等腰三角形1、（2022•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．12B．15C．12或15D．18考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2、(2022年临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以A1A2B1B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A）.(B).(C).(D).答案：D解析：以A1A2B1B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，能作4个，其中A1B1O，A2B2O为等腰三角形，共2个，故概率为：3、(2022年武汉)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC41\n边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°答案：A解析：因为AB＝AC，所以，∠C＝∠ABC＝（180°－36°）＝72°，又BD为高，所以，∠DBC＝90°72°＝18°4、（2022四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（）A.70°B.55°C.50°D.40°答案：D解析：因为AB=AC，所以∠C＝∠B=70°，∠A=180°－70°－70°＝40°5、（2022•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（ ）考点：梯形；等腰三角形的判定与性质．分析：延长AE交BC于F，根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AFB，然后求出∠BAF=∠AFB，再根据等角对等边求出AB=BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．解答：解：延长AE交BC于F，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF，∵AE∥CD，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=，BC=4，∴CF=4﹣=，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD=CF=．故选B．41\n点评：本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．6、（2022•攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ ） A．30°B．35°C．40°D．50°考点：旋转的性质．分析：根据旋转的性质可得AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠ACC′=∠CAB，然后利用等腰三角形两底角相等求出∠CAC′，再求出∠BAB′=∠CAC′，从而得解．解答：解：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′，∵CC′∥AB，∠CAB=75°，∴∠ACC′=∠CAB=75°，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×75°=30°，∵∠BAB′=∠BAC﹣∠B′AC，∠CAC′=∠B′AC′﹣∠B′AC，∴∠BAB′=∠CAC′=30°．故选A．点评：本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质．7、（2022•广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ）41\n A．25B．25或32C．32D．19考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．3718684分析：因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8、（2022泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ） A．2B．4C．4D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，41\n∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．9、（2022•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ） A．4B．5C．6D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：作出图形，利用数形结合求解即可．解答：解：如图，满足条件的点M的个数为6．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观．10、（2022•德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（ ）41\n A．68°B．32°C．22°D．16°考点：平行线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠C的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．解答：解：∵CD=CE，∴∠D=∠DEC，∵∠D=74°，∴∠C=180°﹣74°×2=32°，∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°．故选B．点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．11、（2022•徐州）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ） A．80°B．50°C．40°D．20°考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．解答：解：∵等腰三角形的顶角为80°，∴它的底角度数为（180°﹣80°）=50°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．12、（2022•张家界）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（ ） A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形考点：中点四边形．3718684分析：根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形．解答：解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是菱形．证明：连接AC、BD．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=AC．同理FG=BD，GH=AC，EH=BD，又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，41\n∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形．故选C．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．13、（2022•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ） A．5B．7C．5或7D．6考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．3718684分析：因为已知长度为3和1两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当3为底时，其它两边都为1，∵1+1＜3，∴不能构成三角形，故舍去，当3为腰时，其它两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．14、（2022•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）41\n A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，解得：CD=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．15、（2022成都市）如图，在△ＡＢＣ中，，AB=5,则AC的长为（）A.2B.3C.4D.5答案：D解析：由∠B＝∠C，得AC＝AB＝5（等角对等边），故选D16、（2022•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（ ） A．8B．6C．4D．2考点：等腰三角形的判定；矩形的性质．分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，41\n∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，故选：C．点评：此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．17、（2022哈尔滨）如图，在ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为()．(A)4(B)3(C)(D)2考点：平行四边形的性质及等腰三角形判定．分析：本题主要考查了平行四边形的性质：平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键解答：根据CECE平分∠BCD得∠BCE=∠ECD,AD∥BC得∠BCE=∠DEC从而△DCE为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3故选B18、（2022•毕节地区）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．16B．20或16C．20D．12考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为4和8两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，周长为20；②当4为腰时，其它两边为4和8，∵4+4=8，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有20．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．19、（2022•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）41\n A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°考点：等腰三角形的性质．3718684专题：分类讨论．