第17讲 二次函数的变化1.(2022，河北)如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m＝2.第1题图【解析】根据已知分析A1，A2，A3，…各点的横坐标与A的下标的关系，得出A12(3×12，0)，A13(3×13，0)．再观察所给图形可知函数图象的开口向上或向下的规律：图形序号为奇数时开口向下，为偶数时开口向上，则C13的开口向下．由两点式得出第13段的函数解析式为y＝－(x－36)(x－39)．当x＝37时，y＝－(37－36)×(37－39)＝2.∴m＝2.2.(2022，河北，导学号5892921)如图，2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点．抛物线l的解析式为y＝(－1)nx2＋bx＋c(n为整数)．(1)n为奇数，且l经过点H(0，1)和C(2，1)，求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；(2)n为偶数，且l经过点A(1，0)和B(2，0)，通过计算说明点F(0，2)和H(0，1)是否在该抛物线上；(3)若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．第2题图【思路分析】(1)根据－1的奇数次方等于－1，再把点H，C的坐标代入抛物线的解析式计算即可求出b，c的值，然后把抛物线的解析式整理成顶点式形式，写出顶点坐标即可．(2)根据－1的偶数次方等于1，再把点A，B的坐标代入抛物线的解析式计算即可求出b，c的值，进而把x＝0代入抛物线的解析式求出y的值进行判断．(3)分别利用(1)(2)中的结论，将抛物线平移，可以确定抛物线的条数．解：(1)当n为奇数时，y＝－x2＋bx＋c.∵l经过点H(0，1)和C(2，1)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋1，即y＝－(x－1)2＋2.∴顶点为格点E(1，2)．7\n(2)当n为偶数时，y＝x2＋bx＋c.∵l经过点A(1，0)和B(2，0)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2.当x＝0时，y＝2，∴点F(0，2)在抛物线上，点H(0，1)不在抛物线上．(3)所有满足条件的抛物线共有8条．当n为奇数时，由(1)中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图①所示；当n为偶数时，由(2)中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图②所示．第2题答图 抛物线的平移例1(2022，唐山古冶区一模)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线m：y＝－2x2－2x的顶点为C，与x轴的两个交点为P，O.现将抛物线m先向下平移再向右平移，使点C的对应点C′落在x轴上，点P的对应点P′落在y轴上，则下列各点的坐标不正确的是(B)例1题图A.CB.C′(1，0)C.P(－1，0)D.P′【解析】∵y＝－2x2－2x＝－2x(x＋1)＝－2＋，∴P(－1，0)，C.又∵将抛物线m先向下平移再向右平移，使点C的对应点C′落在x轴上，点P的对应点P′落在y轴上，∴该抛物线向下平移了个单位长度，向右平移了1个单位长度．∴C′，P′.针对训练1(2022，济南平阴县二模)把抛物线y＝－2x2＋4x＋1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式是(C)A.y＝－2(x－1)2＋6 B.y＝－2(x－1)2－6 C.y＝－2(x＋1)2＋6 D.y＝－2(x＋1)2－67\n【解析】原抛物线的顶点坐标为(1，3)，向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到新抛物线的顶点坐标为(－1，6)．所以新抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2＋6.一、选择题1.(2022，哈尔滨)将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为(A)A.y＝－5(x＋1)2－1B.y＝－5(x－1)2－1C.y＝－5(x＋1)2＋3D.y＝－5(x－1)2＋3【解析】将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，得到y＝－5(x＋1)2＋1，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为y＝－5(x＋1)2－1.2.将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为(D)A.y＝(x－8)2＋5B.y＝(x－4)2＋5C.y＝(x－8)2＋3D.y＝(x－4)2＋3【解析】y＝x2－6x＋21＝(x2－12x)＋21＝(x－6)2＋3.