数学理本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合，且，则集合可能是（）A．B．C．D．是开始输出结束否2．在极坐标系中，圆被直线截得的弦长为（）A．B．C．D．3．执行如右图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为（）A．B． C．D．4．已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．二项式的展开式中，常数项的值是（）A．B．C．D．6．等差数列中，，则该数列前项之和为（）A．B．C．D．7．在如图所示的空间直角坐标系-11-中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）xy．．11O．．．．z2122①②③④A．①和②B．③和①C．③和④D．④和②8．如果双曲线的离心率，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：①双曲线是黄金双曲线；②双曲线是黄金双曲线；③在双曲线中，F1为左焦点，A2为右顶点，B1（0，b），若∠F1B1A2,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．ACDPOB．9．，为复数的共轭复数，则___________．10．如图，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA、DC的延长线交于点P，若PA＝4，PC＝5，则∠CBD＝___________．11．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆内的概率为___________．-11-．．．12．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则．13．若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有种（用数字作答）．14．已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①； ②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是．-11-三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）xyPQOα在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.记.(Ⅰ)求函数的值域；(Ⅱ)设的角所对的边分别为，若，且，，求.16．（本小题满分13分）空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染AQI值范围[0,50)[50，100）[100,150)[150,200)[200,300)300及以上国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2022年3月某时刻实时监测到的数据：西部城市AQI数值东部城市AQI数值西安108北京104西宁92金门42克拉玛依37上海x鄂尔多斯56苏州114巴彦淖尔61天津105库尔勒456石家庄93AQI平均值：135AQI平均值：90(Ⅰ)求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）ACDEFB如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4．-11-(Ⅰ)求证：BC⊥平面BDE；(Ⅱ)试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°．18．（本小题满分13分）已知函数．(Ⅰ)若，求函数的极值；(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；(Ⅲ)若存在，使得成立，求的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:离心率，短轴长为．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别-11-与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分）设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；(Ⅱ)设，求数列的伴随数列的前30项之和；(Ⅲ)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和．-11-2022年石景山区高三统一测试数学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案ACCBACDB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．题号91011121314答案180③④三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得，………………3分所以，………………5分因为，所以，故.………7分（Ⅱ）因为，，所以，………………9分在中，由余弦定理得，即，解得.……………13分16．（本小题共13分）（Ⅰ）x82………………2分D东部
