2022年广东省清远市清新区中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1．（3分）（2022•蒙山县一模）2022的倒数是（ ） A．﹣2022B．C．2022D．﹣考点：倒数．分析：根据倒数：乘积是1的两数互为倒数可直接得到答案．解答：解：2022的倒数是，故选：B．点评：此题主要考查了倒数定义，题目比较基础． 2．（3分）（2022•清远模拟）据清新区统计局统计，去年我区人均生产总值为105000元，105000元用科学记数法表示为（ ） A．0.105×106元B．1.05×106元C．10.5×105元D．1.05×105元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于105000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．解答：解：105000=1.05×105．故选D．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 3．（3分）（2022•清远模拟）下列计算中正确的有（ ）个①a6÷a2=a3；②（a3）2=a5；③a3+a3=a6；④；⑤2﹣1=﹣2；⑥（π﹣3）0=1；⑦32=6． A．1B．2C．3D．4考点：同底数幂的除法；有理数的乘方；算术平方根；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂．分析：根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方及积的乘方法则，结合各项进行判断即可．解答：解：①a6÷a2=a4，原式计算错误，故本项错误；②（a3）2=a6，原式计算错误，故本项错误；③a3+a3=2a3，原式计算错误，故本项错误；④，原式计算正确，故本项正确；⑤2﹣1=，原式计算错误，故本项错误；⑥（π﹣3）0=1，原式计算正确，故本项正确；⑦32=9，原式计算错误，故本项错误．综上可得④⑥正确，共两个．故选B．点评：本题考查了同底数幂的乘除法则、幂的乘方及积的乘方法则，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．13\n 4．（3分）（2022•金华）下列四幅图形中，表示两颗圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ） A．B．C．D．考点：平行投影．分析：平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．解答：解：A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；B、影子的方向不相同，错误；C、影子的方向不相同，错误；D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误．故选A．点评：本题考查了平行投影特点． 5．（3分）（2022•清远模拟）如图，该物体的俯视图是（ ） A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：从上面看到的图叫做俯视图，根据图中正方体摆放的位置判定则可．解答：解：从上面看，是横放两个正方体．故选C．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 6．（3分）（2022•清远模拟）如图，若∠A=40°，则∠BOC的度数为（ ） A．20°B．40°C．50°D．80°考点：圆周角定理．专题：探究型．分析：直接根据圆周角定理进行解答即可．解答：解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=40°，∴∠BOC=2∠A=80°．故选D．13\n点评：本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7．（3分）（2022•清远模拟）一次函数y=2x+b的图象过点A（1，3），则该函数图象不经过（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：把A（1，3）代入y=2x+b求出b，根据kb的值得出函数的图象经过第一、二、三象限，即可得出答案．解答：解：把A（1，3）代入y=2x+b得：3=2+b，b=1，即y=2x+1，∵k=2，b=1，∴函数的图象经过第一、二、三象限，即函数的图象不经过第四象限，故选D．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用，主要考查学生的理解能力． 8．（3分）（2022•东营）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（ ） A．50°B．30°C．20°D．15°考点：平行线的性质；三角形的外角性质．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据平行线的性质得到∠2的同位角∠4的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解．解答：解：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°．∴∠3=∠4﹣∠1=50°﹣30°=20°．故选C．点评：本题应用的知识点为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．两直线平行，同位角相等． 9．（3分）（2022•清远模拟）若把多项式x2+px+q分解因式可以分解成（x﹣3）（x+5），则p的值是（ ） A．