专题三 几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2022·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝＝4；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为4或4.图①图②1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B.若使△D′BC为等边三角形，则DE＝________________.15\n2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．3．(2022·河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM的长为__________．4．(2022·新乡一模)菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为____________．5．(2022·三门峡一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′.当△BC′D是直角三角形时，DE的长为______．6．(2022·盘锦)如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．7．(2022·乌鲁木齐)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝215\n，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．8．(2022·洛阳一模)在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD为等腰三角形时，AP的长为______．9．(2022·濮阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E为AC，BC上两个动点．若将∠C沿DE折叠，点C的对应点C′恰好落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为__________．类型二点的位置不确定(2022·河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为________．【分析】根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．【自主解答】由翻折的性质，得AB＝AB′，BE＝B′E.①当MB′＝2，B′N＝1时，设EN＝x，得B′E＝.由△B′EN～△AB′M，＝，即＝，x2＝，BE＝B′E＝＝；②当MB′＝1，B′N＝2时，设EN＝x，得B′E＝，△B′EN∽△AB′M，＝，即＝，解得x2＝，BE＝B′E＝＝，故答案为：或.15\n1．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使D点落在BC边上的点E处，折痕为GH.若点E是BC的三等分点，则线段CH的长是_______．2．(2022·林州一模)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则AE的长为__________．3．(2022·河南)如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为______．4．(2022·商丘模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为__________．5．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，点P是AB上(不含端点A，B)任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP＝________．6．(2022·河南模拟)如图，△ABC中，AB＝，AC＝5，tanA＝2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．15\n类型三根据图形折叠探究最值问题如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE－A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝AB＝1.在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，∴CE＝＝，∴A′C的最小值＝CE－A′E＝－1.故答案为－1.1．(2022·原创)如图，在边长为10的等边三角形△ABC中，D是AB边上的动点，E是AC边的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连接BA′，则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD中，AD＝12，E是AB边上的点，AE＝5，点P在AD边上，将△AEP沿EP折叠，使得点A落在点A′的位置，如图，当A′与点D的距离最短时，△A′PD的面积为________．3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D.则当B′D取得最小值时，tan∠BEF的值为__________．15\n4．(2022·河南模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为_________．参考答案类型一针对训练1.＋1或2－2 【解析】(1)当点E在边AD上时，过点E作EF⊥CD于F，如解图①，设CF＝x，第1题解图①∵∠ABC＝30°，∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形，∴∠DCD′＝90°.由折叠可知，∠ECD＝∠D′CE＝45°，∵EF＝CF＝x，在直角三角形DEF中，∠D＝30°，∴DE＝2x，∴DF＝x，∴CD＝CF＋DF＝x＋x＝2，解得x＝x－1，∴DE＝2x＝2－2.(2)当E在DA的延长线上时，如解图②.15\n第1题解图②过点B作BF⊥DA于点F，根据折叠可知，∠ED′C＝∠D＝30°，又∵三角形BD′C是等边三角形，∴D′E垂直平分BC，∵AD∥BC.∴D′E⊥AD，∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°，又∵AB＝2，∴AF＝.令D′E与BC的交点为G，则易知EF＝BG＝BC＝1，∴AE＝－1，∴DE＝＋1，综上所述，DE的长度为＋1或2－2.2.或 【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3.沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE＝DE，设BE＝x，则DE＝x，AE＝5－x，①当∠ADE＝90°时，则DE∥BC，∴＝，∴＝，解得x＝；②当∠AED＝90°时，则△AED∽△ACB，∴＝，∴＝，解得x＝，故所求BE的长度为：或.3.