2022年江苏省盐城市阜宁县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8题，每小题3分，共计24分）1．（3分）（2022•河南）﹣2的相反数是（ ） A．2B．﹣2C．D．考点：相反数．分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．解答：解：﹣2的相反数是2，故选：A．点评：此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义． 2．（3分）（2022•海陵区模拟）在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A．x＞2B．x≥2C．x≠0D．x≠2考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．专题：计算题．分析：分式有意义的条件：分母不能为0，即让分母不为0即可．解答：解：根据题意得：x﹣2≠0；解得x≠2，故选D．点评：用到的知识点为：分式的分母不能为0． 3．（3分）2022年冬季，中国五省市遭遇世纪大旱，截止1月底，约有60000000同胞受灾，这个数据用科学记数法可表示为（） A．6×105B．6×106C．6×107D．6×108考点：科学记数法—表示较大的数．专题：应用题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解答：解：60000000=6×107．故选C．点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0． 4．（3分）（2022•海陵区模拟）如果一个多边形的内角和等于360度，那么这个多边形的边数为（ ） A．4B．5C．6D．7考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）•180°=360°，解方程即可．17\n解答：解：∵（n﹣2）•180°=360°，解得n=4，∴这个多边形为四边形．故选A．点评：本题考查了多边形的内角和定理：多边形的内角和为（n﹣2）•180°． 5．（3分）（2022•海陵区模拟）已知同一平面内的⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且O1O2=4cm，则两圆的位置关系为（ ） A．外离B．内含C．相交D．以上都不正确考点：圆与圆的位置关系．分析：本题考查两圆位置关系的判定，确定R﹣r、R+r、d三者之间的关系即可．解答：解：由题意知，O1O2=4cm，2＜O1O2＜8，故两圆相交，故选C．点评：本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则P＞R+r；②外切，则P=R+r；③相交，则R﹣r＜P＜R+r；④内切，则P=R﹣r；⑤内含，则P＜R﹣r． 6．（3分）（2022•德城区二模）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ） A．10cmB．30cmC．45cmD．300cm考点：圆锥的计算．分析：根据已知得出直径为60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角是120°，半径为30的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案．解答：解：根据将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），∴直径为60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角是120°，半径为30的扇形，假设每个圆锥容器的底面半径为r，∴=2πr，解得：r=10（cm）．故选A．点评：此题主要考查了圆锥的有关计算，得出扇形弧长等于圆锥底面圆的周长是解决问题的关键． 7．（3分）（2022•衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ） A．9.5B．10.5C．11D．15.5考点：三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．17\n专题：压轴题．分析：根据折叠图形的对称性，易得△EDF≌△EAF，运用中位线定理可知△AEF的周长等于△ABC周长的一半，进而△DEF的周长可求解．解答：解：∵△EDF是△EAF折叠以后形成的图形，∴△EDF≌△EAF，∴∠AEF=∠DEF，∵AD是BC边上的高，∴EF∥CB，又∵∠AEF=∠B，∴∠BDE=∠DEF，∴∠B=∠BDE，∴BE=DE，同理，DF=CF，∴EF为△ABC的中位线，∴△DEF的周长为△EAF的周长，即AE+EF+AF=（AB+BC+AC）=（12+10+9）=15.5．故选D．点评：本题考查了中位线定理，并涉及到图形的折叠，认识到图形折叠后所形成的图形△AEF与△DEF全等是解题的关键． 8．（3分）（2022•海陵区模拟）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则S四边形ADCE：S正方形ABCD的值为（ ） A．B．C．D．考点：相切两圆的性质；正方形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：两圆相外切，则圆心距等于两圆半径的和．利用勾股定理和和等面积法求解．解答：解：设正方形的边长为y，EC=x，由题意知，AE2=AB2+BE2，即（y+x）2=y2+（y﹣x）2，化简得，y=4x，故可得出S△ABE=AB•BE=6x2S正方形ABCD=y2=16x2S四边形ADCE=10x2故S四边形ADCE：S正方形ABCD=5：8；故选D．17\n点评：此题考查两相切圆的性质，关键是先构建一个直角三角形然后利用等面积法求解即可． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）9．（3分）（2022•广东）因式分解：a2﹣1= （a+1）（a﹣1） ．考点：因式分解-运用公式法．分析：考查了对平方差公式的理解，本题属于基础题．本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．解答：解：a2﹣1=a2﹣12=（a+1）（a﹣1）．点评：本题考查了公式法分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法． 10．（3分）（2022•海陵区模拟）已知一组数据：3，3，4，5，5，6，6，6．这组数据的众数是 6 ．考点：众数．分析：根据众数的定义就可以解决．解答：解：6出现的次数最多，所以众数是6．故填6．点评：主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的． 11．（3分）（2022•海陵区模拟）若关于x的方程ax=2a+3的根为x=3，则a的值为 3 ．考点：一元一次方程的解．专题：计算题．分析：把方程的解代入原方程得a为未知数的方程，再求解．解答：解：把x=3代入方程ax=2a+3，得：3a=2a+3，解得：a=3．故填：3．点评：本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式． 12．