2B．﹣2C．15D．﹣15考点：因式分解的意义．专题：计算题．分析：根据多项式乘多项式法则计算（x﹣3）（x+5），根据多项式相等的条件即可求出p的值．解答：解：∵x2+px+q=（x﹣3）（x+5）=x2+2x﹣15，∴p=2，q=﹣15．故选A点评：此题考查了因式分解的意义，熟练掌握多项式乘多项式法则是解本题的关键．13\n 10．（3分）（2022•清远模拟）某工厂计划x天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产3件，因此提前2天完成计划，列方程为（ ） A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出分式方程．专题：应用题．分析：关键描述语为：“每天增加生产3件”；等量关系为：原计划的工效=实际的工效﹣3．解答：解：原计划每天能生产零件件，采用新技术后提前两天即（x﹣2）天完成，所以每天能生产件，根据相等关系可列出方程．故选D．点评：找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题4分共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11．（4分）（2022•清远模拟）在平面直角坐标系中，点P、Q关于y轴对称，且P点的坐标是P（﹣3，4），则点Q的坐标是Q（ 3 ， 4 ）．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．解答：解：∵点P、Q关于y轴对称，P点的坐标是P（﹣3，4），∴点Q（3，4）．故答案为：3，4．点评：本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12．（4分）（2022•清远模拟）如图，已知⊙O的半径是2cm，弦AB的长是2cm，则点O到弦AB的距离是 cm．考点：垂径定理；勾股定理．分析：如图，连接OA，过O作弦AB的垂线OF，设垂足为C，在构造的Rt△OAF中，由垂径定理可得AF的长，圆的半径已知，即可由勾股定理求得OF的值，即圆心O到弦AB的距离．解答：解：过圆心O作OF⊥AB于点F，则AF=AB=1cm；Rt△OAF中，AF=1cm，OA=2cm，由勾股定理得：OF===（cm）．13\n即点O到弦AB的距离是cm．故答案是：．点评：本题考查了勾股定理、垂径定理．此题涉及圆中求弦心距的问题，此类在圆中涉及弦长、半径的计算的问题，常把半弦长、半径、圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解． 13．（4分）（2022•清远模拟）有一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形是
八 边形．考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．解答：解：∵一个多边形的每个外角都等于45°，∴多边形的边数为360°÷45°=8．则这个多边形是八边形．故答案为：八．点评：本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°． 14．（4分）（2022•清远模拟）如图点P是双曲线上的一点，过P点分别向x轴，y轴引垂线，得到图中的阴影部分的矩形面积为3，则这个反比例函数的表达式为 y=﹣ ．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：设如图所示是双曲线的解析式为：y=（k＜0），点P的坐标，阴影部分面积等于点P的横纵坐标的积，把相关数值代入即可．解答：解：设如图所示是双曲线的解析式为：y=（k＜0），点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，∴k=xy．∴|k|=|xy|=3，∵k＜0，13\n∴k=﹣3．则该双曲线的解析式为：y=﹣．故答案是：y=﹣．点评：考查反比例函数中的k的意义，用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数；若反比例函数的图象在二、四象限，比例系数应小于0，还应注意若反比例函数只有一个图象的分支，自变量的取值也应只表现一个象限的取值． 15．（4分）（2022•清远模拟）一组数据﹣1，﹣2，0，1，2的方差是 2 ．考点：方差．分析：先算出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]进行计算即可．解答：解：这组数据﹣1，﹣2，0，1，2的平均数是：（﹣1﹣2+0+1+2）÷5=0，则方差是：方差=[（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2；故答案为：2．点评：此题考查了方差，掌握方差公式是解题的关键，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]． 16．（4分）（2022•清远模拟）已知一圆锥的母线长为4cm，其底面半径是2cm，则这个圆锥的侧面积是 8πcm2 ．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥侧面积=底面周长×母线长计算．解答：解：圆锥侧面积=×4×2π×2=8πcm2．故答案为：8πcm2．点评：本题考查圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积表达公式． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）17．