圆的证明与计算圆内容所涵盖知识点多，考查面广，与其他内容横向联系较多，在历年广西中考中所占地位十分重要．圆的有关概念及性质考查一般以选择题、填空题形式出现，所占分值5～8分；圆的有关性质如垂径定理、圆周角定理、切线的判定和性质等内容的考查一般以证明、计算题形式出现，作为几何压轴题的第一、二小题；而利用圆的知识与方程、函数、三角形、四边形、解直角三角形等内容结合作为压轴题出现，考查分值达到10～12分；另外与圆有关的实际应用题、阅读理解题、探索存在题均为这几年的考查热点．类型1 圆的简单证明与计算 (2022·南宁)如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且＝.过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E.连接BC，交OD于点F.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若＝，求∠E的度数；(3)连接AD，在(2)的条件下，若CD＝，求AD的长．【思路点拨】 (1)如图，连接OC，由圆周角定理得到∠ABC＝∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC＝OB，于是得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠OCB＝∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；(2)由OC∥BD，得到△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD，得到＝＝，＝＝，根据直角三角形的性质即可得到结论；(3)如图，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD＝3，DE＝3，BE＝6，在Rt△DAH中，AD＝＝＝.【解答】 (1)证明：如图，连接OC，∵＝.∴∠ABC＝∠CBG.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.∴∠OCB＝∠CBG.∴OC∥BG.∵CD⊥BG，∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)∵OC∥BD，∴△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD.∴＝＝.∴＝＝.∵OA＝OB，∴AE＝OA＝OB.∴OC＝OE.∵∠ECO＝90°，∴∠E＝30°.(3)如图，过A作AH⊥DE于H.∵∠E＝30°，∴∠EBD＝60°.∴∠CBD＝EBD＝30°.∵CD＝，∴BD＝3，DE＝3，BE＝6.∴AE＝BE＝2.∴AH＝1.∴EH＝.∴DH＝2.在Rt△DAH中，AD＝＝＝.本题考查了切线的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理、相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．证明直线是圆的切线有两种方法：(1)已知直线与圆的交点在圆上，只需连接圆心和这一点，再证明垂直即可；(2)需证是切线的直线没有说明有点圆上，则需要过圆心作需证的切线的垂线段，证明这条垂线段是圆的半径即可．涉及圆中的有关计算时，有线段的比例式或等积式，一般可考虑证其所在的三角形相似或是利用三角函数进行计算．8\n 1．(2022·贺州)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若OE＝cm，AC＝2cm，求DC的长(结果保留根号)．2．(2022·丽水)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．8\n3．(2022·来宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)延长AC到点P，使PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线；(3)如果AB＝10，cos∠ABC＝，求AD.类型2 圆与四边形的综合证明与计算1．(2022·玉林)如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD＝60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE、EB.(1)求证：四边形BCDE是平行四边形；(2)已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r.8\n2．(2022·贵港)如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM.(1)若AB＝4，求的长；(结果保留π)(2)求证：四边形ABMC是菱形．3.(2022·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点． 图1图2(1)如图1，求⊙O的半径；8\n(2)如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；(3)如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B、C)，以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN＝90°，交直线CP于点N，求证：AM＝MN.类型3 圆与函数的综合(2022·贵港)如图所示，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，PA与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D.(1)求证：CD是小半圆M的切线；(2)若AB＝8，点P在大半圆O上运动(点P不与A，B两点重合)，设PD＝x，CD2＝y.①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当y＝3时，求P，M两点之间的距离．