第3讲整式及因式分解 整式的相关概念单项式概念由数与字母的①____组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个②____也是单项式).系数单项式中的③____因数叫做这个单项式的系数.次数单项式中的所有字母的④________叫做这个单项式的次数.多项式概念几个单项式的⑤____叫做多项式.项多项式中的每个单项式叫做多项式的项.次数一个多项式中，⑥________的项的次数叫做这个多项式的次数.整式单项式与⑦______统称为整式.同类项所含字母⑧____并且相同字母的指数也⑨____的项叫做同类项．所有的常数项都是⑩____项. 整式的运算整式的加减合并同类项(1)字母和字母的指数不变；(2)⑪____相加减作为新的系数.添(去)括号添(去)括号：括号前面是“＋”号，添(去)括号都⑫______符号；括号前面是“－”号，添(去)括号都要⑬____符号.幂的运算同底数幂的乘法am·an＝⑭__注意：a≠0，b≠0，且m、n都为整数.幂的乘方(am)n＝⑮__积的乘方(ab)n＝⑯__同底数幂的除法am÷an＝⑰____整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的⑱____、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的⑲____作为积的一个因式.单项式与多项式相乘用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积⑳____，即m(a＋b＋c)＝____________.多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积____，即(m＋n)(a＋b)＝______________.7\n整式的除法单项式除以单项式把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的____作为商的一个因式.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商____.乘法公式平方差公式(a＋b)(a－b)＝______完全平方公式(a±b)2＝____________ 因式分解定义把一个多项式化成几个整式____的形式，就是因式分解.方法提公因式法ma＋mb＋mc＝__________公式法a2－b2＝__________a2±2ab＋b2＝________步骤(1)若有公因式，应先________；(2)看是否可用______；(3)检查各因式能否继续分解 【易错提示】因式分解必须分解到每一个多项式不能再分解为止．1．求代数式的值主要用代入法，代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法．2．整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷．命题点1 代数式及其求值 (2022·扬州)若a2－3b＝5，则6b－2a2＋2015＝________.【思路点拨】 把6b－2a2＋2015变形为2(3b－a2)＋2015，把a2－3b＝5化为3b－a2＝－5后代入求值．求代数式的值时，常采用以下两种方法：①应用整体代入求值；②把已知的式子化为一个字母用另外的字母表示，代入所求代数式，进行化简求值．7\n1．(2022·湖州)当x＝1时，代数式4－3x的值是( )A．1B．2C．3D．42．(2022·自贡)为庆祝抗战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为( )A．a－10%B．a·10%C．a(1－10%)D．a(1＋10%)3．(2022·苏州)若a－2b＝3，则9－2a＋4b的值为________．4．(2022·遵义)如果单项式－xyb＋1与xa－2y3是同类项，那么(a－b)2015＝________.命题点2 整式的运算 (2022·江西)先化简，再求值：2a(a＋2b)－(a＋2b)2，其中a＝－1，b＝.【思路点拨】 先利用公式进行整式的乘法运算，再进行整式的加减运算，化简后代入求值．【解答】 进行整式的运算时，要先进行整式的乘法运算，再合并同类项，结果应为最简的．代入求值时，要注意整体添加括号．1．(2022·聊城)下列运算正确的是( )A．a2＋a3＝a5B．(－a3)2＝a6C．ab2·3a2b＝3a2b2D．－2a6÷a2＝－2a32．(2022·天津)计算x2·x5＝________.3．(2022·绵阳)计算：a(a2÷a)－a2＝________.4．(2022·菏泽)若x2＋x＋m＝(x－3)(x＋n)对x恒成立，则n＝________.5．(2022·丽水)先化简，再求值：a(a－3)＋(1－a)(1＋a)，其中a＝.命题点3 因式分解 (2022·威海)分解因式：－2x2y＋12xy－18y＝____________．因式分解，首先需观察有无公因式可提，然后再考虑是否可用公式法分解，直到分解到不能再分解为止．1．(2022·菏泽)将多项式ax2－4ax＋4a分解因式，下列结果中正确的是( )A．a(x－2)2B．a(x＋2)2C．a(x－4)2D．a(x＋2)(x－2)7\n2．(2022·嘉兴)因式分解：ab－a＝__________．3．(2022·绵阳)在实数范围内因式分解：x2y－3y＝__________________．4．(2022·潍坊)因式分解：ax2－7ax＋6a＝____________________．1．(2022·台州)单项式2a的系数是( )A．2B．2aC．1D．a2．(2022·济宁)化简－16(x－0.5)的结果是( )A．－16x－0.5B．16x＋0.5C．16x－8D．－16x＋83．(2022·巴中)若单项式2x2ya＋b与－xa－by4是同类项，则a，b的值分别为( )A．a＝3，b＝1B．a＝－3，b＝1C．a＝3，b＝－1D．a＝－3，b＝－14．(2022·临沂)多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是( )A．