二次函数与几何综合二次函数与几何综合是四川中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键． (2022·自贡)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．【思路点拨】 (1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；(2)利用抛物线的轴对称性，BC与对称轴的交点即为M，继而求出其坐标；(3)设P(－1，t)，用含t的代数式表示PB、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t的值．【解答】 (1)依题意，得解得∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．∴把B(－3，0)、C(0，3)分别代入直线y＝mx＋n，得解得∴直线y＝mx＋n的解析式为y＝x＋3.(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.∴M(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，M的坐标为(－1，2)．(3)设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18；解得t1＝，t2＝.综上所述，P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，)或(－1，)．22\n (2022·攀枝花)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)把A(－1，0)、B(3，0)两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c即可求出b和c的值，进而求出抛物线的解析式；(2)设D(t，－t2＋2t＋3)，作DH⊥x轴，则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC，进而得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质，确定D点坐标与S△BCD的最大值；(3)因为两三角形的底边MB相同，所以只需满足MB上的高相等即可满足题意．【解答】 (1)由解得∴抛物线解析式为：y＝－x2＋2x＋3.(2)设D(t，－t2＋2t＋3)，作DH⊥x轴．令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)．则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC＝(－t2＋2t＋3＋3)t＋(3－t)(－t2＋2t＋3)－×3×3＝－t2＋t.∵－＜0，∴当t＝－＝时，即D(，)时，S△BCD有最大值，且最大面积为.(3)∵P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，∵直线BC为y＝－x＋3，∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5.由解得Q1(2，3)；∵直线PM为x＝1，直线BC为y＝－x＋3，∴M(1，2)．设PM与x轴交于E点，∵PM＝EM＝2，∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．由解得Q2(，－)，Q3(，－)．22\n∴满足条件的Q点为Q1(2，3)，Q2(，－)，Q3(，－)． (2022·绵阳)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点C的坐标为(0，－2)，交x轴于A、B两点，其中A(－1，0)，直线l：x＝m(m＞1)与x轴交于D.(1)求二次函数的解析式和B的坐标；(2)在直线l上找点P(P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】 (1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为C(0，－2)，∴b＝0，c＝－2.∵y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，∴0＝a＋0－2，a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2x2－2.当y＝0时，2x2－2＝0，解得x＝±1，∴点B的坐标为(1，0)．(2)连接BC.设P(m，n)．∵∠PDB＝∠BOC＝90°，∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：①若△OCB∽△DBP，则＝，即＝，解得n＝.∴此时点P坐标为(m，)；②若△OCB∽△DPB，则＝，即＝，解得n＝2m－2.∴此时点P坐标为(m，2m－2)．综上所述，满足条件的点P的坐标为(m，)或(m，2m－2)．(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x，2x2－2)，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．如图，过点Q作QE⊥l于点E.∵∠DBP＋∠BPD＝90°，∠QPE＋∠BPD＝90°，∴∠DBP＝∠QPE.在△DBP与△EPQ中，∴△DBP≌△EPQ.∴BD＝PE，DP＝EQ.分两种情况：22\n①当P(m，)时，∵B(1，0)，D(m，0)，E(m，2x2－2)，∴解得(均不合题意，舍去)②当P(m，2m－2)时，∵B(1，0)，D(m，0)，E(m，2x2－2)，∴解得(均不合题意，舍去)综上所述，不存在满足条件的点Q. (2022·绵阳)已知抛物线y＝－x2－2x＋a(a≠0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线y＝x－a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于点N点．(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标；(2)将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；(3)在抛物线y＝－x2－2x＋a(a＞0)上是否存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)把两个解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围．