＋或1 【解析】①如解图①，当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，∴BM＝BC＝＋；②如解图②，当∠MB′C＝90°，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM＝MB′.∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点为B′，∴BM＝B′M，∴CM＝BM.∵BC＝＋1，∴CM＋BM＝BM＋BM＝＋1，∴BM＝1，综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为＋或1.图①图②第3题解图4.或2－2 【解析】①如解图①，当A′D＝A′C时，∠A′DC＝∠A′CD＝30°，∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝30°，∴∠ADA′＝90°，在Rt△ADA′中，AA′＝＝＝，由折叠可得AP＝AA′＝；15\n图①图②第4题解图②如解图②，当CD＝CA′＝4时，连接BD交AC于O，则Rt△COD中，CO＝CD×cos30°＝4×＝2，∴AC＝4，∴AA′＝AC－A′C＝4－4，由折叠可得AP＝AA′＝2－2；故答案为或2－2.5.或 【解析】如解图①所示，点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，BC＝＝4.由翻折的性质可知；AE＝AC＝3、DC＝DE，则EB＝2.设DC＝ED＝x，则BD＝4－x.在Rt△DBE中，DE2＋BE2＝DB2，即x2＋22＝(4－x)2.解得x＝.∴DE＝.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC＝AC′，∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D＝∠CDC′＝90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC＝3.∴DB＝BC－DC＝4－3＝1.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA.∴＝＝，即＝.解得DE＝.点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．故答案为：或.6.或 【解析】15\n分两种情况：①如解图①，当∠CDM＝90°，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2＋4，∴∠C＝30°，AB＝AC＝＋2，由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°，∴∠BDN＝30°，∴BN＝DN＝AN，∴BN＝AB＝，∴AN＝2BN＝＋，∵∠DNB＝60°，∴∠ANM＝∠DNM＝60°，∴∠ANM＝60°，∴AN＝MN＝.②如解图②，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，由题可得∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，又∵AB＝＋2，∴AN＝2，BN＝，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH＝30°，∴AH＝AN＝1，HN＝，由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM＝HN＝，∴MN＝，故答案为或.图①图②第6题解图7．3或 【解析】∴∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，∴tanB＝＝＝，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4.∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′D′E的位置，B′D交AB于点F，∴DB＝DC＝，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°.设AE＝x，则BE＝4－x，EB′＝4－x，当∠AFB′＝90°时，在Rt△BDF中，cosB＝，∴BF＝cos30°＝，∴EF＝－(4－x)＝x－.在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，∴EB′＝2EF，则4－x＝2(x－)，解得x＝3，此时AE为3；第7题解图15\n当∠FB′A＝90°时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如解图，∵DC＝DB′，AD＝AD，∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，∴AB′＝AC＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝(4－x)，EH＝B′H＝(4－x)，在Rt△AEH中，∵EH2＋AH2＝AE2，∴(4－x)2＋[(4－x)＋2]2＝x2，解得x＝，此时AE为.综上所述，AE的长为3或.8.或 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′，∴∠EPA＝∠FPA′＝90°，∴∠EAP＋∠AEP＝90°，∠FAP＋∠AFP＝90°，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF.∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE＝EA′，AF＝FA′，∴AE＝EA′＝A′F＝FA，∴四边形AEA′F是菱形，∴AP＝PA′.①当CD＝CA′时，∵AA′＝AC－CA′＝3，∴AP＝AA′＝.②当A′C＝A′D时，∵∠A′CD＝∠A′DC＝∠DAC，∴△A′CD∽△DAC，∴＝，∴A′C＝，∴AA′＝8－＝，∴AP＝AA′＝，故答案为或.9.或 【解析】①如解图①，当∠ADC′＝90°时，∠ADC′＝∠C，第9题解图①∴DC′∥CB，∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3，BC＝4，∴＝，设CD＝C′D＝x，则AD＝3－x，∴＝，解得x＝，经检验：x＝是所列方程的解，∴CD＝；②如解图②，当∠DC′A＝90°时，∠DCB＝90°，第9题解图②由折叠可得，∠C＝∠DC′E＝90°，∴C′B与CE重合，由∠C＝∠AC′D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC′∽△ABC，在Rt△ABC中，AB＝5，∴＝＝，设CD＝C′D＝x，则AD＝3－x，∴＝，解得x＝，∴CD＝.综上所述，CD的长为或.类型二15\n针对训练1．4或 【解析】设CH＝x，则DH＝EH＝9－x，当BE∶EC＝2∶1时，BC＝9，∴CE＝BC＝3.在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，即(9－x)2＝32＋x2，解得x＝4，即CH＝4.当BE∶EC＝1∶2时，CE＝BC＝6.