（5分）（2022•清远模拟）解不等式组，并把解集在数轴上表示：．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出不等式组的解集．解答：解：由①得：x＜2；由②得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，表示在数轴上，如图所示：13\n点评：此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握取解集的方法是解本题的关键． 18．（5分）（2022•清远模拟）先化简，再求值：（其中x=﹣2）考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，除数分子分母分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，当x=﹣2时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 19．（5分）（2022•清远模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12①作线段BC的垂直平分线，交BC于点D；（用尺规作图，保留作图痕迹）．②求AD的长．考点：作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．分析：（1）根据线段垂直平分线的作法，作图即可；（2）根据等腰三角形的性质可得BC的垂直平分线必过A点，再根据直角三角形的性质可得AB=2AD，然后再利用勾股定理计算出AD即可．解答：解：（1）如图所示：（2）∵AB=AC，∴BC的垂直平分线必过A点，∵AD垂直平分线BC，BC=12，∴BD=6，∵∠B=30°，∴AB=2AD，13\n∵在Rt△ABD中：AB2=AD2+BD2，∴（2AD）2=AD2+62，解得：AD=2．点评：此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，勾股定理，关键是正确画出图形，掌握等腰三角形三线合一的性质． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）20．（8分）（2022•衡阳）在“首届中国西部（银川）房•车生活文化节”期间，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．（1）参加展销的D型号轿车有多少辆？（2）请你将图2的统计图补充完整；（3）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？（4）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率．考点：利用频率估计概率；扇形统计图；条形统计图；概率公式．专题：图表型．分析：（1）先求出D型号轿车所占的百分比，再利用总数1000辆即可求出答案；（2）利用C型号轿车销售的成交率为50%，求出C型号轿车的售出量，补充统计图即可；（3）分别求出各种型号轿车的成交率即可作出判断；（4）先求出已售出轿车的总数，利用售出的A型号车的数量即可求出答案．解答：解：（1）∵1﹣35%﹣20%﹣20%=25%，∴1000×25%=250（辆）．答：参加销展的D型轿车有250辆；（2）如图，1000×20%×50%=100；（3）四种型号轿车的成交率：A：×100%=48%；B：×100%=49%；C：50%；13\nD：×100%=52%∴D种型号的轿车销售情况最好．（4）∵．∴抽到A型号轿车发票的概率为．点评：利用统计图解决问题时，要善于从图中寻找各种信息．当一个事件的频率具有稳定性时，可以用该事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．部分数目=总体数目乘以相应概率． 21．（8分）（2022•铜仁地区）如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据：≈1.732）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题；压轴题．分析：要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点P的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险．解答：解：根据题意，有∠AOC=30°，∠ABC=45°，∠ACB=90°，所以BC=AC，于是在Rt△AOC中，由tan30°=，得，解得AC=≈27.32（海里），因为27.32＞25，所以轮船不会触礁．点评：此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题． 22．（8分）（2022•清远模拟）如图点A是⊙O外的一点，OA交⊙O于点C，已知⊙O的半径是1，OA=2；点B是⊙O上的一点，且AB=，过点B作BD∥OA，交⊙O于点B．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求阴影部分的面积．13\n考点：切线的判定；扇形面积的计算．分析：（1）利用勾股定理推知∠ABO=90°，即AB⊥OB，易证得结论；（2）S阴影=S扇形ODB+S△ABO﹣S△AOD．解答：（1）证明：∵⊙O的半径是1，OA=2，AB=，∴OB2+AB2=OA2=4，∴∠ABO=90°，即AB⊥OB，又∵OB是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）由（1）知，∠ABO=90°．∵OA=2OB，∴∠OAB=30°，∴∠BOA=60°．