利用二次函数解析式求得M、A的坐标；(2)求出两直线的交点N，从而求出其对称点P，利用面积之差得△PCD的面积；(3)分两种情况进行讨论：①当P在y轴左侧时，利用平行四边形对角线互相平分得P点坐标，代入二次函数解析式，求得a；②当P在y轴右侧时，利用平行四边形的对边平行且相等得P点坐标，代入二次函数解析式，求得a.【解答】 (1)由题意联立整理得2x2＋5x－4a＝0.22\n由Δ＝25＋32a＞0，解得a＞－.∵a≠0，∴a＞－且a≠0.令x＝0，得y＝a，∴A(0，a)．由y＝－(x＋1)2＋1＋a，得M(－1，1＋a)．(2)设直线MA的解析式为y＝kx＋b，代入A(0，a)、M(－1，1＋a)，得解得故直线MA的解析式为y＝－x＋a.联立解得∴N(，－)．由于P点是N点关于y轴的对称点，∴P(－，－)．代入y＝－x2－2x＋a，得－＝－a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)．∴A(0，)，C(0，－)，M(－1，)，|AC|＝.∴S△PCD＝S△PAC－S△DAC＝|AC|×|xP|－|AC|×|xD|＝×(3－1)＝.(3)①当点P在y轴左侧时，四边形APCN为平行四边形，则AC与PN相互平分，点P与N关于原点(0，0)中心对称，而N(，－)，故P(－，)．代入y＝－x2－2x＋a，得＝－a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)，∴P(－，)．②当点P在y轴右侧时，四边形ACPN为平行四边形，则NP∥AC且NP＝AC，而N(，－)、A(0，a)、C(0，－a)，故P(，－)．代入y＝－x2－2x＋a，得－＝－a2－a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)，∴P(，－)．22\n∴当P点为(－，)或(，－)时，以A、C、P、N为顶点能构成平行四边形．1．(2022·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴分别交于C、D两点，且CD＝4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；(3)判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．2．(2022·绵阳)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点M(－2，)，顶点坐标为N(－1，)，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；22\n(3)在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．3．(2022·南充)如图，二次函数y＝x2＋bx－3b＋3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C，且经过点(b－2，2b2－5b－1)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；(3)连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F.若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标．22\n4．(2022·乐山)如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－8，2.(1)求二次函数的解析式；(2)直线l以AB为起始位置，绕点A顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．①求点P的运动路程；②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连接PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；(3)在(2)的条件下，连接EF，求△PEF周长的最小值．22\n5．(2022·雅安)如图，已知抛物线C1：y＝－x2，平移抛物线y＝x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于C(0，2)．(1)求抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2与x轴交于A，B两点(点B在点A的右方)．求点A、B的坐标及过点A、B、C的圆的圆心E的坐标；(3)在过点(0，)且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．6．(2022·眉山)如图，已知直线y＝－3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A和点C，对称轴为直线l：x＝－1，该抛物线与x轴的另一个交点为B.(1)求此抛物线的解析式；22\n(2)点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；(3)点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．7．(2022·德阳)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴正半轴交于点C，且OC＝OB.(1)求此抛物线的解析式；(2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求出此时点E的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针方向旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．22\n8．(2022·成都)如图，已知抛物线y＝(x＋2)(x－4)(k为常数，且k＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？9．(2022·南充)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1.