（3分）（2022•海陵区模拟）小聪在一个正方体盒子的每个面上都写有一个字，分别为“遨”、“游”、“数”、“学”、“世”、“界”，其平面展开图如图所示，那么在这个正方体盒子中，和“数”相对的面上所写的字是 世 ．考点：专题：正方体相对两个面上的文字．17\n分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“学”与面“界”相对，面“遨”与面“游”相对，“数”与面“世”相对．点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 13．（3分）（2022•昆明）半径为r的圆内接正三角形的边长为 r （结果可保留根号）．考点：正多边形和圆．专题：压轴题．分析：根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及勾股定理解答即可．解答：解：如图所示，OB=OA=r；∵△ABC是正三角形，由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，所以BO是∠ABC的平分线；∠OBD=60°×=30°，BD=r•cos30°=r•；根据垂径定理，BC=2×r=r．点评：本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，解答这类题要明确，多边形的半径与外接圆的半径相同． 14．（3分）（2022•杨浦区二模）如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，则∠α的度数是 50°． ．考点：旋转的性质．专题：计算题．分析：由△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，根据旋转的性质得到∠C=∠F=50°，∠BAE=80°，再根据三角形的内角和定理得到∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣100°﹣50°=30°，由此可得到∠α的度数．解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，∴∠C=∠F=50°，∠BAE=80°，17\n而∠B=100°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣100°﹣50°=30°，∴∠α=80°﹣30°=50°．故答案为：50°．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线的夹角定义旋转角；也考查了三角形的内角和定理． 15．（3分）（2022•白下区一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是 （7，3） ．考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．分析：本题可结合平行四边形的性质，在坐标轴中找出相应点即可．解答：解：因CD∥AB，所以C点纵坐标与D点相同．为3．又因AB=CD=5，故可得C点横坐标为7．故答案为（7，3）．点评：本题考查平行四边形的基本性质结合坐标轴，看清题意即可． 16．（3分）（2022•长春）如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作l的垂线，垂足分别为E、F．若AE=1，CF=3，则AB的长度为 ．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：几何综合题．分析：先利用AAS判定△ABE≌△BCF，从而得出AE=BF，BE=CF，最后得出AB的长．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA=90°，∠CBF+∠BCF=90°，∴∠BCF=∠ABE，∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）∴AE=BF，BE=CF，∴AB==．故答案为：．点评：此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法，做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用． 17\n17．（3分）（2022•齐河县一模）如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为 ﹣2 ．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：由的图象经过点C，可求C（0，2），代入一次函数y=﹣x+m求m的值，得出A点坐标，计算△AOC的面积，由四边形DCAE的面积为4，可知矩形OCDE的面积，从而得出k的值．解答：解：∵的图象经过点C，∴C（0，2），将点C代入一次函数y=﹣x+m中，得m=2，∴y=﹣x+2，令y=0得x=2，∴A（2，0），∴S△AOC=×OA×OC=2，∵四边形DCAE的面积为4，∴S矩形OCDE=4﹣2=2，∴k=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标求法，矩形面积与反比例系数的关系．关键是通过求三角形的面积确定矩形的面积． 18．（3分）（2022•海陵区模拟）如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、En，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3…△BCEn的面积为S1、S2、S3、…Sn．则Sn= S△ABC（用含n的代数式表示）．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的重心．专题：压轴题；规律型．分析：根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质．再利用在△ACB中，D2为其重心可得D2E1=BE117\n，然后从中找出规律即可解答．解答：解：易知D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，以此类推；根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1=BC，CE1=AC，S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC；∴在△ACB中，D2为其重心，∴D2E1=BE1，∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC，∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；∴Sn=S△ABC．故答案为：．点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质和三角形的重心等知识点，解决本题的关键是据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律． 三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（12分）（2022•海陵区模拟）（1）计算+；（2）先化简后求值：当时，求代数式的值．