又∵BD∥OA，∴∠OBD=∠BOA=60°．∵OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠DOB=60°．∴S阴影=S扇形ODB+S△ABO﹣S△AOD=+OB•AB﹣OD•OAsin∠AOD=+×1×﹣×1×2×=．即阴影部分的面积是．点评：本题考查了切线的判定，扇形面积的计算．此题是利用平行线的性质推知等腰△ODB是等边三角形的，另外，解题时还利用了勾股定理推知△ABO是直角三角形． 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2022•清远模拟）已知一次函数y=kx+b和反比例函数在同一平面坐标系内交于A、B两点，且A（﹣6，n），B（3，﹣6）①求m、n的值；②求一次函数的表达式；③直线AB与x轴交于点C，求点C的坐标．13\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式求出m，把A的坐标代入求出的反比例函数的解析式即可求出n；（2）把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；（3）把y=0代入一次函数的解析式，即可求出C的坐标．解答：解：（1）把B（3，﹣6）代入反比例函数的解析式得：m=﹣18，把A（﹣6，n）代入反比例函数的解析式得：n=﹣18÷（﹣6）=3，即m=﹣18，n=3；（2）A的坐标是（﹣6，3），B的坐标（3，﹣6）代入一次函数y=kx+b得：3=﹣6k+b，﹣6=3k+b，解得：k=﹣1，b=﹣3，即一次函数的解析式是y=﹣x﹣3；（3）把y=0代入y=﹣x﹣3得：0=﹣x﹣3，x=﹣3，即点C的坐标是（﹣3，0）．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 24．（9分）（2022•湘潭）Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′C′位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）已知△ABC≌△FCB，根据全等三角形的性质可知AB=CF，AC=BF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论．（2）根据已知利用AAS判定△COQ≌△BOP，根据全等三角形的性质即可得到OP=OQ．（3）根据对角线互相垂直的平行四边形的菱形进行分析即可．解答：（1）证明：∵△ABC≌△FCB，（1分）∴AB=CF，AC=BF．（2分）∴四边形ABFC为平行四边形．（3分）13\n（用其它判定方法也可）（2）解：OP=OQ，（4分）理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，∴△COQ≌△BOP．（6分）∴OQ=OP．（7分）（用平行四边形对称性证明也可）（3）解：90°．理由：∵OP=OQ，OC=OB，∴四边形PCQB为平行四边形，∵BC⊥PQ，∴四边形PCQB为菱形．（8分）点评：此题考查学生对平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，菱形的判定等知识的综合运用． 25．（9分）（2022•清远模拟）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，其顶点为C，已知A、D两点的坐标分别为A（﹣1，0），D（0，3），①求该抛物线的表达式；②△AOD与△BCD是否相似？若相似请加以证明；若不相似，请说明理由．③抛物线上有一动点P，点P在第一象限且在对称轴的右侧，问是否存在这样的点P，使四边形APCD的面积等于4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：①把点A、D的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于b、c的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；②根据二次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标，然后利用两点间的距离公式分别求得BD=3，CD=，BC=2，OA=1，OD=3，AD=．由勾股定理的逆定理推知∠CDB=90°．所以只有△AOD∽△BDC，或△AOD∽△CDB．则利用相似三角形的对应边成比例推知△AOD∽△CDB．解答：解：①如图，∵A、D两点的坐标分别为A（﹣1，0），D（0，3），∴，解得，∴该抛物线的解析式是：y=﹣x2+2x+3；②△AOD与△BCD相似．理由如下：假设△AOD与△BCD相似．如图，连接AD．∵A（﹣1，0），D（0，3），∴OA=1，OD=3，AD=．∵由①知，抛物线的解析式是y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣3）（x+1）；∴A（﹣1，0），B（3，0），对称轴x=1．当x=1时，y=4，即C（1，4）．∴BD=3，CD=，BC=2，13\n∴BC2=BD2+CD2，则∠CDB=90°．又∵∠AOD=90°．∴只有△AOD∽△BDC，或△AOD∽△CDB．当△AOD∽△BDC时，=，而==，==，∴≠，这与=相矛盾，∴△AOD与△BDC不相似；当△AOD∽△CDB时，=，而==，==，∴=，∴△AOD∽△CDB．综上所述，△AOD与△BCD相似．点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等．解答②题时，也可以利用三角函数的定义来证明△AOD与△BCD相似； 13