(1)求抛物线解析式；22\n(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1<x2)，当|x1－x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；(3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小时点O，B移动后的坐标及L的最小值．10．(2022·攀枝花)如图，抛物线y＝ax2－8ax＋12a(a＞0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D的坐标为(－6，0)，且∠ACD＝90°.(1)请直接写出A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；22\n(4)平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H(t，0)．记△ACD在直线m左侧部分的面积为S，求S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．11．(2022·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1．(1)∵A为OB的中点，B(0，－2)，∴A(0，－1)．∵抛物线y＝ax2＋c对称轴为y轴，CD＝4，∴C(－2，0)，D(2，0)．22\n把A(0，－1)，D(2，0)代入抛物线y＝ax2＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－1.(2)设点P(x，－1)，过P作PM⊥y轴于点M，则OM＝OE＝1.∴|－1|＝1.∴－1＝1或－1＝－1.解得x1＝2，x2＝－2，x3＝0.∴点P坐标是P1(2，1)，P2(－2，1)，P3(0，－1)．(3)直线l与⊙P相切．设点P(x，－1)，过P作PN⊥l于点N，交x轴于点Q.在Rt△POQ中，PO2＝x2＋(－1)2＝x2＋－＋1＝＋＋1.PN2＝[－1－(－2)]2＝＋＋1.∴PN＝PO.∴直线l与⊙P相切． 2.(1)由抛物线顶点坐标为N(－1，)，可设其解析式为y＝a(x＋1)2＋.将M(－2，)代入，得＝a(－2＋1)2＋，解得a＝－.故所求抛物线的解析式为y＝－x2－x＋.(2)∵y＝－x2－x＋，∴x＝0时，y＝，∴C(0，)．y＝0时，－x2－x＋＝0，解得x＝1或x＝－3，∴A(1，0)，B(－3，0)，∴BC＝＝2.设P(－1，m)，当CP＝CB时，有CP＝＝2，解得m＝±；当BP＝BC时，有BP＝＝2，解得m＝±2；当PB＝PC时，＝，解得m＝0.综上所述，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为(－1，＋)，(－1，－)，(－1，2)，(－1，－2)，(－1，0)．(3)由(2)知BC＝2，AC＝2，AB＝4，所以BC2＋AC2＝AB2，即BC⊥AC.连接BC并延长至B′，使B′C＝BC，连接B′M，交直线AC于点Q，连接BQ，BM.∵B、B′关于直线AC对称，∴QB＝QB′，∴QB＋QM＝QB′＋QM＝MB′，又BM＝2，所以此时△QBM的周长最小．由B(－3，0)，C(0，)，易得B′(3，2)．22\n设直线MB′的解析式为y＝kx＋n，将M(－2，)，B′(3，2)代入，得解得即直线MB′的解析式为y＝x＋.同理可求得直线AC的解析式为y＝－x＋.由解得即Q(－，)．所以在直线AC上存在一点Q(－，)，使△QBM的周长最小． 3.(1)把点(b－2，2b2－5b－1)代入解析式，得2b2－5b－1＝(b－2)2＋b(b－2)－3b＋3.解得b＝2.∴抛物线解析式为y＝x2＋2x－3.(2)由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1.∴A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)．∵抛物线的对称轴是直线x＝－1，∴圆心M在直线x＝－1上．∴设M(－1，n)，作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC，MB.∴MH＝1，BG＝2.∵MB＝MC，∴BG2＋MG2＝MH2＋CH2.∴4＋n2＝1＋(3＋n)2.解得n＝－1.∴点M的坐标为(－1，－1)．(3)由M(－1，－1)，得MG＝MH.∵MA＝MD，∴Rt△AMG≌Rt△DMH.∴∠MAG＝∠MDH.由旋转可知∠AME＝∠DMF.∴△AME≌△DMF.若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形．设E(x，0)．△AME为等腰三角形，分三种情况：①当AE＝AM＝时，则x＝－3，∴E(－3，0)．②当AM＝ME时，∵M在AB的垂直平分线上，∴MA＝ME＝MB，∴E(1，0)．③当AE＝ME时，则点E在AM的垂直平分线上．AE＝x＋3，ME2＝MG2＋EG2＝1＋(－1－x)2.∴(x＋3)2＝1＋(1＋x)2.解得x＝－.∴E(－，0)．∴所求点E的坐标为(－3，0)，(1，0)或(－，0)． 4.(1)∵函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2＋bx＋c＝0两根为－8，2，∴A(－8，0)、B(2，0)，即OB＝2.又tan∠ABC＝3，∴OC＝6，即C(0，－6)．将A(－8，0)、B(2，0)代入y＝ax2＋bx－6中，得a＝，b＝，∴二次函数解析式为y＝x2＋x－6.(2)①当l在AB位置时，P即为AB中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，∴点P的运动路程为△ABC的中位线HK.∴HK＝BC.在Rt△BOC中，OB＝2，OC＝6.∴BC＝2.∴HK＝.22\n即点P的运动路程为.②∠EPF的大小不会改变．理由如下：∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE＝AD＝PA，∴∠PAE＝∠PEA＝∠EPD.同理可得：∠PAF＝∠PFA＝∠DPF，∴∠EPF＝∠EPD＋∠DPF＝2(∠PAE＋∠PAF)，即∠EPF＝2∠EAF.又∵∠EAF大小不变，∴∠EPF的大小不会改变．(3)设△PEF的周长为C，则C＝PE＋PF＋EF，∵PE＝AD，PF＝AD，∴C＝AD＋EF.在等腰三角形PEF中，过P作PG⊥EF于点G，∴∠EPG＝∠EPF＝∠BAC.∵tan∠BAC＝＝.∴tan∠EPG＝＝.∴EG＝PE，EF＝PE＝AD.∴C＝AD＋EF＝(1＋)AD＝AD.