规律与猜想规律与猜想是考查学生收集整理、分析数据、处理信息的能力，在具体、特殊的事件中探究其存在的一般规律，是一种发现和创新．常见的有：循环规律(这种规律的特征是在以几个不同的数据或几个图形在不同的位置为一组，依次循环的出现)、等差递推规律(这种规律的特征是每连续的两个数之间后一个数减去前一个数都等于同一个数)、指数递增(减)规律(这种规律的特征是出现了乘方，底数不变，指数有规律的递增)等，这些规律常在点、数式、图形、坐标、面积等的变化中体现．中考常考的方式是每一种规律单独考查，但也有少部分题是几种规律结合起来考查，掌握好每一种规律的处理方法，便能解决此类问题．类型1 循环规律 (2022·贵港)如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x－1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝－上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn＋1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an(n为正整数)．若a1＝－1，则a2015＝______．【思路点拨】 首先根据a1＝－1，求出a2＝2，a3＝，a4＝－1，a5＝2，…，所以a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是－1、、2；然后用2015除以3，根据商和余数的情况，判断出a2015是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．【解答】 ∵a1＝－1，∴B1的坐标是(－1，1)．∴A2的坐标是(2，1)，即a2＝2.∵a2＝2，∴B2的坐标是(2，－)．∴A3的坐标是(，－)，即a3＝.∵a3＝，∴B3的坐标是(，－2)．∴A4的坐标是(－1，－2)，即a4＝－1.∵a4＝－1，∴B4的坐标是(－1，1)．∴A5的坐标是(2，1)，即a5＝2.…∴a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是－1、2、.∵2015÷3＝671……2，∴a2015是第672个循环的第2个数，∴a2015＝2.故答案为2.此题主要考查了一次函数及反比例函数点的坐标的特征，在逐一求出点的坐标的过程中，呈现了数的循环规律，依据一次函数和反比例函数点的坐标的特征顺次求出坐标并找出其中的规律是本题解题的关键．此外，解决此类问题的基础是要掌握好循环规律的处理方法：用所要求的结果的序数除以循环节(如果5\n3个数一个循环，则循环节即为3)，得出的商即循环的次数，余数即循环节中的第几个数． 1．(2022·玉林)一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，an＝(n为不小于2的整数)，则a100＝( )A.B．2C．－1D．－22．(2022·内江)如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是________．○○□□□△○○□□□△○○□□□△○○□…3．(2022·桂林)观察下列运算：81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768，86＝262144，…，则：81＋82＋83＋84＋…＋82014的和的个位数字是________．类型2 等差递推规律 (2022·南宁)如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是________．【思路点拨】 序号为奇数的点在点A的坐标左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，所以可得到A1所表示的数为：1－3＝1－3×1＝－2，A3所表示的数为：1－3－3＝1－3×2＝－5，A5所表示的数：1－3－3－3＝1－3×3＝－8，…，从而顺推出第7个点所表示的数A13＝1－3×7＝－20，同理得出第6个点所表示的数A12＝－2＋3×7＝19；从而求出n的最小值．除此之外，还可以用式子把An所表示的数表示出来，即：如果An在点A的坐标左边，则An＝1－3×，如果An在点A的坐标右边，则An＝－2＋3×，要使得点An与原点的距离不小于20，则1－3×≤－20(n为奇数)或者－2＋3×≥20(n为偶数)求出n的最小值．【解答】 根据题意可得：A1所表示的数为：1－3＝1－3×1＝－2，A2所表示的数为：－2＋3＋3＝－2＋3×2＝4，A3所表示的数为：1－3－3＝1－3×2＝－5，A4所表示的数为：－2＋3＋3＋3＝－2＋3×3＝7，A5所表示的数：1－3－3－3＝1－3×3＝－8，A6所表示的数为：－2＋3＋3＋3＋3＝－2＋3×4＝10，…A12所表示的数为：－2＋3×7＝19；A13所表示的数为：1－3×7＝－20.故n的最小值为13.本题考查了点的移动规律，在求点的过程中，可以找到数与数之间等差的规律，根据这个规律顺推下去，即可找到所要求的结果．解决存在等差规律的题目的方法技巧是：如果所求结果的数目不是很大时，那么找出规律后，用顺推的方法即可得出结果；如果所求结果的数目很大时，那么要通过分析把这种规律用一个式子表示出来(如上述例子中思路点拨的第二种方法)，再去求所要求的结果．1．(2022·贵港)已知点A1(a1，a2)，A2(a2，a3)，A3(a3，a4)…，An(an，an＋15\n)(n为正整数)都在一次函数y＝x＋3的图象上．若a1＝2，则a2014＝________.2．(2022·梧州)如图是由等圆组成的一组图，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由12个圆组成…，按此规律排列下去，则第⑥个图由________个圆组成．3．(2022·百色)观察以下等式：32－12＝8，52－12＝24，72－12＝48，92－12＝80，…由以上规律可以得出第n个等式为____________________．类型3 指数递增(减)规律 (2022·桂林)如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n行有________个点．……【思路点拨】 根据前四行的点数分别是2＝3×21－1－1，5＝3×22－1－1，11＝3×23－1－1，23＝3×24－1－1，…，可得第n行有3×2n－1－1个点，据此解答即可．【解答】 ∵2＝3×21－1－1，5＝3×22－1－1，11＝3×23－1－1，23＝3×24－1－1，…∴第n行有3×2n－1－1个点．故答案为3×2n－1－1.本题主要考查了图形的变化类问题，首先要找出图形哪些部分发生了变化，这个变化是按照什么规律变化的，从上面的例子我们可以找到这样的规律，每行的点数都可以用“3乘以2的乘方的积减去1”这样的式子来表示，而且2的指数是依次递增的．根据这个规律，我们就可以把第n行的点数用一个式子表示出来，从而得解．解决此类存在指数递增(减)的问题的关键是先通过分析找到指数变化的规律并用一个式子把这种规律表示出来．再求所要求的结果．当然，在所求结果的数目不是很大的情况下，也可以直接顺推出结果．1．(2022·百色)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1，A2，A3，…在x轴上，点B1，B2，B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是( )A．24B．48C．96D．1925\n2．观察下列数：，－，，－，…，按此规律排列，第十个数为________．3．(2022·钦州)如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变化．经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依此规律，设第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.1．(2022·崇左)如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A－B－C－D－A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )A．(－1，0)B．(1，－2)C．(1，1)D．(－1，－1)2．(2022·北海)下列式子按一定规律排列：，，，，…，则第2014个式子是________．3．(2022·百色)观察下列砌钢管的横截面图：则第n个图的钢管数是________(用含n的式子表示)．4．(2022·钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是________分．5．(2022·衡阳)如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn＋1，都是等腰直角三角形．其中点A1，A2，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线y＝x上．已知OA1＝1，则OA2015的长为________． 6．(2022·北海)如图，直线y＝－2x＋2与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn－1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，Tn－1，用S15\n，S2，S3，…，Sn－1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn－1Pn－2Pn－1的面积，则当n＝2015时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝________.7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1.过点C作CC1⊥AB于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作法进行下去，则ACn＝________.参考答案类型11．A 2.正方形 3.2类型21．6041 2.51 3.(2n＋1)2－12＝4n(n＋1)类型31．C 2.－ 3.16综合训练1．D 2. 3.n(n＋1) 4.336 5.22014 6. 7.5
