全等在几何探究题中的应用深度练习1．(2022·襄阳)如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为________；(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H.若AG＝6，GH＝2，则BC＝______．2．(2022·益阳)如图①，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.(1)求证：BE＝CE；(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N(如图②)．①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上(如图③)，求sin∠EBG的值．5\n参考答案1．(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°.5\n∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°.∴EG＝EC.∴四边形CEGF是正方形．②＝.(2)解：如解图①，连接CG，由旋转性质可知∠BCE＝∠ACG＝α.在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝，＝cos45°＝.∴＝＝.∴△ACG∽△BCE.∴＝＝.∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE.(3)解：如解图②，连接DF，由(2)知△BCE∽△ACG，∴∠BEC＝∠AGC.∵四边形CEGF是正方形，∴∠CEF＝∠CFE＝∠CGF＝45°，CG⊥EF.∵∠BEC＝180°－∠CEF＝135°，∴∠AGC＝135°.∴∠AGC＋∠CGF＝135°＋45°＝180°.∴A，G，F三点在一条直线上．又∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCE＝∠DCF.而BC＝DC，EC＝FC，第1题解图②∴△BEC≌△DFC(SAS)．∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFC.∵＝，AG＝6，∴BE＝DF＝3.∵∠BEC＝135°，∠CFE＝45°，∴∠BFD＝∠DFC－∠CFE＝135°－45°＝90°.又CH⊥BF，∴CH∥DF.∴△AGH∽△AFD.∴＝＝.5\n∴＝＝.∴GF＝3，＝.设AH＝2x，则AD＝3x，DH＝x.又由正方形ABCD和正方形CEGF，知AD＝CD＝3x，GC＝GF＝3，∴在Rt△CDH中，由DH2＋CD2＝CH2，得x2＋(3x)2＝(2＋3)2，解得x1＝，x2＝－(不合题意，舍去)．∴AD＝3，即BC＝3.故答案为3.2．解：(1)∵矩形ABCD，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵AE＝DE，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝CE；(2)①∵∠AEB＋∠ABE＝90°，∠AEB＋∠CED＝90°，第2题解图∴∠ABE＝∠CED，∵∠CED＝∠ECB，∴∠ABE＝∠ECB，∵∠BEC＝∠MEN＝90°，∴∠BEM＝∠CEN，由(1)得BE＝CE，∴△BEM≌△CEN；②由(1)得△ABE≌△DCE，∴∠BEA＝∠CED，∵∠ABE＝∠CED，∴∠BEA＝∠ABE，∴AB＝AE＝DE＝2，设BM＝x，由①得△BEM≌△CEN，∴BM＝CN＝x，∴BN＝4－x，∴△BMN面积＝x(4－x)＝－(x－2)2＋2，又0≤x≤2，∴当x＝2时，△BMN面积最大，最大值为2.③如解图，过点E作EH⊥FG于点H.在Rt△ABF中，∠F＝30°，AB＝2，∴FA＝2，∴FE＝FA＋AE＝2＋2，∴EH＝＋1，5\n在Rt△BEH中，∵BE＝2，∴sin∠EBG＝＝＝.5