故抛物线y＝(x－6)2＋3向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为y＝(x－4)2＋3.3.(2022，广安)抛物线y＝(x－2)2－1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是(D)A.先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【解析】抛物线y＝x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y＝(x－2)2－1的顶点坐标为(2，－1)，则抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到抛物线y＝(x－2)2－1.4.(2022，邵阳模拟)抛物线y＝ax2＋bx＋c先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝－3(x－1)2＋4，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是(C)A.(6，3)B.(6，5)C.(－4，3)D.(－4，5)【解析】∵抛物线y＝－3(x－1)2＋4的顶点坐标是(1，4)，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是(1－5，4－1)，即(－4，3).5.(2022，上海黄浦区一模)若将抛物线向右平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝2x2，则原抛物线的解析式为(C)A.y＝2x2＋2B.y＝2x2－2C.y＝2(x＋2)2D.y＝2(x－2)2【解析】∵将抛物线向右平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝2x2，∴将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度可得到原抛物线．∴原抛物线的解析式为y＝2(x＋2)2.6.(2022，绍兴上虞区模拟)将如图所示的抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，经此变换后的抛物线的解析式为(A)7\n第6题图A.y＝－(x－3)2＋2 B.y＝－(x－1)2＋2C.y＝－(x－3)2＋2D.y＝－(x－1)2＋2【解析】由题意，可得原抛物线的顶点坐标为(2，4)，且经过点(0，1)．设原抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋4，则1＝4a＋4.解得a＝－.故原抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋4.将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，经此变换后的抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋2.7.(2022，兴安盟模拟，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝ax2＋bx，其对称轴与两条抛物线所围成的阴影部分的面积为，则a，b的值分别为(C)第7题图A.，B.，－C.，－D.－，【解析】∵抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝ax2＋bx，∴a＝.∴y＝ax2＋bx＝x2＋bx＝－.∴平移后抛物线的顶点A的坐标为.如答图，过点A作AB⊥y轴于点B，则阴影部分的面积等于矩形ABOC的面积，即·＝.解得b＝－.第7题答图8.(2022，达州二模，导学号5892921)已知抛物线C：y＝x2＋2x－3，将抛物线C平移得到抛物线C′.如果两条抛物线关于直线x＝1对称，那么下列说法正确的是(B)7\nA.将抛物线C沿x轴向右平移个单位长度得到抛物线C′B.将抛物线C沿x轴向右平移4个单位长度得到抛物线C′C.将抛物线C沿x轴向右平移个单位长度得到抛物线C′D.将抛物线C沿x轴向右平移6个单位长度得到抛物线C′【解析】∵抛物线C：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴抛物线C的对称轴为x＝－1.∴抛物线C与y轴的交点为A(0，－3)．∴与点A关于对称轴x＝－1对称的点是B(－2，－3)．若将抛物线C平移得到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将点B平移后与点A关于直线x＝1对称，则点B平移后的坐标应为(2，－3)．因此将抛物线C向右平移4个单位长度．9.(2022，天津二模)已知二次函数y＝－x2－4x－5，左、右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数y＝－x的图象上，则平移后的抛物线的解析式为(D)A.y＝－x2－4x－1B.y＝－x2－4x－2C.y＝－x2＋2x－1D.y＝－x2＋2x－2【解析】∵y＝－x2－4x－5＝－(x＋2)2－1，∴顶点坐标是(－2，－1)．