又当AD⊥BC时，AD最小，此时C最小，又S△ABC＝30，∴BC·AD＝30，∴AD＝3.∴C最小值为AD＝. 5.(1)由题意，设D(a，－a2)．则抛物线C2的解析式为y＝(x－a)2－a2.又∵点C在抛物线C2上，将C(0，2)代入上式，解得a＝±2.又因为D在y轴右侧，所以a＝2.∴抛物线C2的解析式为y＝(x－2)2－2.(2)由题意，在y＝(x－2)2－2中，令y＝0，则x＝2±.∵点B在点A的右侧，∴A(2－，0)，B(2＋，0)．又∵过点A、B、C的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上，则设E(2，m)，且|CE|＝|AE|.则22＋(2－m)2＝m2＋(2－2＋)2，解得m＝.∴圆心E的坐标为(2，)．(3)假设存在F(t，)，使得四边形CEBF为菱形，则|BF|＝|CF|＝|CE|.∴()2＋(2＋－t)2＝(2－)2＋t2，解得t＝.当t＝时，F(，)．此时|CE|＝，|CF|＝＝＝.∴|CF|＝|BF|＝|BE|＝|CE|.即存在点F(，)，使得四边形CEBF为菱形．6．(1)对于y＝－3x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1，∴点C(0，3)，点A(1，0)．∴解得∴此抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.(2)如图1，点A关于直线l的对称点是点B(－3，0)，连接BC交直线l于点P，连接PA，则此时△PAC周长最小．设BC的解析式为y＝kx＋m，将点B(－3，0)、点C(0，3)代入解析式中，则解得22\n∴BC的解析式为y＝x＋3.当x＝－1时，y＝2，∴点P为(－1，2). (3)如图2，以点A、B、M、N为顶点的四边形能为平行四边形．满足要求的点M有3个，分别是M1(－2，3)，M2(－4，－5)，M3(4，－21)． 7.(1)∵B点坐标为(－3，0)，OC＝OB，∴OC＝OB＝3，∴C(0，3)．将A(1，0)、B(－3，0)、C(0，3)三点的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴此抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.(2)过点E作直线EF平行于BC.∵直线BC过B(－3，0)、C(0，3)，∴yBC＝x＋3.设直线EF的解析式为yEF＝x＋b.∵△BOC面积为定值，S四边形BOCE＝S△BOC＋S△BCE，∴四边形BOCE面积最大时，△BCE面积最大．∵BC为定值，∴当BC上的高最大时，△BCE面积最大，此时直线EF与抛物线有且只有一个交点．故一元二次方程x＋b＝－x2－2x＋3有两个相等的实数根．整理得x2＋3x＋b－3＝0.Δ＝9－4(b－3)＝0.解得b＝，x1＝x2＝－.∵当x＝－时，y＝，∴点E的坐标为(－，)．当E点的坐标为(－，)时，S四边形BOCE＝×(＋3)×－××(－3)＝.(3)∵抛物线y＝－x2－2x＋3的对称轴为x＝－1，点P在抛物线的对称轴上，∴设P(－1，m)．∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，如图，∴PA＝PA′，∠APA′＝90°，如图，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M，∴∠NPA′＋∠MPA＝∠NA′P＋∠NPA′＝90°，∴∠NA′P＝∠MPA，22\n在△A′NP与△PMA中，∴△A′NP≌△PMA.∴A′N＝PM＝|m|，PN＝AM＝2.∴A′(|m|－1，m＋2)，代入y＝－x2－2x＋3，得m＋2＝－(|m|－1)2－2(|m|－1)＋3，解得m＝1，m＝－2.∴P1(－1，1)，P2(－1，－2)． 8.(1)∵抛物线解析式为y＝(x＋2)(x－4)，令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线y＝－x＋b经过点B(4，0)，∴－×4＋b＝0，解得b＝.∴直线BD解析式为y＝－x＋.当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)．∵点D(－5，3)在抛物线y＝(x＋2)(x－4)上，∴(－5＋2)(－5－4)＝3，∴k＝.∴抛物线的函数表达式为y＝(x＋2)(x－4)．(2)由抛物线解析式，令x＝0，得y＝－k.∴C(0，－k)，OC＝k.∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB.①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如图1所示．设P(x，y)，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y.tan∠BAC＝tan∠PAB，即＝，∴y＝x＋k.∴P(x，x＋k)，代入抛物线解析式y＝(x＋2)·(x－4)，得(x＋2)(x－4)＝x＋k，整理得x2－6x－16＝0，解得x＝8或x＝－2(与点A重合，舍去)，∴P(8，5k)．∵△ABC∽△APB，∴＝，即＝，解得k＝.②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如图2所示．与①同理，可求得k＝.综上所述，k＝或k＝.(3)由(1)知D(－5，3)．过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4＋5＝9，∴tan∠DBA＝＝＝，∴∠DBA＝30°.22\n过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°.过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF.由题意，动点M运动的路径为折线AF＋DF.所用时间为＋＝AF＋FG.由垂线段最短可知，折线AF＋FG最小值就是点A到直线DK的垂线段AH的长度．所以F点的横坐标为－2.把x＝－2代入y＝－x＋，得y＝－×(－2)＋＝2，∴F(－2，2)．∴当点F坐标为(－2，2)时，点M在整个运动过程中用时最少． 9.(1)由已知对称轴为x＝1，得－＝1，∴b＝2.∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)，∴－x2＋bx＋c＝0的解为m－2和2m＋1.∴(m－2)＋(2m＋1)＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c.