考点：分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）本题须先分别求出每一项的值，再把所得结果相加即可．（2）本题须先对要求的式子进行化简，再把所得结果代入．解答：解：（1）原式===（2）原式=当时，原式=1．点评：本题主要考查了分式的化简求值，解题时要注意简便方法的运用． 20．（8分）（2022•重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．17\n考点：全等三角形的判定与性质；梯形．专题：证明题；压轴题．分析：（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC．（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．解答：证明：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中，∴△BFC≌△DFC（SAS）．（2）连接BD．∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．又∵BD是公共边，∴△BAD≌△BED（ASA）．∴AD=DE．点评：这道题是主要考查全等三角形的判定和性质，涉及的知识比较多，有点难度． 17\n21．（8分）（2022•临夏州）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到 10 元购物券，至多可得到 50 元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．考点：列表法与树状图法．专题：压轴题．分析：（1）如果摸到0元和10元的时候，得到的购物券是最少，一共10元．如果摸到20元和30元的时候，得到的购物券最多，一共是50元；（2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．解答：解：（1）10，50；（2）解法一（树状图）：从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P（不低于30元）=；解法二（列表法）：第二次第一次01020300﹣﹣1020301010﹣﹣3040202030﹣﹣5030304050﹣﹣（以下过程同“解法一”）点评：本题主要考查概率知识．解决本题的关键是弄清题意，满200元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．（10分）（2022•海陵区模拟）某校初二年级全体320名学生在参加电脑培训前后各进行了一次水平相同的考试，考试都以同一标准划分成“不合格、合格、优秀”三个等级，为了了解培训的效果，用抽签的方式得到其中32名学生的两次考试等级，所绘的统计图如图所示，结合图示信息回答下列问题：（1）这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是 不合格 ；（2）这32名学生经过培训后，考分等级“不合格”的百分比是 25% ；（3）估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有 240 名；（4）你认为上述估计合理吗？理由是什么？17\n考点：条形统计图；用样本估计总体；中位数．专题：图表型．分析：（1）中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；（2）求出培训前的“不合格”的百分比和培训后的“不合格”的百分比即可；（3）用总人数×等级为“合格”与“优秀”的学生所占百分比即可；（4）合理．该样本是随机样本．解答：解：（1）培训前有24人不合格，7人合格，1人优秀，所以中位数所在等级是不合格，培训后8人不合格，16人合格，8人优秀，所以中位数所在的等级是合格；（2）培训前等级“不合格”的百分比24÷32=75%，培训后等级“不合格”的百分比8÷32=25%；（3）培训后考分等级为“合格”学生所占百分比为16÷32=50%，培训后考分等级为“优秀”学生所占百分比为8÷32=25%，∴培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有320×75%=240名；（4）合理．该样本是随机样本．故答案为：不合格、合格、75%、25%、240、合理、该样本是随机样本．点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 23．（8分）（2022•鄂州模拟）如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行3000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度？（保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：易证∠BAC=∠BCA，所以有BA=BC．然后在直角△BCE中，利用正弦函数求出CE．解答：解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．已知AB=3000（米），∠BAC=30°，∠EBC=60°，∵∠BCA=∠EBC﹣∠BAC=30°，∴∠BAC=∠BCA．∴BC=BA=3000（米）．在Rt△BEC中，EC=BC•sin60°=3000×=1500（米）．17\n∴CF=CE+EF=1500+500（米）．答：海底黑匣子C点处距离海面的深度约为（1500+500）米．点评：本题考查了仰俯角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 24．（10分）（2022•鄂州）甲乙两人同时登西山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山的速度是每分钟 10 米，乙在A地提速时距地面的高度b为 30 米．（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，乙追上了甲此时乙距A地的高度为多少米？考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用．专题：压轴题；图表型．分析：（1）甲的速度=（300﹣100）÷20=10，根据图象知道一分的时间，走了15米，然后即可求出A地提速时距地面的高度；（2）乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，所以乙的速度是30米/分．那么求出点B的坐标，加上点A的坐标代入一次函数解析式即可求出乙的函数解析式，把C、D坐标代入一次函数解析式可求出甲的函数解析式；（3）乙追上了甲即此时的y的值相等，然后求出时间在计算距A地的高度．解答：解：（1）甲的速度为：（300﹣100）÷20=10米/分，根据图中信息知道乙一分的时间，走了15米，那么2分时，将走30米；（2）由图知：x=+2=11，∵C（0，100），D（20，300）∴线段CD的解析式：y甲=10x+100（0≤x≤20）；∵A（2，30），B（11，300），17\n∴折线OAB的解析式为：y乙=；（3）由，解得，∴登山6.5分钟时乙追上甲．此时乙距A地高度为165﹣30=135（米）．点评：本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，关键是正确理解题意． 25．