分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答：解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．20、（2022年广州市）如图5，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是的平分线，且则=（）ABCD分析：先判断DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算．解：∵CA是∠BCD的平分线，∴∠DCA=∠ACB，又∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，∵AB⊥AC，∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），∴点F是AC中点，∴AF=CF，∴EF是△CAB的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2，在Rt△ADF中，AF==4，则AC=2AF=8，tanB===2．故选B．点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大．21、（2022台湾、31）如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求（乙）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）41\n A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确考点：平行四边形的判定．分析：求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×（180°﹣108°）=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×（180°﹣54°）=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，41\n∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；故选C．点评：本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 22、（2022台湾、20）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为何？（ ） A．20B．35C．40D．55考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据等边对等角求解即可．解答：解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=PC，MP=MC，∵∠PBC=70°，∴∠BCP=（180°﹣∠PBC）=（180°﹣70°）=55°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°，∴∠MPC=∠MCP=35°．故选B．点评：本题考查了矩形的四个角都是直角的性质，等腰三角形两底角相等的性质以及等边对等角，是基础题．23、（2022•滨州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B= 65° ．考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形性质即可直接得出答案．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=50°，∴∠B=（180°﹣50°）÷2=65°．故答案为：65°．点评：本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．24、（2022•雅安）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 ．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题：分类讨论．41\n分析：先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．解答：解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0，解得a=1，b=2，①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，∵1+1=2，∴不能组成三角形，②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5．故答案为：5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．25、（2022•黄冈）已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB= 6 ．考点：反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质．3481324分析：根据等腰三角形的性质得出CO=BC，再利用反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB即可．解答：解：过点A作AC⊥OB于点C，∵AO=AB，∴CO=BC，∵点A在其图象上，∴AC×CO=3，∴AC×BC=3，∴S△AOB=6．故答案为：6．41\n点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，正确分割△AOB是解题关键．26、（2022•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 12° ．考点：等腰三角形的性质．3718684分析：设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．解答：解：设∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P2P3P4=∠P13P12P10=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．27、（2022•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．3481324分析：根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可．解答：解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，∵BD为中线，41\n∴∠DBC=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠E+∠CDE=∠ACB，∴∠E=30°=∠DBC，∴BD=DE，∵BD是AC中线，CD=1，∴AD=DC=1，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD==，即DE=BD=，故答案为：．点评：本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长．28、（2022•昆明）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 8 个．考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．解答：解：如图所示，使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．故答案为：8．点评：本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．29、（2022•荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 80°或50° ．41\n考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．3718684分析：已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．解答：解：当该角为顶角时，顶角为50°；当该角为底角时，顶角为80°．故其顶角为50°或80°．故填50°或80°．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．30、（2022凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．解答：解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．点评：本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 31、（2022•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 6，4或5，5 ．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：此题分为两种情况：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．解答：解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理，故该等腰三角形的另两边为：6，4或5，5．故答案为：6，4或5，5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中．32、（2022凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．41\n考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：动点型．分析：当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．解答：解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，∴此时点P坐标为（2，4）；（2）如答图②所示，OP=OD=5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，∴此时点P坐标为（3，4）；（3）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．41\n过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．点评：本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏． 33、（2022•牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm或cm ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．3718684专题：分类讨论．分析：设平行四边形的短边为xcm，分两种情况进行讨论，①若BE是平行四边形的一个短边，②若BD是平行四边形的一个短边，利用三角形相似的性质求出x的值．