江苏省南通市如东县2022届九年级中考适应性训练（一模）数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．（3分）（2022•烟台）的值是（ ） A．4B．2C．﹣2D．±2考点：算术平方根．专题：常规题型．分析：根据算术平方根的定义解答．解答：解：∵22=4，∴=2．故选B．点评：本题考查了算术平方根的定义，是基础题，比较简单． 2．（3分）（2022•武汉）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A．x＜3B．x≤3C．x＞3D．x≥3考点：二次根式有意义的条件．专题：常规题型．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故选D．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 3．（3分）（1999•广州）函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：要想求函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在第几象限，必须先求交点坐标，再判断．解答：解：根据题意得，解得：，∵点（﹣，）在第二象限，∴函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在第二象限，故选B．点评：本题考查了求两个一次函数的交点问题，以及各象限内的点的符号问题． 4．（3分）（2022•呼伦贝尔）下列说法正确的是（ ）23\n A．一个游戏中奖的概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖 B．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式 C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D．若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小考点：方差；全面调查与抽样调查；中位数；众数；概率的意义．分析：根据概率的意义可判断出A的正误；根据抽样调查与全面调查意义可判断出B的正误；根据众数和中位数的定义可判断出C的正误；根据方差的意义可判断出D的正误．解答：解：A、一个游戏中奖的概率是，做10次这样的游戏也不一定会中奖，故此选项错误；B、为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查的方式，故此选项错误；C、一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8，故此选项正确；D、若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动大；故选：C．点评：此题主要考查了概率、抽样调查与全面调查、众数和中位数、方差，关键是注意再找中位数时要把数据从小到大排列再找出位置处于中间的数． 5．（3分）（2022•如东县模拟）若两圆的半径r1，r2是方程x2﹣4x+3=0的两个不等实数根，圆心距为5，则两圆的位置关系为（ ） A．外切B．内含C．相交D．外离考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先根据根与系数的关系求得两根之和，然后和圆心距比较即可得到答案．解答：解：∵两圆的半径r1，r2是方程x2﹣4x+3=0的两个不等实数根，∴r1+r2=4，∵圆心距为5，∴两圆外离．故选D．点评：本题考查的是圆与圆的位置关系，根据根与系数的关系求得两根之和，从而确定两圆的位置关系． 6．（3分）（2022•如东县模拟）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4的正三角形，俯视图是一个半径为2的圆，那么这个几何体的全面积是（ ） A．8πcm2B．10πcm2C．12πcm2D．16πcm2考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体．专题：计算题．分析：易得这个几何体为圆锥，全面积=侧面积+底面积．解答：解：全面积=π×22+π×2×4=12πcm2．故选C．点评：考查圆锥的计算；用到的知识点为：有2个视图为三角形，另一个视图为圆的几何体是圆锥． 7．（3分）（2022•如东县模拟）如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D点的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF的大小为（ ）23\n A．50°B．80°C．90°D．100°考点：翻折变换（折叠问题）．分析：BD=AD=DF，所以△BDF为等腰三角形．运用内角和定理求解．解答：解：∵D是AB边上的中点，∴BD=AD=DF，∴∠DFB=∠B=50°．根据翻折变换的特点可知，∠BDF=80°．故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 8．（3分）（2022•如东县模拟）如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的上，若OA=1，∠1=∠2，则扇形OEF的面积为（ ） A．B．C．D．考点：扇形面积的计算；菱形的性质．分析：首先算出扇形OEF的圆心角，然后根据扇形面积公式S=计算．解答：解：连接OB，∵四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的上，若OA=1，∠1=∠2，∵OA=OB=AB，∴三角形ABO为正三角形，∴∠AOB=60°，∴∠EOF=120°，∴S扇形==×π×1=，故选C．点评：本题主要考查扇形面积的计算和菱形的相关知识．23\n 9．（3分）（2022•内江）如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（ ） A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象．解答：解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cosA=，即=，解得，y=x2﹣3x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6﹣x）cm（3＜x≤6）；则y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选C．点评：本题考查了动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选． 10．（3分）（2022•如东县模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为cm，将正方形ABCD在直线l上顺时针连续翻转4次，则点A所经过的路径长为（ ）23\n A．4πcmB．πcmC．πcmD．πcm考点：弧长的计算；旋转的性质．分析：正方形ABCD在直线l上顺时针连续翻转4次，实际A点经过的路径有三段，其中一段以4cm为半径，圆心角为90的弧长，另两段是以2cm为半径，圆心角为90的弧长，然后根据弧长公式计算．解答：解：A点经过的路径如图因为正方形ABCD的边长为cm，所以AC=AB=×2cm=4cm，所以点A所经过的路径长=+2×=（2+2）cm．故选B．点评：本题考查了弧长的计算：弧长=（n为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了正方形和旋转的性质． 二、填空题（本大题共8小题．每小题3分，共计24分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）11．（3分）（2022•杭州）因式分解：（2x+1）2﹣x2= （3x+1）（x+1） ．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接运用平方差公式分解因式，两项平方的差等于这两项的和与这两项的差的积．解答：解：（2x+1）2﹣x2，=（2x+1+x）（2x+1﹣x），=（3x+1）（x+1）．