上，所求的实数的取值范围为．………………………15分10
