第2讲整式及因式分解 整式的相关概念单项式概念由数与字母的①______组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个②______也是单项式).系数单项式中的③____因数叫做这个单项式的系数.次数单项式中的所有字母的④________叫做这个单项式的次数.多项式概念几个单项式的⑤________叫做多项式.项多项式中的每个单项式叫做多项式的项.次数一个多项式中，⑥________的项的次数叫做这个多项式的次数.整式单项式与⑦________统称为整式.同类项所含字母⑧______并且相同字母的指数也⑨________的项叫做同类项．所有的常数项都是⑩________项. 整式的运算整式的加减合并同类项(1)字母和字母的指数不变；(2)________相加减作为新的系数.添(去)括号添(去)括号：括号前面是“＋”号，添(去)括号都________符号；括号前面是“－”号，添(去)括号都要________符号.幂的运算同底数幂的乘法am·an＝______.注意：a≠0，b≠0，且m、n都为整数.幂的乘方(am)n＝______.积的乘方(ab)n＝______.同底数幂的除法am÷an＝______．整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的________、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的______作为积的一个因式.7\n单项式与多项式相乘用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积________，即m(a＋b＋c)＝________________.多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积________，即(m＋n)(a＋b)＝________________.整式的除法单项式除以单项式把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的________作为商的一个因式.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商________.乘法公式平方差公式(a＋b)(a－b)＝________.完全平方公式(a±b)2＝____________. 因式分解定义把一个多项式化成几个整式________的形式，就是因式分解.方法提公因式法ma＋mb＋mc＝________.公式法a2－b2＝________；a2±2ab＋b2＝________.步骤(1)若有公因式，应先________；(2)看是否可用________；(3)检查各因式能否继续分解. 【易错提示】 因式分解必须分解到每一个多项式不能再分解为止．1．求代数式的值主要用代入法，代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法．2．整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷．命题点1 列代数式及其求值7\n (2022·自贡)为庆祝抗战70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价a元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的售价为()A．a－10% B．a·10%C．a(1－10%)D．a(1＋10%)列代数式需注意以下三点：一是抓住关键词语(如“和、差、积、商、幂以及大、小、多、少、倍、几分之几、倒数、相反数”等)，确定好数量关系；二是理清问题语句的层次(通常按语句中出现的“的”字划分)，明确运算顺序；三是熟悉相关知识．如几何图形问题中的周长、面积公式，商品销售问题中的利润、售价、进价之间的关系等．1．(2022·乐山)苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需()A．(a＋b)元B．(3a＋2b)元C．(2a＋3b)元D．5(a＋b)元2．(2022·恩施)随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为()A．(a＋b)元B．(a＋b)元C．(b＋a)元D．(b＋a)元3．(2022·湖州)当x＝1时，代数式4－3x的值是()A．1B．2C．3D．44．(2022·咸宁)端午节期间，“惠民超市”销售的粽子打8折后卖a元，则粽子的原价卖________元．命题点2 整式的运算 (2022·衡阳)先化简，再求值：a(a－2b)＋(a＋b)2，其中a＝－1，b＝.【思路点拨】 先利用乘法公式进行整式乘法计算，再进行整式加减运算，最后代入求值．【解答】 整式的运算顺序与实数的运算顺序相同，也就是先算乘、除，再算加、减．代入求值时，先考虑是否可以整体代入，其次再考虑“先求后代”．1．(2022·遂宁)下列运算正确的是()A．a·a3＝a3B．2(a－b)＝2a－bC．(a3)2＝a5D．a2－2a2＝－a22．(2022·南充)下列运算正确的是()A．3x－2x＝xB．2x·3x＝6xC．(2x)2＝4xD．6x÷2x＝3x3．(2022·广元)下列运算正确的是()A．(－ab2)3÷(ab2)2＝－ab2B．3a＋2a＝5a2C．(2a＋b)(2a－b)＝2a2－b2D．(2a＋b)2＝4a2＋b24．(2022·温州)化简：(2a＋1)(2a－1)－4a(a－1)．7\n命题点3 因式分解 (2022·宜宾)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是()A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2C．3x(x＋2)(x－2)D．3x(x－2)2因式分解，首先考虑用提取公因式法，再考虑用公式法；同时要注意直到分解到不能再分解为止．1．(2022·临沂)多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是()A．x－1B．x＋1C．x2－1D．(x－1)22．(2022·成都)因式分解：x2－9＝________．3．(2022·巴中)分解因式：2a2－4a＋2＝________．4．(2022·内江)分解因式：2x2y－8y＝________．