点评：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题难点在于把（2x+1）看作一个整体． 12．（3分）（2022•如东县模拟）在﹣1，0，，，π，0.101101110中任取一个数，取到无理数的概率是 ．考点：概率公式；无理数．分析：由题意可得共有6种等可能的结果，其中无理数有：，π共2种情况，则可利用概率公式求解．解答：解：∵共有6种等可能的结果，无理数有：，π共2种情况，∴取到无理数的概率是：=．23\n故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13．（3分）（2022•北京）若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ﹣1 ．考点：根的判别式．分析：根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．解答：解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）=0，解得m=﹣1．点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 14．（3分）（2022•如东县模拟）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是 100（1+x）+100（1+x）2=280 ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：等量关系为：二月份的生产量+三月份的生产量=280．解答：解：二月份的生产量为100×（1+x），三月份的生产量为100×（1+x）（1+x），那么100（1+x）+100（1+x）2=280．点评：解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意三月份的生产量是在二月份生产量的基础上得到的． 15．（3分）（2022•达州）如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 10 cm．考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理．专题：压轴题．分析：本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．解答：解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm．连接OC，交AB于D点．连接OA．∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，∴OC⊥AB．∴AD=4cm．23\n设半径为Rcm，则R2=42+（R﹣2）2，解得R=5，∴该光盘的直径是10cm．点评：此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键． 16．（3分）（2022•如东县模拟）如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．若正方形的边长为4，AE=x，BF=y．则y与x的函数关系式为 y=﹣x2+x ．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：由条件可以得出∠A=∠B，∠AED=∠EBF，从而得出△ADE∽△BEF；可以得出=，然后将AE=x，BF=y的值代入等式就可以表示出y的代数式．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，AD=AB，∴∠ADE+∠DEA=90°，∵EF⊥DE，∴∠AED+∠FEB=90°，∴∠ADE=∠FEB，∴△ADE∽△BEF；∴=．∵AD=AB=4，∴BE=4﹣x，∴=∴y=﹣x2+x．故答案为：y=﹣x2+x．点评：本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质的运用，得出△ADE∽△BEF是解题关键． 17．（3分）（2022•双鸭山）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 2或4或2或 ．23\n考点：勾股定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：分情况讨论，①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．解答：解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°，又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2×=，在Rt△BAC中，BC==2，∴BD===2；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=ACsin45°=2×=，又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°，23\n又∵在Rt△ABC中，BC==2，∴BD===．故BD的长等于4或2或．点评：分情况考虑问题，主要利用了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识． 18．（3分）（2022•如东县模拟）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= 3﹣ ．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．解答：解：设设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=2=3a，∴点D的坐标为（，3a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，），∴DE=3﹣，==3﹣．故答案为：3﹣．点评：23\n本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）19．（12分）（2022•如东县模拟）（1）计算：tan30°（2）解方程：．考点：解分式方程；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值化简，即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（1）原式=2﹣+1﹣（﹣3）+3×=2﹣+1+3+=6；（2）去分母得：1=x﹣1﹣3（x﹣2），去括号得：1=x﹣1﹣3x+6，解得：x=2，经检验x=2是增根，原分式方程无解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 20．（8分）（2022•如东县模拟）化简代数式（﹣4）÷，当x满足且为正整数时，求代数式的值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．分析：首先计算括号内的分式，然后把除法转化成乘法即可把式子化简，然后解不等式组确定x的值，代入化简以后的式子即可求解．解答：解：原式=÷=•=x﹣2．其中x≠0且x≠±2．解不等式组得：﹣≤x＜5，且x为正整数．∴x=1．∴原式=﹣1．23\n点评：分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 21．（8分）（2022•如东县模拟）学校为了解全校1600名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．（1）问：在这次调查中，一共抽取了 80 名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）扇形统计图中“其他”圆心角度数为 18 度；（4）估计全校所有学生中有 520 人乘坐公交车上学．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；条形统计图．专题：图表型；数形结合．分析：（1）由给的图象解题，根据自行车所占比例为30%，而频数分布直方图知一共有24人骑自行车上学，从而求出总人数；（2）由扇形统计图知：步行占20%，而由（1）总人数已知，从而求出步行人数，补全频数分布直方图；（3）用其他的百分比乘以360度即可；（4）自行车、步行、公交车、私家车、其他交通工具所占比例之和为100%，再由直方图具体人数来相减求解．