由题意，知平移后顶点的横、纵坐标互为相反数．∵平移时，顶点的纵坐标不变，∴平移后的顶点坐标为(1，－1)，∴函数的解析式是y＝－(x－1)2－1＝－x2＋2x－2.二、填空题10.(2022，莆田秀屿区模拟)如果将抛物线y＝x2－2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的解析式是y＝x2－2x＋3.【解析】设平移后的抛物线的解析式为y＝x2－2x－1＋b.把A(0，3)的坐标代入，得3＝－1＋b.解得b＝4.∴所得新抛物线的解析式是y＝x2－2x＋3.11.(2022，上海徐汇区一模)已知抛物线C的顶点坐标为(1，3)．如果抛物线C平移后能与抛物线y＝x2＋2x＋3重合，那么抛物线C的解析式是（y＝(x－1)2＋3）.【解析】设抛物线C的解析式为y＝a(x－h)2＋k.∵抛物线C平移后能与抛物线y＝x2＋2x＋3重合，∴a＝.∵抛物线C的顶点坐标为(1，3)，∴抛物线C的解析式是y＝(x－1)2＋3.12.(2022，哈尔滨松北区一模)抛物线y＝－2x2＋4kx＋2向右平移2个单位长度后，顶点的横坐标是4，则k的值为2.【解析】y＝－2x2＋4kx＋2＝－2(x－k)2＋2k2＋2.∵抛物线y＝－2x2＋4kx＋2向右平移2个单位长度后，顶点的横坐标是4，∴k＋2＝4.解得k＝2.13.(2022，上海奉贤区一模)如果抛物线y＝2x2与抛物线y＝ax2关于x轴对称，那么a的值是－2.【解析】∵抛物线y＝2x2与抛物线y＝ax2关于x轴对称，∴两抛物线开口大小相同，方向相反．∴a＝－2.14.(2022，大庆一模)把二次函数y＝2x2－4x＋3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为y＝－2x2－4x－3.【解析】∵抛物线y＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1的顶点坐标为(1，1)，∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为(－1，－1)．∴所得到的图象的解析式为y＝－2(x＋1)2－1，即y＝－2x2－4x－3.三、解答题15.(2022，宁波)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(1，0)，.(1)求该抛物线的解析式；7\n(2)将抛物线y＝－x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的图象的解析式．【思路分析】(1)把已知点的坐标代入抛物线的解析式求出b与c的值即可．(2)指出满足题意的平移方法，并写出平移后的图象的解析式即可．解：(1)把(1，0)，代入该抛物线的解析式，得解得∴该抛物线的解析式为y＝－x2－x＋.(2)该抛物线的解析式为y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋2.将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的图象的解析式为y＝－x2.16.(2022，南京玄武区模拟)已知二次函数的图象如图所示．(1)求这个二次函数的解析式；(2)将该二次函数的图象向上平移3个单位长度后恰好过点(－2，0)；(3)观察图象，当－2＜x＜1时，y的取值范围为－4≤y＜0.第16题图【思路分析】(1)设二次函数的解析式为顶点式，把顶点(－1，－4)和点(1，0)的坐标分别代入，可得答案．(2)根据平移规律，可得答案．(3)观察图象，求得－2<x<1时的最值，可得答案．解：(1)设y＝a(x－h)2＋k.∵图象的顶点坐标为(－1，－4)，∴y＝a(x＋1)2－4.将(1，0)代入，得0＝a·(1＋1)2－4.解得a＝1.∴y＝(x＋1)2－4.(2)3(3)－4≤y＜01.(2022，上海宝山区一模)如图，如果把抛物线y＝x2沿直线y＝x向上方平移2个单位长度后，其顶点在直线y＝x上的点A处，那么平移后的抛物线的解析式是(D)7\n第1题图A.y＝(x＋2)2＋2B.y＝(x＋2)2＋2C.y＝(x－2)2＋2D.y＝(x－2)2＋2【解析】如答图，过点A作AB⊥x轴于点B.∵直线y＝x与x轴的夹角∠AOB为45°，OA＝2，∴OB＝OA·cos∠AOB＝2×＝2，AB＝OA·sin∠AOB＝2×＝2.∴点A的坐标为(2，2)．∴平移后的抛物线的解析式是y＝(x－2)2＋2.第1题答图2.(2022，林州一模，导学号5892921)如图，函数y＝的图象记为C1，它与x轴交于点O和点A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3……如此进行下去．若点P(103，m)在图象上，则m的值是(C)第2题图A.－2B.2C.－3D.4【解析】∵103＝25×4＋3，∴点P(103，m)在图象C26上．易知图象C26中的抛物线部分的解析式为y＝(x－100)(x－104)(102<x≤104)．当x＝103时，m＝3×(－1)＝－3.7