解答：解：如图AB=AC=8cm，BC=6cm，设平行四边形的短边为xcm，①若BE是平行四边形的一个短边，则EF∥BC，=，解得x=2.4厘米，②若BD是平行四边形的一个短边，则EF∥AB，=，解得x=cm，综上所述短边为2.4cm或cm．41\n点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图形，结合图形很容易解答．34、（2022•眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有（ ）个． A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定④正确．解答：解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，41\n∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，∴∠BAE与∠CAD不一定相等，∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，∵BF=DC，EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，④正确．所以正确的结论有①③④．故选C．点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．35、（2022•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．41\n考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．36、（2022•玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 6 个，写出其中一个点P的坐标是 （5，0） ．考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．3718684专题：数形结合．分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根据平面直角坐标系写出点P的坐标即可．解答：解：如图所示，满足条件的点P有6个，分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（﹣5，0）（0，﹣5）．故答案为：6；（5，0）（答案不唯一，写出6个中的一个即可）．点评：41\n本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便． 37、（2022•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为 2a ．考点：旋转的性质．3718684分析：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，可求得：∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=90°﹣α，然后由三角形内角和定理，求得答案．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，∴∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，∴∠CDB=∠B=90°﹣α，∴∠BCD=180°﹣∠B﹣∠CDB=2α．即旋转角的大小为2α．故答案为：2α．点评：此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．38、（2022菏泽）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 ．考点：平行四边形的性质；等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）．分析：如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE．又B′E是BD的中垂线，则DB′=BB′．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，∴BE=BD=1．如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．∴∠BEB′=90°，∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE=．又∵BE=DE，B′E⊥BD，41\n∴DB′=BB′=．故答案是：．点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换（折叠的性质）．推知DB′=BB′是解题的关键． 39、（2022菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12 ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．41\n点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点． 40、(2022年江西省)如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．【答案】25°.【考点解剖】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质．【解题思路】已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°,∴∠DAE=25°．【解答过程】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，∴AD=DE,∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°.∴∠DAE=.【方法规律】先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，分别将∠BAD=130°转化为∠BCD=130°,∠F=110°转化为∠DCF=70°,从而求得∠ADE=∠BCF=130°.【关键词】平行四边形等腰三角形周长求角度41、（2022•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．3718684专题：证明题．分析：利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．41\n解答：证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD与△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B=∠C．42、（2022•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．3718684分析：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．解答：（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C．在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，∴△APQ∽△ABC．（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ．（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由（1）可知，△APQ∽△ABC，41\n∴，即，解得：PB=，∴AP=AB﹣PB=3﹣=；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A，∴BQ=AB，∴AB=BP，点B为线段AB中点，∴AP=2AB=2×3=6．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．点评：本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．43、（2022杭州）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．考点：等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．（2）从数学思想上考虑解答．解答：解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，41\n解得，∠A=21°；②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，∴点B（3，），∵BC=3，∴点C（3，+2），∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴A（1，+2），∵点A也在反比例函数图象上，∴+2=k，解得，k=3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题． 44、（13年安徽省4分、14）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在A，处，给出以下判断：（1）当四边形A，CDF为正方形时，EF=（2）当EF=时，四边形A，CDF为正方形（3）当EF=时，四边形BA，CD为等腰梯形；（4）当四边形BA，CD为等腰梯形时，EF=。其中正确的是（把所有正确结论序号都填在横线上）。41\n45、（2022•益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．41\n考点：旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判定．分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可．解答：（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°，∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，∴AE=BE，BE=BC，∴AE=BC．（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，∵在△CAE′和△BAF′中，∴△CAE′≌△BAF′，∴CE′=BF′．（3）存在CE′∥AB，理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°．②当点E的像E′与点N重合时，由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．41\n点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．46、（2022•嘉兴）小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由；（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．考点：作图—应用与设计作图；平行线的性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据平行线的性质得出即可；（2）根据题意，有3个角与∠PAB相等．