解答：解：（1）频数分布直方图和扇形统计图知：自行车上学的人占30%一共24人，设总人数为x人则，∴，∴x=80；（2）由扇形统计图知：步行占20%，则步行人数为：20%×80=16（人），图形如图；（3）4÷80×360°=18°．（4）由图形知：坐私家车和其他工具上学的人为14人，由（1）知一共80人，∴乘坐公交车上学的人数为：1600÷80×26=520（人）．故答案为80，18°，520．23\n点评：此题考查学生根据图形数据解题的能力，考查了用样本估计总体的方法，学会用概率来解决实际问题． 22．（8分）（2022•如东县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE∥AC，在BG上取点E，连接DE交AC的延长线于点F．（1）求证：DF=EF；（2）如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于点C，AC=2CF，求BE的长．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：（1）连接BD交AC于点O．由平行四边形的性质可知O为BD中点，又因为BG∥AF，进而证明DF=EF．（2）利用直角三角形的性质和三角形中位线性质定理以及平行四边形的性质即可求出BE的长．解答：（1）证明：连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵BG∥AF，∴DF=EF．（2）∵AC⊥DC，∠ADC=60°，AD=2，∴AC=．∵OF是△DBE的中位线，∴BE=2OF．∵OF=OC+CF，∴BE=2OC+2CF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC．∵AC=2CF，23\n∴BE=2AC=．点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理的运用． 23．（8分）（2022•如东县模拟）某工厂大楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=60°，为了防止山体滑坡，保障安全，工厂决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（2）为确保安全，工厂计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米？考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：计算题．分析：（1）已知AB=22，∠BAD=60°利用sin60°可求出BE=AB•sin60°=11；（2）作FG⊥AD，G为垂足，连结FA，则FG=BE利用tan45°求出AG的长11m，利用cos60°求出AE长，让AG减AE即可．解答：解：（1）作BE⊥AD，E为垂足，则BE=AB•sin60°=22sin60°=（m）．（2）作FG⊥AD，G为垂足，连结FA，则FG=BE．∵AG==（m），AE=AB•cos60°=22cos60°=11（m），∴BF=AG﹣AE=（m），即BF至少是（）m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，主要考查分析问题，综合利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力． 23\n24．（8分）（2022•如东县模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．考点：切线的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）直线DE与圆O相切，理由为：连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由OA=OD，根据等边对等角得到一对角相等，等量代换可得出一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行得出OD平行于AE，由∠AED为直角，得到∠ODE为直角，即DE垂直于OD，可得出DE为圆O的切线；（2）法1：过D作DF垂直于AB，交AB于点F，又AE垂直于ED，得到一对直角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，且AD为公共边，利用AAS三角形ADE与三角形ADF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AE=AF，DE=DF，由AF﹣OA求出OF的长，在直角三角形PDF中，由OD及OF的长，利用勾股定理求出DF的长，即为DE的长；法2：连接DB，由AB为圆O的直径，根据直径所对的角为直角得到一个直角，再由AE垂直于ED得到两一个直角，两直角相等，再加上AD为角平分线得到一对角相等，利用两对对应角相等的两数三角形相似可得出三角形AED与三角形ABD相似，由相似得比例，将AE及AB的长代入求出AD的长，在直角三角形ADE中，由AD及AE的长，利用勾股定理即可求出DE的长；法3：过O作OF垂直于AD，根据垂径定理得到F为AD的中点，且得到一个角为直角，再由DE垂直于AE得到另一个角为直角，进而得到两直角相等，再由AD为角平分线得到的一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AED与三角形AOF相似，根据相似得比例，将AE及OA的长代入，得到关于AD的方程，求出方程的解得到AD的长，在直角三角形AED中，由AE及AD的长，利用勾股定理即可求出ED的长．解答：解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，如图所示：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠OAD，∵OA=OD，23\n∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠EAD，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切；（2）法1：如图，作DF⊥AB，垂足为F，∴∠DFA=∠DEA=90°，∵AD为角平分线，∴∠EAD=∠FAD，在△EAD和△FAD中，∵，∴△EAD≌△FAD（AAS），又AE=8，∴AF=AE=8，DF=DE，∵OA=OD=5，∴OF=AF﹣OA=8﹣5=3，在Rt△DOF中，OD=5，OF=3，根据勾股定理得：DF==4，则DE=DF=4；法2：如图，连接DB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∠AED=90°，∴∠ADB=∠AED，又∠EAD=∠DAB，23\n∴△EAD∽△DAB，又AE=8，BA=2OA=10，∴=，即=，解得：DA=4，在Rt△ADE中，AE=8，AD=4，DE==4；法3：如图，作OF⊥AD，垂足为F，∴AF=AD，∠AFO=∠AED=90°，∵∠EAD=∠FAO，∴△EAD∽△FAO，∴=，又AE=8，OA=5，AF=AD，∴=，解得：DA=4，在Rt△ADE中，AE=8，AD=4，根据勾股定理得：DE==4．点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，同时本题第二问利用了三种方法求解，注意运用一题多解的方法解题． 25．（8分）（2022•重庆）将背面完全相同，正面上分别写有数字1，2，3，4的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字做为被减数，将形状、大小完全相同，分别标有数字1，2，3的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；（2）小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．专题：压轴题．分析：游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．