5．(2022·绵阳)在实数范围内因式分解：x2y－3y＝____________．命题点4 整体代入求值 (2022·盐城)若2m－n2＝4，则代数式10＋4m－2n2的值为________．思路点拨】 将10＋4m－2n2变形为10＋2(2m－n2)，再将条件整体代入，即可求出其值．整体代入就是根据不同的需要将问题中的某一部分看成一个整体．一般地，以下三种情形，需整体代入求值：一是已知条件中含有不定量时；二是已知条件中字母的取值在现阶段不能直接求出时；三是已知条件中的字母以有理数相关的概念形式出现时．1．(2022·娄底)已知a2＋2a＝1，则代数式2a2＋4a－1的值为()A．0B．1C．－1D．－22．(2022·潜江)已知3a－2b＝2，则9a－6b＝________．3．(2022·连云港)已知m＋n＝mn，则(m－1)(n－1)＝________．4．(2022·北京)已知2a2＋3a－6＝0.求代数式3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．1．(2022·厦门)某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以(x－10)元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是()A．原价减去10元后再打8折B．原价打8折后再减去10元C．原价减去10元后再打2折7\nD．原价打2折后再减去10元2．(2022·泸州)计算(a2)3的结果为()A．a4B．a5C．a6D．a93．(2022·成都)下列计算正确的是()A．a2＋a2＝2a4B．a2·a3＝a6C．(－a2)2＝a4D．(a＋1)2＝a2＋14．(2022·龙岩)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是()A．x2＋x＋1B．x2＋2x－1C．x2－1D．x2－6x＋95．(2022·枣庄)如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为()A．140B．70C．35D．246．(2022·佛山)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝()A．1B．－2C．－1D．27．(2022·福州)计算(x－3)(x＋2)的结果是________．8．(2022·绵阳)计算：a(a2÷a)－a2＝________．9．(2022·常德)计算：b(2a＋5b)＋a(3a－2b)＝________．10．(2022·呼和浩特)分解因式：x3－x＝________．11．(2022·北京)分解因式：5x3－10x2＋5x＝________．12．(2022·衡阳)已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a2－b2的值为________．13．(2022·扬州)若a2－3b＝5，则6b－2a2＋2015＝________．14．(2022·重庆A卷)计算：y(2x－y)＋(x＋y)2.15．(2022·南昌)先化简，再求值：2a(a＋2b)－(a＋2b)2，其中a＝－1，b＝.16．(2022·梅州)已知a＋b＝－，求代数式(a－1)2＋b(2a＋b)＋2a的值．17．(2022·十堰)当x＝1时，ax＋b＋1的值为－2，则(a＋b－1)(1－a－b)的值为() A．－16B．－8C．8D．1618．(2022·邵阳)已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为()A．3B．4C．5D．67\n19．(2022·随州)先化简，再求值：(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－.20．(2022·内江)(1)填空：(a－b)(a＋b)＝________；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________；(2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝________(其中n为正整数，且n≥2)；利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.参考答案考点解读考点1 ①乘积 ②字母 ③数字 ④指数的和 ⑤和 ⑥次数最高 ⑦多项式 ⑧相同 ⑨相同 ⑩同类考点2 系数 不改变 改变 am＋n amn anbn am－n 系数 指数 相加 ma＋mb＋mc 相加 ma＋mb＋na＋nb 指数 相加 a2－b2 a2±2ab＋b2考点3 乘积 m(a＋b＋c) (a＋b)(a－b) (a±b)2 提公因式 公式法各个击破例1 C题组训练 1.C 2.A 3.A 4.a例2 原式＝a2－2ab＋a2＋2ab＋b2＝2a2＋b2.当a＝－1，b＝时，原式＝2＋2＝4.题组训练 1.D 2.A 3.A 4.原式＝4a2－1－4a2＋4a＝4a－1.例3 D题组训练 1.A 2.(x＋3)(x－3) 3.2(a－1)2 4.2y(x＋2)(x－2) 5.y(x－)(x＋)例4 18题组训练 1.B 2.6 3.1 4.原式＝6a2＋3a－(4a2－1)＝6a2＋3a－4a2＋1＝2a2＋3a＋1.∵2a2＋3a－6＝0，∴2a2＋3a＝6.∴原式＝6＋1＝7.整合集训基础过关1．B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.C 7.x2－x－6 8.0 9.5b2＋3a210．x(x＋1)(x－1) 11.5x(x－1)2 12.－3 13.2005 7\n14.原式＝2xy－y2＋x2＋2xy＋y2＝x2＋4xy. 15.原式＝(a＋2b)[2a－(a＋2b)]＝(a＋2b)(a－2b)＝a2－4b2.把a＝－1，b＝代入，得原式＝(－1)2－4()2＝－11. 16.原式＝a2－2a＋1＋2ab＋b2＋2a＝(a＋b)2＋1.把a＋b＝－代入，得原式＝2＋1＝3.能力提升17．A 18.C 19.原式＝4－a2＋a2－5ab＋3ab＝4－2ab，当ab＝－时，原式＝4＋1＝5. 20.(1)a2－b2 a3－b3 a4－b4 (2)an－bn (3)原式＝(2－1)(28＋26＋24＋22＋2)＝342.7
