专题十 解直角三角形或相似的计算与实践年份题型考点题号分值难易度2022选择题、解答题方位角、三角函数10、25(2)(3)3＋7＝10容易题、中等题、较难题2022选择题相似三角形判定152中等题2022选择题方位角93容易题命题规律纵观河北历年中考，每年都有命题，而且多与其他知识综合考查，近几年考查稍微弱一些，但感觉以后考查会侧重的，并且此专题难题较多，出题角度很广，2022年已经体现了，复习时要重视．预测2022年会延续2022年，分值和题量不变.首先夯实基础，其次加强与其他知识的综合应用，今年中考单独考查相似或三角函数的时候很少，多数把它俩作为解题工具，因此要加强综合训练．,重难点突破) 锐角三角函数的实际应用【例1】(贵阳中考)在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已知塔基AB的高为4m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC方向走5m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°.(人的身高忽略不计)(1)求A，C的距离；(结果保留根号)(2)求塔高AE.(结果保留整数)【解析】(1)在Rt△ABC中，利用锐角三角函数关系可得AC＝，结合已知求出AC的距离；(2)在Rt△ADE中，易得AE＝AD·tan∠ADE，结合已知求解，根据题目要求取近似值．【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝4m.∵tan∠ACB＝，∴AC＝＝＝4(m)．答：A，C的距离为4m.(2)在Rt△ADE中，∠ADE＝50°，AD＝(5＋4)m.∵tan∠ADE＝，∴AE＝AD·tan∠ADE＝(5＋4)×tan50°≈14(m)．答：塔高AE约为14m.1．(张家界中考)如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20m到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41)3\n解：由题意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE，∴BE＝DE＝20.在Rt△BEC中，BC＝BE·sin60°＝20×＝10(m)，∴AB＝BC－AC＝10－12≈5.3(m)．答：旗杆AB的高度是5.3m.【方法指导】解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次是牢记特殊角的三角函数值及边角关系． 相似的综合【例2】(2022株洲中考)如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.【解析】(1)由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；(2)由第(1)问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角对应角相等的三角形相似即可得证．【答案】证明：(1)∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；(2)延长BA，交ED于点M.∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF.∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF.∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.2．(2022常德中考)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，交AC于F.(1)如图①，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；(2)如图②，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.解：(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵∴△ABE≌△DBE(HL)；(2)①过G作GH∥AD交BC于H.3\n∵G是AB中点且GH∥AD，∴H是BD中点，∴BH＝DH.∵BD＝4DC，设DC＝1，BD＝4，∴BH＝DH＝2；∵GH∥AD，∴＝＝，∴GM＝2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG.∴△AGM∽△NCM，∴＝.由①知GM＝2MC，∴2NC＝AG.∵∠BAC＝∠AEB＝90°，∴∠ABF＝∠CAN＝90°－∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴＝.∵AB＝2AG，∴＝，∴2CN·AG＝AF·AC，∴AG2＝AF·AC.【方法指导】首先掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键，添辅助线有一个重要原则是“构造相似三角形”．教后反思__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3