解答：解：（1）画树状图如下：23\n（4分）或列表如下：被减数差减数1234101232﹣10123﹣2﹣101（4分）由图（表）知，所有可能出现的结果有12种，其中差为0的有3种，所以这两数的差为0的概率为：；（6分）（2）不公平．（7分）理由如下：由（1）知，所有可能出现的结果有12种，这两数的差为非负数的有9种，其概率为：，这两数的差为负数的概率为：．（9分）因为，所以该游戏不公平．游戏规则修改为：若这两数的差为正数，则小明赢；否则，小华赢．（10分）点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 26．（10分）（2022•如东县模拟）大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒．调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润为1200元？（3）若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于115个，且单件利润不低于4元（x为整数），当每个文具盒定价多少元时，超市每星期利润最高？最高利润是多少？23\n考点：二次函数的应用．分析：（1）根据图象利用待定系数法直接求出函数的解析式即可；（2）根据利润等于每个利润×数量建立方程求出其解就可以了；（3）根据条件先求出售价的取值范围，再表示出利润的解析式，根据函数的性质就可以求出结论．解答：解：（1）设这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式y=kx+b，由题意，得，解得：，则y=﹣10x+300（2）由题意，得（x﹣8）•y=1200，（x﹣8）（﹣10x+300）=1200解得：x1=18，x2=20，答：当定价为18元或20元时，利润为1200元．（3）根据题意得：得：12≤x≤18.5，且x为整数．设每星期所获利润为W元，由题意，得W=（x﹣8）•y=（x﹣8）（﹣10x+300）=﹣10（x2﹣38x+240）=﹣10（x﹣19）2+1210，∵a=﹣10＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴的左边W随x的增大而增大∴当x=18时，W有最大值，W最大=1200．答：每个文具盒的定价是18元时，可获得每星期最高销售利润1200元．点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，总利润=单件利润×数量的运用，抛物线的顶点式的运用及二次函数的解析式的性质的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时根据题意条件建立函数的解析式是关键． 27．（12分）（2022•如东县模拟）以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．23\n①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，= ；②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为 ，最大值为 ．考点：相似形综合题．分析：（1）①连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；②若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由①的思路证明∠EMF=30°即可；（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=﹣2；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+2．解答：解：（1）①连接EF，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF，FM是分别是△ACD和△DBC的中位线，∴EF∥AD，FM∥CB，∵∠ABO=∠DCO=30°，∴∠CDO=60°，∴∠EFC=60°，∠MFD=30°，∴∠EFM=90°，∴△EFM是直角三角形，∵EM∥CD，∴∠EMF=∠MFD=30°，∴cos30°==，故答案为：；②结论：的值不变，证明：连接EF、AD、BC，23\n∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴．∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，∴．∴．∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC．∴△AOD∽△BOC．∴，∠1=∠2．∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，FM∥CB，且，．∴，∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5．∵∠2+∠5+∠6=90°，∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°．∴∠EFM=90°．∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，，∴∠EMF=30°．∴；（2）过O作OE⊥AB于E，∵BO=3，∠ABO=30°，∴AO=3，AB=6，∴AB•OE=OA•OB，∴OE=，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=﹣2；23\n当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+2，∴线段PN长度的最小值为，最大值为．故答案为；．点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、梯形的中位线和性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．23\n 28．（14分）（2022•孝感）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图（2），设抛物线y=a（x﹣m﹣6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E，F点的坐标；（2）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可；（3）由E（m+10，3），A（m，8），代入二次函数解析式得出M点的坐标，再利用△AOB∽△AMG，求出m的值即可．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=CB=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，由折叠对称性：AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，BF===6，∴CF=4，设EF=x，则EC=8﹣x，在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴CE=3，∵B（m，0），∴E（m+10，3），F（m+6，0）；（2）分三种情况讨论：若AO=AF，∵AB⊥OF，∴BO=BF=6，∴m=6，若OF=FA，则m+6=10，解得：m=4，若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，∴（m+6）2=m2+64，23\n解得：m=，∴m=6或4或；（3）由（1）知：E（m+10，3），A（m，8）．∴，得，∴M（m+6，﹣1），设对称轴交AD于G，∴G（m+6，8），∴AG=6，GM=8﹣（﹣1）=9，∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，∴∠OAB=∠MAG，∵∠ABO=∠MGA=90°，∴△AOB∽△AMG，∴=，即：，∴m=12，点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论思想是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．23