（8分）（2022•海陵区模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，DE⊥BC，交BC的延长线于点E，BD交AC于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE=1，ED=2，求⊙O的半径．考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．专题：综合题；几何综合题．分析：（1）连接OD，可证出OD∥BE，从而得出∠ODE=90°，即得出答案；（2）设OD交AC于点M，可得出四边形DMCE为矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理得出x，即为圆的半径．解答：解：（1）连接OD，∠EBD=∠ABD，∠ABD=∠ODB，则∠EBD=∠ODB，（1分）则OD∥BE，（2分）∠ODE=∠DEB=90°，（3分）DE是⊙O的切线；（4分）（2）设OD交AC于点M，易得矩形DMCE，DM=EC=1，AM=MC=DE=2，（5分）设⊙O的半径为x，得x2=22+（x﹣1）2，（6分）解得：，（7分）⊙O的半径为（8分）．17\n点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理以及圆周角定理，是一道综合题，难度不大． 26．（10分）（2022•海陵区模拟）某公司准备投资开发A、B两种新产品，通过市场调研发现：（1）若单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：yA=kx；（2）若单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：yB=ax2+bx．（3）根据公司信息部的报告，yA，yB（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值如下表所示：x15yA0.84yB3.815（1）填空：yA= 0.8x ；yB= ﹣0.2x2+4x ；（2）若公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为W（万元），试写出W与某种产品的投资金额x（万元）之间的函数关系式；（3）请你设计一个在（2）中能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？考点：二次函数的应用．分析：（1）依图可知yA、yB的答案．（2）设投资x万元生产B产品，则投资（20﹣x）万元生产A产品求出w与x的函数关系式．（3）把w与x的函数关系式用配方法化简可解出此方案能获得的最大利润是多少万元．解答：解：（1）由题意得：把x=1，y=0.8代入yA=kx得；yA=0.8x，把x=1，y=3.8，x=5，y=15代入yB=ax2+bx得；则yB=﹣0.2x2+4x（2）设投资x万元生产B产品，则投资（20﹣x）万元生产A产品，则W=0.8（20﹣x）﹣0.2x2+4x=﹣0.2x2+3.2x+16；（3）∵w=﹣0.2x2+3.2x+16=﹣0.2（x﹣8）2+28.8∴投资8万元生产B产品，12万元生产A产品可获得最大利润28.8万元．故答案为：0.8x，﹣0.2x2+4x点评：本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要注意知识的综合应用及解题方法是本题的关键，这是一道好题． 27．（10分）（2022•海陵区模拟）如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；17\n（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数；（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．过点P作直线l平行于BC，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．求PH的长．考点：作图—复杂作图；直角三角形的性质；矩形的性质．专题：作图题；几何综合题．分析：（1）以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点；（2）利用（1）中图形得出C，D，E，F即可得出答案；（3）求出MN的长度，根据勾股数的特点得出符合要求的点．解答：解：（1）尺规作图正确（以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点）（2））∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，∴以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点4个；（3）如图，∵矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．过点P作直线l平行于BC，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上，∴ME=4，NE=3，∴MN=5，PM=4，PH=2时，HM=2构成勾股数，同理可得：PH″=或PH=2或PH′=3．17\n点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及矩形的性质和作图与应用作图等知识，熟练地应用勾股定理找出勾股点是此题的难点． 28．（12分）（2022•海陵区模拟）如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质．专题：几何综合题；压轴题；存在型；分类讨论．分析：（1）此问需分两种情况，当0＜t≤5及5＜t≤10两部分分别讨论得PQ⊥AC．（2）①由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM=AM，代入求得t的值．②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论．解答：解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2t．则==，又∵AO=10，AB=20，∴==．∴=．又∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．17\n（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，∴AM=．在△APQ中，∠AQP=90°，∴AQ=AP•cos30°=2t，∴QM=AC﹣2AQ=20﹣4t．由AQ+QM=AM得：2t+20﹣4t=，解得t=．∴当t=时，点P、M、N在一直线上．②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．设l交AC于H．如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．∴MH=2NH．得20﹣4t﹣=2×，解得t=2．如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．∴MH=2PH，同理可得t=．故当t=2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，综合性强，较为复杂，难度较大．17