由等腰三角形的性质，可知∠PAB=∠PDA；又对顶角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行线性质，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；（3）作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，故EF即为所求作的图形．解答：解：（1）PC∥a（两直线平行，同位角相等）；（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，如图，∵PA=PD，∴∠PAB=∠PDA，∵∠BDC=∠PDA（对顶角相等），41\n又∵PC∥a，∴∠PDA=∠1，∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；（3）如图，作线段AB的垂直平分线EF，则EF是所求作的图形．点评：本题涉及到的几何基本作图包括：（1）过直线外一点作直线的平行线，（2）作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：（1）平行线的性质，（2）等腰三角形的性质，（3）对顶角的性质，（4）垂直平分线的性质等．本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力，是一道好题．题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答．47、（2022杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．求证：△GAB是等腰三角形．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．专题：证明题．分析：由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易证得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE=∠CBF，则可得∠GAB=∠GBA，然后由等角对等边，证得：△GAB是等腰三角形．解答：证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴∠DAE=∠CBF，∴∠GAB=∠GBA，∴GA=GB，即△GAB为等腰三角形．点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 48、（2022•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．41\n（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．3718684专题：证明题．分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可．解答：证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠EAC，在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE=CE；（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF=BF，∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF，在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA）．点评：41\n本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键．49、（2022哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒．(1)求线段BC的长；(2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：(3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF=QG?考点：等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程分析：（1）由△AOB为等边三角形得∠ACB=∠OBC=300，由此CO=OB=AB=OA=3，在RT△ABC中，AC为6，从而BC=（2）过点Q作QN∥0B交x轴于点N，先证△AQN为等边三角形，从而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3-(3-t)=tPN=t+t=2t，再由△POE∽△PNQ后对应边成比例计算得再由EF=BE易得出m与t之间的函数关系式(3)先证△AE’G为等边三角形，再证∠QGA=900通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通过解方程求出解答：(1)解：如图l∵△AOB为等边三角形∴∠BAC=∠AOB=60。∵BC⊥AB∴∠ABC=900∴∠ACB=300∠OBC=300∴∠ACB=∠OBC∴CO=OB=AB=OA=3∴AC=6∴BC=AC=(2)解：如图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N∴∠QNA=∠BOA=600=∠QAN∴QN=QA∴△AQN为等边三角形∴NQ=NA=AQ=3-t∴NON=3-(3-t)=t41\n∴PN=t+t=2t∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ∴∴∴∵EF∥x轴∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=300∴EF=BE∴m=BE=OB-OE(0<t<3)(3)解：如图2∴∠AEG=600=∠EAG∴GE1=GA∴△AE’G为等边三角形∴∠l=∠2∠3=∠4∵∠l+∠2+∠3+∠4=1800∴∠2+∠3=900即∠QGA=900∵EF∥OC∵∠FCP=∠BCA∴△FCP∽△BCA．41\n∵2BQ—PF=QG∴∴t=1∴当t=1时，2BQ—PF=QG50、（2022•牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= 2 ，CB= +1 ．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．3718684分析：（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=AB﹣AE即可证得；（2）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．解答：（1）如图（2）：AB﹣BD=CB．证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，41\n∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AB﹣AE，∴BE=AB﹣BD，∴AB﹣BD=CB．如图（3）：BD﹣AB=CB．证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE﹣AB，∴BE=BD﹣AB，∴BD﹣AB=CB．（2）如图（1），过点B作BH⊥CD于点H，∵∠ABC=45°，DB⊥MN，∴∠CBD=135°，∵∠BCD=30°，∴∠CBH=60°，∴∠DBH=75°，∴∠D=15°，∴BH=BD•sin45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BH=BD=×=1，∵∠BCD=30°∴CD=2DH=2，∴CH==，∴CB=CH+BH=+1；41\n点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．51、（2022•绥化压轴题）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．考点：一次函数综合题分析：（1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．解答：解：（1）解方程x2﹣14x+48=0得x1=6，x2=8．∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根，∴OC=6，OA=8．∴C（0，6）；（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．由（1）知，OA=8，则A（8，0）．∵点A、C都在直线MN上，∴，41\n解得，，∴直线MN的解析式为y=﹣x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），∴根据题意知B（8，6）．∵点P在直线MNy=﹣x+6上，∴设P（a，﹣a+6）当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；②当PC=BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2=64，解得，a=，则P2（﹣，），P3（，）；③当PB=BC时，（a﹣8）2+（﹣a+6﹣6）2=64，解得，a=，则﹣a+6=﹣，∴P4（，﹣）．综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想．52、（2022•郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．（1）证明：△PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；41\n（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形．3718684分析：（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．解答：（1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形；（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k，∴EM=CM•tanC=•k=，同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣，由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，所以，S△PCE=x•2x=x2，S△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，41\n=64﹣x2﹣（8﹣x）2，=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，所以，当x=4时，S有最大值32．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．53、（13年安徽省14分、23压轴题）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：（3）在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）41\n41
