几何动点探究题07几何动点探究题1.[2022·宿迁]如图ZT7-1,在边长为1的正方形ABCD中,动点E,F分别在边AB,CD上,将正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,设BE=x.(1)当AM=13时,求x的值.(2)随着点M在边AD上位置的变化,△PDM的周长是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出该定值.(3)设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求出S的最小值.图ZT7-112\n2.[2022·湘潭]如图ZT7-2,动点M在以O为圆心,AB为直径的半圆弧上运动(点M不与点A,B及AB的中点F重合),连接OM,过点M作ME⊥AB于点E,以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE,过点M作☉O的切线交射线DC于点N,连接BM,BN.(1)探究:如图①,当动点M在AF上运动时:①判断△OEM∽△MDN是否成立?请说明理由.②设ME+NCMN=k,k是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.③设∠MBN=α,α是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.(2)拓展:如图②,当动点M在FB上运动时:分别判断(1)中的三个结论是否保持不变?如有变化,请直接写出正确的结论(均不必说明理由).图ZT7-212\n3.[2022·湖州]如图ZT7-3①,在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC中,∠ABC=90°,顶点A在第一象限,B,C在x轴的正半轴上(C在B的右侧),BC=2,AB=23,△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称.(1)当OB=2时,求点D的坐标.(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上,求OB的长.(3)如图②,将第(2)题中的四边形ABCD向右平移,记平移后的四边形为A1B1C1D1,过点D1的反比例函数y=kx(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问:在平移过程中,是否存在这样的k,使得以点P,A1,D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的k的值;若不存在,请说明理由.图ZT7-312\n4.[2022·永州]如图ZT7-4①,在△ABC中,矩形EFGH的一边EF在AB上,顶点G,H分别在BC,AC上,CD是边AB上的高,CD交GH于点I.若CI=4,HI=3,AD=92,矩形DFGI恰好为正方形.(1)求正方形DFGI的边长.(2)如图②,延长AB至P,使得AC=CP,将矩形EFGH沿BP的方向向右平移,当点G刚好落在CP上时,试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形,为什么?(3)如图③,连接DG,将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF'G'I',正方形DF'G'I'分别与线段DG,DB相交于点M,N,求△MNG'的周长.12\n图ZT7-4参考答案1.解:(1)由折叠可知,ME=BE=x,∴AE=1-x.在Rt△AEM中,由AM=13,得132+(1-x)2=x2.12\n解得x=59.(2)不发生变化.如图①,连接BM,BP,过点B作BH⊥MN,垂足为H.∵EB=EM,∴∠EBM=∠EMB.∵∠EBC=∠EMN,∴∠EBC-∠EBM=∠EMN-∠EMB,即∠MBC=∠BMN.∵AD∥BC,∴∠AMB=∠MBC,∴∠AMB=∠BMN.又∵∠A=∠MHB,BM=BM,∴△BAM≌△BHM.∴AM=HM,BH=AB.∵BC=AB,∴BH=BC.又∵BP=BP,∴Rt△BHP≌Rt△BCP.∴HP=PC.∴△MDP的周长=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+AM+DP+PC=AD+DC=2.∴△MDP的周长为定值,周长为2.(3)如图②,连接BM,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q,则QF=BC=AB.12\n∵∠BEF+∠EBM=90°,∠AMB+∠EBM=90°,∴∠BEF=∠AMB.又∵∠A=∠EQF=90°,∴△AMB≌△QEF.∴AM=EQ.设AM=a,则a2+(1-x)2=x2.∴a=2x-1.∴CF=QB=x-2x-1.