∴m＝1，c＝3.∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)由得x2＋(k－2)x－1＝0.∴x1＋x2＝－(k－2)，x1x2＝－1，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(k－2)2＋4.∴当k＝2时，(x1－x2)2的最小值为4，即|x1－x2|的最小值为2.∴x2－1＝0，x1＝－1，x2＝1，则y1＝0，y2＝4.∴当|x1－x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(－1，0)，N(1，4)．(3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)．∵O，B，P，C构成多边形的周长L＝OB＋BP＋PC＋CO，又∵线段OB平移过程中，OB、PC的长度不变，∴要使L最小，只需BP＋CO最短．如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形．∴C′(3，3)．作点P关于x轴(或OB)的对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x轴交于点B′.设C′P′解析式为y＝ax＋n.∴解得∴y＝x－.当y＝0时，x＝，∴B′(，0)．又3－＝，故点B向左平移，平移到B′.同时，点O向左平移，平移到O′(－，0)即线段OB向左平移时，周长L最短．此时，线段BP，CO之和最短为P′C′＝＝，O′B′＝OB＝3，CP＝.22\n∴当线段OB向左平移，即点O平移到O′(－，0)，点B平移到B′(，0)时，周长L最短为＋＋3. 10.(1)抛物线的解析式为y＝ax2－8ax＋12a(a＞0)，令y＝0，即ax2－8ax＋12a＝0，解得x1＝2，x2＝6，∴A(2，0)，B(6，0)．(2)抛物线的解析式为y＝ax2－8ax＋12a(a＞0)，令x＝0，得y＝12a，∴C(0，12a)，OC＝12a.在Rt△COD中，由勾股定理得：CD2＝OC2＋OD2＝(12a)2＋62＝144a2＋36；在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OC2＋OA2＝(12a)2＋22＝144a2＋4；在Rt△ACD中，由勾股定理得：DC2＋AC2＝AD2，即(144a2＋36)＋(144a2＋4)＝82，解得a＝或a＝－(舍去)，∴抛物线的解析式为y＝x2－x＋2.(3)存在．对称轴为直线：x＝－＝4.由(2)知C(0，2)，则点C关于对称轴x＝4的对称点为C′(8，2)，连接AC′，与对称轴交于点P，则点P即为所求．此时△PAC周长最小，最小值为AC＋AC′.设直线AC′的解析式为y＝kx＋b，则有解得∴y＝x－.当x＝4时，y＝，∴P(4，)．过点C′作C′E⊥x轴于点E，则C′E＝2，AE＝6，在Rt△AC′E中，由勾股定理得：AC′＝＝4.在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC＝＝4.∴AC＋AC′＝4＋4.∴存在满足条件的点P，点P坐标为(4，)，△PAC周长的最小值为4＋4.(4)①当－6≤t≤0时，如图1所示．∵直线m平行于y轴，∴＝，即＝，解得GH＝(6＋t)．∴S＝S△DGH＝DH·GH＝(6＋t)·(6＋t)＝t2＋2t＋6；②当0＜t≤2时，如图2所示．∵直线m平行于y轴，∴＝，即＝，解得GH＝－t＋2.∴S＝S△COD＋S梯形OCGH＝OD·OC＋(GH＋OC)·OH＝×6×2＋(－t＋2＋2)·t＝－t222\n＋2t＋6.∴ 11.(1)令y＝0，则ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∵点A在点B的左侧，∴A(－1，0)．∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k，∴y＝kx＋k.令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0.∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4.∴＝－1×4.∴k＝a.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a.(2)过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E(x，ax2－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)．EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a.S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(ax2－3ax－4a)＝a(x－)2－a.∴△ACE的面积的最大值为－a.∵△ACE的面积的最大值为，∴－a＝，解得a＝－.(3)令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0.解得x1＝－1，x2＝4.∴D(4，5a)．∵y＝ax2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1.设P(1，m)．①若AD是矩形的一条边，则Q(－4，21a)，∴m＝21a＋5a＝26a，则P(1，26a)．∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°.∴AD2＋PD2＝AP2.∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，即a2＝.∵a＜0，∴a＝－.∴P1(1，－)．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为(，)，Q(2，－3a)．∴m＝5a－(－3a)＝8a，则P(1，8a)．22\n∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°.∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2，即a2＝.∵a＜0，∴a＝－，∴P2(1，－4)．综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形．点P的坐标为(1，－)或(1，－4)．22