在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，即(9－x)2＝62＋x2，解得：x＝，即CH＝.故CH的长为4或.2.或 【解析】如解图，过点A′作A′M⊥AD于M交BC于N，则四边形ABNM是矩形，∴AB＝MN＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，∴A′M＝1，A′N＝3或A′M＝3，A′N＝1.①当A′M＝1，A′N＝3时，在Rt△BA′N中，BN＝＝，∴AM＝BN＝.由△A′EM～△BA′N，∴＝，∴＝，∴EM＝，∴AE＝；②当A′M＝3，A′N＝1时，同理可得AE＝.,第2题解图) 第3题解图3.或 【解析】如解图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P.∵点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上，∴MD′＝PD′.设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，∴AM＝AB－BM＝7－x，又由折叠图形可得AD＝AD′＝5，∴x2＋(7－x)2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4.在Rt△END′中，设ED′＝a，①当MD′＝3时，AM＝7－3＝4，D′N＝5－3＝2，EN＝4－a，∴a2＝22＋(4－a)2，解得a＝，即DE＝；②当MD′＝4时，AM＝7－4＝3，D′N＝5－4＝1，EN＝3－a，∴a2＝12＋(3－a)2，解得a＝，即DE＝.综上所述，DE的长为或.4.或10 【解析】分两种情况：①如解图①，当点F在矩形内部时，∵点F在AB的垂直平分线MN上，∴AN＝4.∵AF＝AD＝5，由勾股定理得FN＝3，∴FM＝2.设DE为x，则EM＝4－x，FE＝x，在△EMF中，由勾股定理，得x2＝(4－x)2＋22，∴x＝，即DE的长为；15\n图①图②第4题解图②如解图②，当点F在矩形外部时，同①的方法可得FN＝3，∴FM＝8，设DE为y，则EM＝y－4，FE＝y，在△EMF中，由勾股定理，得y2＝(y－4)2＋82，∴y＝10，即DE的长为10.综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10.5．3或 【解析】①点A落在矩形对角线BD上，如解图①，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∴AC＝BD＝＝10.根据折叠的性质，得PC⊥BB′，∴∠PBD＝∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴＝，即＝，解得BP＝；②点A落在矩形对角线AC上，如解图②，根据折叠的性质，得BP＝B′P，∠B＝∠PB′C＝90°，∴∠AB′A＝90°，∴△APB′∽△ACB，∴＝，即＝，解得BP＝3，故答案为：3或.图①图②第5题解图6．2或5－ 【解析】分两种情况：①当点B′在AC的下方时，如解图①，∵D是BC中点，∴S△BPD＝S△PDC，∵S△PDF＝S△BPD，∴S△PDF＝S△PDC15\n.∴F是PC的中点，∴DF是△BPC的中位线，∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折叠得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB＝BD，过B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，tanA＝＝2，∵AB＝，∴AE＝1，BE＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC＝＝＝2，∵D为BC的中点，∴BD＝，∴PB＝BD＝，在Rt△BPE中，PE＝1，∴AP＝AE＋PE＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC的上方时，如解图②，连接B′C，同理得：F是DC的中点，F是PB′的中点，∴DF＝FC，PF＝FB′，∴四边形DPCB′是平行四边形，∴PC＝B′D＝BD＝，∴AP＝5－，综上所述，AP的长为2或5－.7．8＋2或8－2 【解析】由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，＝2，∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时，如解图①，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC，∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，∴GF＝2，∴AF＝8＋2；②当点C′在BC的下方时，如解图②，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，∴AF＝BG，FG＝AB＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG中，GE＝2.∵BE＝8，∴BG＝8－2，∴AF＝8－2.图①图②第7题解图类型三15\n针对训练1．5－5 【解析】如解图，连接BE.第1题解图∵AB＝BC＝AC＝10，∴∠C＝60°.∵AB＝BC，E是AC的中点，∴BE⊥AC.∴BE＝＝＝5.∵AC＝10，E是AC边的中点，∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE，∴当点B、A′、E在一条直线上时，BA′有最小值，最小值＝BE－A′E＝5－5.2. 【解析】连接DE，DE＝＝13，∵将△AEP沿FP折叠，使得点A落在点A′的位置，∴EA′＝EA＝5，∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE上时，取等号)，∴当A′与点D的距离最短时，A′点在DE上，∴DA′＝13－5＝8，设PA′＝x，则PA＝x，PD＝12－x，在Rt△DPA′中，x2＋82＝(12－x)2，解得x＝，∴△A′PD的面积＝×8×＝.3. 【解析】在Rt△ADE中，DE＝＝2，当B′在ED上时，B′D最小，在ED上截取EB′＝EB＝2，连接B′F，FD，则B′D＝ED－EB′＝2－2，设BF＝x，则B′F＝x，CF＝4－x，在Rt△B′FD和Rt△FCD中，利用勾股定理，可得DB′2＋B′F2＝DF2＝CF2＋DC2，即(2－2)2＋x2＝(4－x)2＋42，解得x＝＋1，∴Rt△BEF中，tan∠BEF＝＝. 第3题解图4. 【解析】由题意得：DF＝DB，15\n第4题解图∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D;连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，∵点D是边BC的中点，∴CD＝BD＝3；而AC＝4，由勾股定理得：AD2＝AC2＋CD2，∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC，∴＝＝，即＝＝，∴HF＝，DH＝，∴BH＝，∴BF＝＝.15
