与圆有关的几何综合题 (2022·德阳)如图，已知BC是⊙O的弦，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC＝60°.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若E、F分别是AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2，试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【思路点拨】 (1)连接OB，证OB⊥AB即可；(2)取AB的中点G，连接DG，易证得△EGD≌△FCD，从而猜测出BE＋DF的值是个定值，这个定值应该等于AB长的一半．【解答】 (1)证明：∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴OD⊥BC，AO平分∠BAC.∴∠BAD＝30°.∵∠BMC＝60°，∴∠BOA＝∠BMC＝60°.∴∠BAD＋∠BOA＝90°.∴∠ABO＝90°.∴OB⊥AB.∵OB是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．(2)∵∠BAD＝30°，OB⊥AB，OB＝2，∴AB＝2.取AB的中点G，连接DG，∴AG＝BG＝.∵∠ABD＝60°，∴△BDG是等边三角形．∴∠DGE＝60°，GD＝BD.∵∠FCD＝60°，CD＝BD，∴∠FCD＝∠EGD，GD＝CD.∵∠EDF＝120°，∴∠FDC＋∠BDE＝60°.∵∠BDG＝60°，∴∠EDG＋∠BDE＝60°.∴∠EDG＝∠FDC.∴△EGD≌△FCD.∴FC＝EG.∴BG＝BE＋EG＝BE＋CF＝.即BE＋CF的值是定值，这个值是.动态问题常见有两大类：动态问题中的定值和动态问题中的变值．动态问题中的定值往往包含关于角度、线段、面积等定值问题．解决这类问题时，要搞清图形的变化过程，正确分析变量与其他量之间的内在联系，建立它们之间的关系．要善于探索动点运动的特点和规律，抓住图形在变化过程中不变的元素．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法． 1．(2022·内江)如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．7\n(1)试说明CE是⊙O的切线；(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．2．(2022·乐山)已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a＞0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)7\n3．(2022·南充)如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在DC的延长线上，EP＝EG.(1)求证：直线EP为⊙O的切线；(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.试证明BG＝PG；(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝.求弦CD的长．4．(2022·攀枝花)如图，以点P(－1，0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点(B在C的左侧)，交y轴于A、D两点(A在D的下方)，AD＝2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB.(1)求B、C两点的坐标；7\n(2)请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状(不必证明)，求出点M的坐标；(3)动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG.请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．7\n参考答案1．(1)连接OC.∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°.∴∠OCE＝90°.∴CE是⊙O的切线．(2)过点C作CH⊥AB于H.由题可得CH＝h.在Rt△OHC中，CH＝OC·sin∠COH，∴h＝OC·sin60°＝OC.∴OC＝＝h.∴AB＝2OC＝h.(3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝(180°－60°)＝60°.∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形．∴AF＝AO＝OC＝FC.∴四边形AOCF是菱形．∴根据对称性可得DF＝DO.过点D作DM⊥OC于M，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°.∴DM＝DC·sin∠DCM＝DC·sin30°＝DC.∴CD＋OD＝DM＋FD.根据两点之间线段最短可得：当F、D、M三点共线时，DM＋FD(即CD＋OD)最小．此时FM＝OF·sin∠FOM＝OF＝6，则OF＝4.∴AB＝2OF＝8.∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8. 2.(1)存在．AE＝CE.连接AE，∵∠ABC＝90°，∴AE为⊙O的直径．连接ED，∴∠ADE＝90°.又∵AD＝DC.∴ED为AC的中垂线．∴AE＝CE.7\n(2)①连接AE、DE.∵EF是⊙O的切线，∴∠AEF＝90°.由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∠AED＋∠DEF＝90°.∴∠EAD＝∠DEF.∴△AED∽△EFD.∴＝.∴ED2＝AD·DF.又AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2.在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，∴sin∠CAB＝sin∠CED＝sin∠AED＝＝＝.②sin∠CAB＝. 3.(1)证明：连接OP.∵EP＝EG，∴∠EPG＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°.∴∠EPG＋∠OPB＝90°.∴直线EP为⊙O的切线．(2)证明：连接OG.∵BG2＝BF·BO，∴＝.又∵∠OBG＝∠GBF，∴△BFG∽△BGO.∴∠BGO＝∠BFG＝90°.∴BG＝PG.(3)连接AC、BC.∵sinB＝，∴＝.∵OB＝r＝3，∴OG＝，由(2)得∠GBF＋∠FGB＝90°，∠OGF＋∠FGB＝90°，∴∠GBF＝∠OGF.∴sin∠OGF＝＝.∴OF＝·OG＝·＝1.∴BF＝BO－OF＝3－1＝2，FA＝OF＋OA＝1＋3＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝90°.∵∠ACF＋∠A＝90°，∴∠BCF＝∠A.∴△BCF∽△CAF.∴＝.∴CF2＝BF·FA.∴CF＝＝＝2.∴CD＝2CF＝4. 4.(1)连接PA.∵PO⊥AD，AD＝2，∴OA＝AD＝.∵点P坐标为(－1，0)，∴OP＝1.∴PA＝＝＝2.∴BP＝CP＝2.∴B(－3，0)，C(1，0)．(2)延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC.线段MB、MC即为所求．四边形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB＝90°.∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H.在△MHP和△AOP中，7\n∵∠MHP＝∠AOP，∠HPM＝∠OPA，MP＝AP，∴△MHP≌△AOP.∴MH＝OA＝，PH＝PO＝1.∴OH＝2.∴点M的坐标为(－2，)．(3)在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC＝90°.∵EG⊥BO，∴∠BGE＝90°.∴∠BMC＝∠BGE＝90°.∵点Q是BE的中点，∴QM＝QE＝QB＝QG.∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图所示．∴∠MQG＝2∠MBG.∵∠COA＝90°，OC＝1，OA＝，∴tan∠OCA＝＝.∴∠OCA＝60°.∴∠MBC＝∠BCA＝60°.∴∠MQG＝120°.∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°.7