参考答案类型11．(1)证明：连接OC，8\n∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠BAD，∴∠OAC＝∠CAD.∴∠OCA＝∠CAD.∵AD⊥DC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠OCA＋∠ACD＝90°.∴OC⊥DC.∴DC是⊙O的切线．(2)∵OE⊥AC，∴AE＝AC＝cm.在Rt△AOE中，AO＝＝＝4(cm)．由(1)得∠OAC＝∠CAD，∠ADC＝∠AEO＝90°，∴△AOE∽△ACD.∴＝，即＝.∴DC＝cm. 2.(1)证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ODB＝∠ACB.∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.∴DF⊥AC.(2)连接OE.∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°.∴∠BAC＝45°.∴∠BOE＝90°.∴∠AOE＝90°.∵⊙O的半径为4，∴S阴影＝S扇形OAE－S△AOE＝－×4×4＝4π－8. 3.(1)证明：∵OD∥BC，∴∠ODB＝∠CBD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠CBD＝∠OBD.∴BD平分∠ABC.(2)证明：∵PF＝PB，∴∠PFB＝∠PBF.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠CFB＋∠CBF＝90°.∴∠OBD＋∠PBF＝90°，即∠ABP＝90°.∴PB是⊙O的切线．(3)∵AB＝10，cos∠ABC＝，∴BC＝6，AC＝8.∵OD∥BC，∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴OD垂直平分AC，且EO为Rt△ACB的中位线．∴OE＝3，AE＝4，DE＝2.∴AD＝＝2.类型21．(1)证明：∵CD是⊙O的切线，∠BOD＝60°，∴OD⊥CD，∠C＝30°.∴∠DEB＝∠DOB＝30°.连接OE，得∠AOE＝60°，8\n∴∠EBA＝∠AOE＝30°.∴EB∥CD，ED∥BC.∴四边形BCDE是平行四边形．(2)∵OD⊥CD，BE∥CD，∴OD⊥EB，设OD与EB交点为H，∴BH＝HE.∵∠DEH＝∠OBH，∠EHD＝∠BHO.∴△OBH≌△DEH.∴阴影部分面积与扇形OBD面积相等．∴＝6π，解得r＝6. 2.(1)连接OB，∵OA＝OB，CD⊥AB，∴＝.∴∠AOE＝∠BOE.又∵E是OD中点，∴OE＝OD＝OA.∴在Rt△AOE中，∠OAB＝30°，∠AOE＝60°.∴∠AOB＝120°.设OA＝x，则OE＝x，AE＝x.∵AB＝4，∴AB＝2AE＝x＝4.解得x＝4.则的长l＝＝.(2)证明：由(1)得∠OAB＝∠OBA＝30°，∠BOM＝∠COM＝60°.∵BM为⊙O的切线，∴∠OBM＝90°.∴∠OMB＝30°.∴∠BAM＝∠BMA.∴AB＝BM.在△COM和△BOM中，∴△COM≌△BOM(SAS)．∴CM＝BM，∠CMO＝∠BMO＝30°.∴CM＝AB，∠CMO＝∠MAB.∴CM∥AB.∴四边形ABMC为菱形． 3.(1)连接BD，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∠BAD＝90°，∴BD为⊙O直径．在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，∴BD＝4.∴⊙O的半径为2.(2)连接OE、OC、OP.∵PC、PD是⊙O的两条切线，∴∠PDO＝∠PCO＝90°.∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠COD＝90°，OC＝OD.∴四边形OCPD是正方形．∴OP＝4.∵点E是BC的中点，∴OE⊥BC，OE＝2.在Rt△OPE中，∠EOP＝90°，OE＝2，OP＝4，∴PE＝2.(3)证明：在AB上取AF＝MC，连接MF，OC，OD.∵AB＝BC，∴BF＝BM.∵∠B＝90°，∴∠BFM＝∠BMF＝45°.∴∠AFM＝135°.又∵在正方形ABCD中，∠OCB＝45°，∴∠MCN＝∠AFM＝135°.∵∠AMN＝90°，∠MAB＋∠AMB＝∠CMN＋∠AMB，∴∠MAB＝∠CMN.∴△AFM≌△MCN.∴AM＝MN.8\n 图1图2类型3(1)证明：连接CO、CM.∵AO是小半圆M的直径，∴∠ACO＝90°，即CO⊥AP.∵OA＝OP，∴AC＝PC.∵AM＝OM，∴CM是△APO的中位线．∴CM∥PO.∴∠MCD＝∠PDC.∵CD⊥OP，∴∠PDC＝90°.∴∠MCD＝90°，即CD⊥CM.∵CD经过半径CM的外端C，且CD⊥CM，∴CD是小半圆M的切线．(2)①∵CO⊥AP，CD⊥OP，∴∠OCP＝∠ODC＝∠CDP＝90°.∴∠OCD＝90°－∠DCP＝∠P.∴△ODC∽△CDP.∴＝.∴CD2＝DP·OD.∵PD＝x，CD2＝y，OP＝AB＝4，∴OD＝4－x.∴y＝x(4－x)＝－x2＋4x.当点P与点A重合时，x＝0；当点P与点B重合时，x＝4，∵点P在大半圆O上运动(点P不与A，B两点重合)，∴0＜x＜4.∴y与x之间的函数关系式为y＝－x2＋4x，自变量x的取值范围是0＜x＜4.②当y＝3时，－x2＋4x＝3.解得x1＝1，x2＝3.Ⅰ.当x＝1时，如图1所示．在Rt△CDP中，∵PD＝1，CD＝，∴tan∠CPD＝＝.∴∠CPD＝60°.∵OA＝OP，∴△OAP是等边三角形．∵AM＝OM，∴PM⊥AO.∴PM＝＝＝2.Ⅱ.当x＝3时，如图2所示．同理可得∠CPD＝30°.∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠APO＝30°.∴∠POB＝60°.过点P作PH⊥AB，垂足为H，连接PM.∵sin∠POH＝＝＝，∴PH＝2.同理得OH＝2.在Rt△MHP中，∵MH＝OM＋OH＝4，PH＝2，∴PM＝＝＝2.综上所述：当y＝3时，P，M两点之间的距离为2或2.8
