第四章 图形的初步认识与三角形第十二讲 相交线与平行线,考标完全解读)考点考试内容考试要求相交线线段与直线了解角的有关概念理解垂线及其性质理解平行线平行线的定义了解平行线的性质掌握平行线的判定掌握,感受宜宾中考)1.(2022宜宾中考)如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠E等于( B ) A．24°B．59°C．60°D．69°,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2022宜宾中考)如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝25°，则∠2＝__115°__．3．(2022宜宾中考)如图，直线a，b被第三条直线c所截，如果a∥b，∠1＝70°，那么∠3的度数是__70°__．8\n,(第3题图)) ,(第4题图))4．(2022宜宾中考)如图，AB∥CD，AD与BC交于点E.若∠B＝35°，∠D＝45°，则∠AEC＝__80°__．5．(2022宜宾中考)如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝__75__°.,核心知识梳理) 线段与直线1．线段(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线．(2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．(3)线段的和与差：如图①，已知两条线段a和b，且a>b，在直线l上画线段AB＝a，BC＝b，则线段AC就是线段a与b的和，即AC＝__a＋b__． 如图②，在直线l上画线段AB＝a，在AB上画线段AD＝b，则线段DB就是线段a与b的差，即DB＝a－b.(4)线段的中点：如图③，线段AB上的一点M，把线段AB分成两条线段AM与MB.如果AM＝MB，那么点M就叫做线段AB的中点，此时有__AM__＝MB＝AB，AB＝2AM＝2MB.2．直线(1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形．(2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线． 角及角平分线3．角的分类(1)分类分类锐角直角钝角平角周角度数0°<α<90°α＝90°90°<α＜180°α＝180°α＝360°8\n(2)周角、平角、直角之间的关系和度数1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝()°，1″＝′.4．角平分线的概念及性质(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个__相等__的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线．(2)性质：角平分线上的点到角两边的距离__相等__．判定：到角两边距离__相等__的点在角平分线上．5．余角、补角、邻补角(1)余角：如果两个角的和为__90°__，那么这两个角互为余角；同角(等角)的余角相等．(2)补角：如果两个角的和为__180°__，那么这两个角互为补角；同角(等角)的补角相等．(3)邻补角：两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；互为邻补角的两个角的和为__180°__． 相交线三线八角(如图) 6．同位角有：∠1与__∠5__，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7.7．内错角有：∠2与__∠8__，∠3与∠5.8．同旁内角有：∠3与∠8，∠2与__∠5__．9．对顶角：∠1与∠3，∠2与__∠4__，∠5与∠7，∠6与__∠8__． 垂线及其性质10．定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是__直角__，我们就说这两条直线__互相垂直__，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．11．基本事实：经过直线上或直线外一点，__有且只有__一条直线与已知直线垂直．12．性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．13．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段__长度__．14．线段的垂直平分线：(1)定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离__相等__．(2)逆定理：到一条线段的两端点的距离__相等__的点在线段的垂直平分线上． 平行线的判定及性质【考情总结】平行线的判定及性质近几年考查频率高，考查的题型有选择题和填空题，主要考查根据平行线的性质求角度，一般多与三角形的内角和定理或内外角关系结合．8\n15.平行线的概念：在同一平面内__不相交__的两条直线叫做平行线．16.平行公理：经过直线外一点有且只有__一条__直线与已知直线平行．17．平行公理的推论：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线__平行__．18．平行线的判定：(1)__同位角相等__，两直线平行；(2)__内错角相等__，两直线平行；(3)__同旁内角互补__，两直线平行．19．平行线的性质：(1)两直线平行，__同位角相等__；(2)两直线平行，__内错角相等__；(3)两直线平行，__同旁内角互补__．20．平行线间的距离：(1)定义：过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，__垂线段__的长度叫做平行线间的距离．(2)性质：两条平行线间的距离处处__相等__．,重点难点解析) 线的有关概念及计算【例1】已知线段AB＝8cm，点C是直线AB上一点，BC＝2cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度为( ) A．5cm B．5cm或3cmC．7cm或3cm D．7cm【解析】根据线段中点的性质，可得BM，BN，根据线段的和差，可得答案．【答案】B【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出BM，BN是解题关键．【针对训练】1．已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3cm，则线段AC＝__11__cm或5__cm__． 余角和补角概念【例2】一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．【解析】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．【答案】解：设这个角为x°，则其余角为(90－x)°，补角为(180－x)°.依题意有180－x＝2(90－x)＋40，解得x＝40.答：这个角的度数是40°.【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．【针对训练】8\n2．(2022常德中考)若一个角为75°，则它的余角的度数为( D )A．285° B．105°C．75°D．15°3．一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？解：设这个角为x.由题意，得180°－x－24°＝3(90°－x)，解得x＝57°.答：这个角的度数为57°. 相交线中的有关概念和计算【例3】如图所示，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．【解析】由已知∠FOC＝90°，∠1＝40°结合平角的定义，可得∠3的度数，又因为∠3与∠AOD互为邻补角，可求出∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD可求出∠2.【答案】解：∵∠FOC＝90°，∠1＝40°，AB为直线，∴∠3＋∠FOC＋∠1＝180°，∴∠3＝180°－90°－40°＝50°.∵∠3与∠AOD互补，∴∠AOD＝180°－∠3＝130°.∵OE平分∠AOD，∴∠2＝∠AOD＝65°.【点评】本题主要考查邻补角的概念以及角平分线的定义．【针对训练】4．如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，则∠AOF等于( B )A．130° B．120°C．110° D．100° 平行线的性质和判定8\n【例4】已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°.求证：AB∥CD.【解析】要证AB∥CD，只需证∠1＝∠4，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得∠4＝60°，故本题得证．【答案】证明：∵GH⊥CD，(已知)∴∠CHG＝90°.(垂直定义)又∵∠2＝30°，(已知)∴∠3＝60°.∴∠4＝60°.(对顶角相等)又∵∠1＝60°，(已知)∴∠1＝∠4，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．【点评】准确把握平行线的判定定理，是解本题的关键．【针对训练】5．(2022绥化中考)如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝55°，下列条件中能判定AB∥CD的是( C )A．∠2＝35°B．∠2＝45°C．∠2＝55°D．∠2＝125°,(第5题图)) ,(第6题图))6．(赤峰中考)如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则( C )A．AB∥BC B．BC∥CDC．AB∥DC D．AB与CD相交 平行线的实际应用【例5】(2022枣庄中考)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( )A．15°B．22.5°C．30°D．45°【解析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2＋∠3＝45°，易得∠1＝15°.【答案】A【点评】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．【针对训练】8\n7．(2022宿迁中考)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4的度数是( B )A．80° B．85° C．95° D．100°8．(2022恩施中考)如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是( D )A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠4,当堂过关检测)1.(2022北京中考)如图所示，点P到直线l的距离是( B ) A．线段PA的长度 B．线段PB的长度C．线段PC的长度 D．线段PD的长度,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2022玉林中考)如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是( B )A．同位 B．内错角C．同旁内角 D．邻补角3．(2022金华中考)如图，已知l1∥l2，直线l与l1，l2相交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝__20°__．,(第3题图)) ,(第4题图))4．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O，若∠MOD＝43°，则∠COB＝__133__°.5．若一个角的补角是这个角余角的3倍，则这个角是多少度？解：设这个角为x，则补角为(180°－x)，余角为(90°－x)，由题意得，3(90°－x)＝180°－x，解得：x＝45，即这个角为45°.8\n教后反思：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8