x－1B．x＋1C．x2－1D．(x－1)25．(2022·呼和浩特)下列运算，结果正确的是( )A．m2＋m2＝m4B．(m＋)2＝m2＋C．(3mn2)2＝6m2n4D．2m2n÷＝2mn26．(2022·江西)下列运算正确的是( )A．a2＋a3＝a5B．(－2a2)3＝－6a6C．(2a＋1)(2a－1)＝2a2－1D．(2a3－a2)÷a2＝2a－17．(2022·乐山)苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需( )A．(a＋b)元B．(3a＋2b)元C．(2a＋3b)元D．5(a＋b)元8．(2022·枣庄)图1是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )A．2abB．(a＋b)2C．(a－b)2D．a2－b29．(2022·苏州)计算：a·a2＝________.10．(2022·株洲)因式分解：x2(x－2)－16(x－2)＝________________．11．(2022·金华)已知a＋b＝3，a－b＝5，则代数式a2－b2＝________.12．(2022·咸宁)体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．则代数式500－3x－2y表示的实际意义是____________________.13．(2022·安顺)如图所示是一组有规律的图案，第1个图案是由4个基础图形组成，第2个图案是由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中的基础图形的个数为________(用含n的式子表示)．14．(2022·益阳)化简：(x＋1)2－x(x＋1)．7\n15．(2022·长沙)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－x(x＋y)＋2xy，其中x＝(3－π)0，y＝2.16．(2022·娄底)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝.17．(2022·北京)已知x2－4x－1＝0，求代数式(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2的值．18．(2022·威海)已知x2－2＝y，则x(x－3y)＋y(3x－1)－2的值是( )A．－2B．0C．2D．419．(2022·日照)若3x＝4，9y＝7，则3x－2y的值为( )A.B.C．－3D.20．(2022·南京)分解因式(a－b)(a－4b)＋ab的结果是__________．21．(2022·铜仁)请看杨辉三角(图1)，并观察下列等式(图2)： (a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4…图2根据前面各式的规律，则(a＋b)6＝________________________________________________________________.22．(2022·义乌)如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．7\n(1)设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1、S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．温馨提示：“整合集训”完成后，可酌情使用P15滚动小专题(一)类型2“整式的运算”进行强化训练！考点解读①乘积 ②字母 ③数字 ④指数的和 ⑤和 ⑥次数最高 ⑦多项式 ⑧相同 ⑨相同 ⑩同类 ⑪系数 ⑫不改变 ⑬改变 ⑭am＋n ⑮amn ⑯anbn ⑰am－n ⑱系数 ⑲指数 ⑳相加 ma＋mb＋mc 相加 ma＋mb＋na＋nb 指数 相加 a2－b2 a2±2ab＋b2 乘积 m(a＋b＋c) (a＋b)(a－b) (a±b)2 提公因式 公式法各个击破例1 2005题组训练 1.A 2.C 3.3 4.1例2 原式＝2a2＋4ab－(a2＋4ab＋4b2)＝2a2＋4ab－a2－4ab－4b2＝a2－4b2.当a＝－1，b＝时，原式＝(－1)2－4×()2＝－11.题组训练 1.B 2.x7 3.0 4.4 5.原式＝a2－3a＋1－a2＝1－3a.当a＝时，原式＝1－3a＝1－.例3 －2y(x－3)2题组训练 1.A 2.a(b－1) 3.y(x－)(x＋) 4.a(x－1)(x－6)整合集训1.A 2.D 3.A 4.A 5.D 6.D 7.C 8.C 9.a3 10.(x－2)(x－4)(x＋4) 11.15 12.体育委员小金购买3个足球，2个篮球后剩余的钱 13.3n＋1 14.方法一：原式＝(x＋1)(x＋1－x)＝x＋1.方法二：原式＝x2＋2x＋1－x2－x＝x＋1. 15.原式＝x2－y2－x2－xy＋2xy＝xy－y2.当x＝(3－π)0，y＝2时，原式＝2－4＝－2. 16.原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2.当x＝－1，y＝时，原式＝－(－1)2＋3×()2＝0. 17.原式＝4x2－12x＋9－x2＋y2－y2＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x)＋9.∵x2－4x－1＝0，∴x2－4x＝1.∴原式＝3×1＋9＝12. 18.B 19.A 20.(a－2b)2 21.a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6 22.(1)S1＝a2－b2，S2＝(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)．(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.7\n7
