第五节多边形与平行四边形河北五年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分202216正多边形的性质以正四边形、正六边形为背景，求线段的长度21325平行四边形的性质以平行四边形为背景的综合题11202213平行四边形的性质将平行四边形按某方式折叠求某角度数22202219正多边形的性质以正三角形、正四边形、正五边形、正六边形为背景，求角的度数31322平行四边形的判定利用三角形全等让两组对边分别相等，得平行四边形10202215正六边形的性质以正六边形为背景，涉及两个含60°角的直角三角形，求阴影部分与空白部分的面积比332022年未考查命题规律平行四边形与多边形在河北中考中最多设置3道题，分值为2～13分．纵观河北近五年中考，本课时常考类型有：(1)平行四边形的判定及性质的相关计算；(2)多边形性质的相关计算.河北五年中考真题及模拟 平行四边形的判定及性质的相关计算1．(2022河北中考)平面内，如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.(1)当∠DPQ＝10°时，求∠APB的大小；(2)当tan∠ABP∶tanA＝3∶2时，求点Q与点B间的距离；(结果保留根号)(3)若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．(结果保留π)解：(1)如答图①，①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B＝180°－∠Q′P′B－∠Q′P′D＝180°－90°－10°＝80°；②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB＝180°－(∠QPB－∠QPD)＝180°－(90°－10°)＝100°；综上所述，当∠DPQ＝10°时，∠APB的值为80°或100°；(2)如答图②，连接BQ，作PE⊥AB于E.7\n∵tan∠ABP∶tanA＝3∶2，tanA＝，∴tan∠ABP＝2.在Rt△APE中，tanA＝＝，设PE＝4k，则AE＝3k.在Rt△PBE中，tan∠ABP＝＝2，∴EB＝2k，∴AB＝5k＝10，∴k＝2，∴PE＝8，EB＝4，∴PB＝＝4.∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BQ＝PB＝4；(3)①如答图③，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F.则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB中，∵tanA＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8.∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，∴PB＝PQ＝8，∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝＝32π.②如答图④，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F.设PE＝x.易证△PBE≌△QPF，∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE＋PE＋PF－AD＝x－1.∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，7\n∴tan∠FDQ＝tanA＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，PB＝＝4，∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝＝20π.③如答图⑤，当点Q落在AD上时，易知PB＝PQ＝8，∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝＝16π.综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.2．(2022河北中考)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图所示，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝__CD__．求证：四边形ABCD是__平行__四边形．(1)在方框中填空，以补全已知和求证；(2)按嘉淇的想法写出证明；证明：连接BD.在△ABD和△CDB中．∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB，∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∴AB∥CD，AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为__平行四边形的两组对边分别相等__． 多边形性质的相关计算3．(2022河北中考)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：7\n将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是( C )A．1.4B．1.1C．0.8D．0.54．(2022张家口九中二模)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为( D )A．5B．5或6C．5或7D．5或6或75．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是( D )A．OE＝DCB．OA＝OCC．∠BOE＝∠OBAD．∠OBE＝∠OCE(第5题图) (第6题图)6．(2022唐山中考模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于E，∠CBD＝90°，BC＝4，DE＝3，则平行四边形ABCD的面积为( D )A．6B．12C．20D．247．(2022石家庄中考)如图，正六边形ABCDEF中，P，Q两点分别为△ACF，△CEF的内心．若AF＝2，则PQ的长度为( C )A．1B．2C．2－2D．4－2(第7题图) (第8题图)8．(2022河北中考)平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝__24__°.9．(2022石家庄四十一中一模)如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°.直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1＋∠2＝__225°__．,中考考点清单 多边形1．正多边形7\nn边形(n≥3)内角和定理n边形的内角和为__(n－2)·180°__外角和定理n边形的外角和为__360°__对角线过n(n＞3)边形一个顶点可引(n－3)条对角线，n边形共有条对角线正n边形(n≥3)定义在平面内，边相等，角也相等的多边形叫做正多边形性质(1)正n边形的每一个内角为____(2)正(2n－1)边形是轴对称图形，对称轴有(2n－1)条；正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有2n条 平行四边形的性质与判定图①近五年平行四边形的判定与性质考查3次，考查题型为选择题、解答题，考查类型有2种：(1)与其他图形综合求证；(2)以折叠为背景利用平行四边形的性质求角度．2．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．如图①所示．3．性质文字描述字母表示[参考图①](1)对边__平行且相等__AB綊CD，AD綊BC(2)对角__相等__∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC(3)对角线__互相平分__OA＝OC，OB＝OD(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，O为对称中心4.判定文字描述字母表示[参考图①](1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形⇒(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形⇒(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形⇒(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形⇒四边形ABCD是平行四边形(5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形⇒,中考重难点突破 多边形的相关计算【例1】(2022北京中考)若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是( )A．6 B．12 C．16 D．18【解析】设多边形的边数为n，则有(n－2)×180°＝n×150°，解得n＝12.故选B.【答案】B7\n1．(2022临沂中考)一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是( C )A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形2．(莱芜中考)若一个正多边形的每个内角为156°，则这个正多边形的边数是( C )A．13B．14C．15D．163．(梅州中考)若凸多边形的内角和为1260°，则该多边形的对角线有__27__条． 平行四边形的相关计算【例2】(2022青岛中考)如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( A )A.B.C.D.【解析】根据平行四边形的对角线互相平分，可由平行四边形ABCD，AC＝2，BD＝4，得到AO＝1，BO＝2，再根据勾股定理的逆定理，由AB＝得到△ABO是直角三角形，∠BAO＝90°，最后根据勾股定理可得BC＝＝＝，因此，在Rt△ABC中，S△ABC＝AB·AC＝BC·AE，即×2＝·AE，解得AE＝.【答案】D4．(2022眉山中考)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( C )A．14B．13C．12D．105．(黔东南中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( A )A．AB∥DC，AD＝BCB．AB∥DC，AD∥BCC．AB＝DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD(第5题图) (第6题图)6．(丽水中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( B )A．13B．17C．20D．267．(益阳中考)如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE.7\n求证：AF＝CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC，∠ADB＝∠CBD.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB，AE∥CF.∴△AED≌△CFB.∴AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE.7