∴S=12(CF+BE)×1=12(x-2x-1+x)=12(2x-2x-1).设2x-1=t,则2x=t2+1.∴S=12(t2+1-t)=12t-122+38.∴当t=12,即x=58时,S的最小值为38.2.解:(1)①△OEM∽△MDN.理由:∵ME⊥AB,∴∠MEO=90°.∵四边形BCDE是正方形,∴∠NDM=90°.12\n∴∠NDM=∠MEO.∵MN是过点M的☉O的切线,∴OM⊥MN.∴∠DMN+∠EMO=90°.又∠EMO+∠EOM=90°,∴∠DMN=∠EOM.∴△OEM∽△MDN.②设OE=x,ME=y,圆的半径为r,则BE=BC=CD=DE=x+r,MD=DE-ME=x+r-y,x2+y2=r2.∵△OEM∽△MDN,∴OEMD=OMMN=MEND,即xx+r-y=rMN=yND,可以得到MN=r(x+r-y)x,DN=y(x+r-y)x,ME+NC=ME+DC-DN=y+x+r-y(x+r-y)x=xy+x2+rx-yx-yr+y2x=x2+y2+rx-yrx=r2+rx-yrx=r(x+r-y)x=MN.∴ME+NCMN=1,即k=1为定值.③α=45°为定值.如图,在射线DC上取点H,使得ME=CH,连接BH.在△MEB和△HCB中,ME=HC,∠MEB=∠HCB=90°,BE=BC,12\n∴△MEB≌△HCB(SAS).∴∠MBE=∠HBC,BM=BH.由②知,ME+NC=MN,∴MN=NC+CH=NH.在△MBN和△HBN中,MN=HN,BM=BH,BN=BN,∴△MBN≌△HBN(SSS).∴∠MBN=∠HBN.∵∠EBC=∠EBM+∠MBN+∠NBC=∠MBN+∠NBH=2∠MBN=90°,∴∠MBN=45°.(2)(1)中的第一个结论和第三个结论不变,第二个结论变成ME-NCMN=k,k为定值.3.解:(1)如图,过点D作DE⊥x轴于点E.∵∠ABC=90°,∴tan∠ACB=ABBC=3.∴∠ACB=60°.由对称可知DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°.∴∠DCE=60°.∴∠CDE=90°-60°=30°.∴CE=1,DE=3.∴OE=OB+BC+CE=5.∴点D的坐标是(5,3).12\n(2)设OB=a,则点A的坐标是(a,23).由题意,得CE=1,DE=3.∴点D的坐标是(3+a,3).∵点A和点D在同一个反比例函数的图象上,∴23a=3(3+a).解得a=3,即OB的长为3.(3)存在,k的值为103或123.求解过程如下:由(2)可知,D的坐标为(6,3).∴点D1的纵坐标为3.∵点D1在反比例函数y=kx的图象上,∴点D1的横坐标为k3=3k3.∴点D1的坐标为3k3,3.同理,点P的坐标为3,k3.由(2)可知,点A,D的横坐标相差3,∴点A1的横坐标为3k3-3.∴点A1的坐标为3k3-3,23.12\n由此可得A1D2=3k3-3-62+(23-3)2=k23-63k+84,PD2=(3-6)2+k3-32=k29-23k3+12,A1P2=3k3-62+23-k32=4k29-163k3+48.①当PD2=A1D2+A1P2时,k29-23k3+12=k23-63k+84+4k29-163k3+48,解得k1=103,k2=63.当k=63时,点D和点D1重合,不合题意,舍去.②当A1P2=A1D2+PD2时,4k29-163k3+48=k23-63k+84+k29-23k3+12,解得k=123.③当A1D2=A1P2+PD2时,k23-63k+84=4k29-163k3+48+k29-23k3+12,解得k1=63(舍去),k2=-63(舍去).综上,k的值为103或123.4.解:(1)∵HI∥AD,∴HIAD=CICD.∴392=4CD.∴CD=6,∴ID=CD-CI=2.∴正方形DFGI的边长为2.(2)如图①,设点G落在PC上时对应的点为G',点F的对应点为F'.∵CA=CP,CD⊥PA,∴∠ACD=∠PCD,∠A=∠P.∵HG'∥PA,∴∠CHG'=∠A,∠CG'H=∠P.12\n∴∠CHG'=∠CG'H.∴CH=CG'.∴IH=IG'=DF'=3.∵IG∥DB,∴IGDB=CICD,∴2DB=46.∴DB=3.∴DF'=DB=3.∴点B与点F'重合.∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG'.∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形.(3)如图②(忽略线段GF),将△DMI'绕点D顺时针旋转90°得到△DF'R,此时点N,F',R共线.∵∠MDN=∠NDF'+∠MDI'=∠NDF'+∠F'DR=∠NDR=45°,DN=DN,DM=DR.∴△NDM≌△NDR.∴MN=NR=NF'+RF'=NF'+MI'.∴△MNG'的周长=MN+MG'+NG'=MG'+MI'+NF'+NG'=2I'G'=4.12
