2022年山西省晋中市平遥县中考数学调研试卷（5月份）一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填在答题卡上的相应位置）1．（2分）（2022•平遥县模拟）计算﹣3+3的结果是（ ） A．0B．﹣6C．9D．﹣9考点：有理数的加法．分析：根据有理数的加法运算法则计算即可得解．解答：解：∵3与﹣3互为相反数，且互为相反数的两数和为0．∴﹣3+3=0．故选A．点评：本题考查了有理数的加法运算，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． 2．（2分）（2022•平遥县模拟）如图，AB∥CD，∠BAC=120°，则∠C的度数是（ ） A．30°B．60°C．70°D．80°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据两直线平行，同旁内角互补由AB∥CD得到∠A+∠C=180°，然后把∠BAC=120°代入计算即可．解答：解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°而∠BAC=120°，∴∠C=180°﹣120°=60°．故选B．点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 3．（2分）（2022•平遥县模拟）节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350000000用科学记数法表示为（ ） A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×1010考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于350000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．解答：解：350000000=3.5×108．故选B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 4．（2分）（2022•咸宁）下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ ）17\n A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，对各选项判断即可．解答：解：A、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；B、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；C、不是轴对称图形，符合题意，故本选项正确；D、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了轴对称图形的知识，属于基础题，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴． 5．（2分）（2022•平遥县模拟）二次函数y=（x﹣1）2+8的图象的顶点坐标是（ ） A．（﹣1，8）B．（1，8）C．（﹣1，2）D．（1，﹣4）考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式即可得到答案．解答：解：二次函数y=（x﹣1）2+8的图象的顶点坐标为（1，8）．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；顶点式y=a（x﹣﹣）2+，对称轴为直线x=﹣b2a；顶点坐标为（﹣﹣，）． 6．（2分）（2022•铜仁地区）不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（ ） A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集．分析：根据“向右大于，向左小于，空心不包括端点，实心包括端点”的原则将数轴上不等式的解集写出来，再判断答案．解答：解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的线且﹣1处是空心圆，表示x＞﹣1；从2出发向左画出的线且2处是实心圆，表示x≤2；不等式组的解集是：．17\n故选B．点评：不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7．（2分）（2022•平遥县模拟）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形（阴影部分）的概率是，则大、小两个正方形的边长之比是（ ） A．3：1B．8：1C．9：1D．2：1考点：几何概率．分析：根据针扎到小正方形（阴影部分）的概率是，求出小正方形与大正方形的面积之比，再根据相似多边形面积之比等于相似比的平方即可求出答案．解答：解：∵针扎到小正方形（阴影部分）的概率是，∴=，∴大、小两个正方形的边长之比是3：1；故选A．点评：此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，相似多边形面积之比等于相似比的平方． 8．（2分）（2022•平遥县模拟）如果相切两圆的半径分别为2cm和3cm，那么两圆的圆心距是（ ） A．1cmB．5cmC．3cmD．1cm或5cm考点：圆与圆的位置关系．分析：已知两圆的半径，分两种情况：①当两圆外切时；②当两圆内切时；即可求得两圆的圆心距．解答：解：∵两圆半径分别为2cm和3cm∴当两圆外切时，圆心距为2+3=5cm；当两圆内切时，圆心距为3﹣2=1cm．故选D．点评：本题考查了两圆相切的性质，以及两圆的半径与圆心距的关系，注意有两种情况． 9．（2分）（2022•平遥县模拟）有一种公益叫“光盘”．所谓“光盘”，就是吃光你盘子中的食物，杜绝“舌尖上的浪费”．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，根据各班级参加该活动的总人次折线统计图，下列说法正确的是（ ）17\n A．极差是40B．中位数是58C．平均数大于58D．众数是5考点：折线统计图；算术平均数；中位数；众数；极差．分析：根据极差的定义，平均数、中位数、众数的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、极差是80﹣45=35，故本选项错误；B、按照从小到大的顺序排列如下：45、50、58、59、62、80，第3、4两个数分别是58、59，所以，中位数是58.5，故本选项错误；C、平均数=（50+80+59+45+58+62）=×354=59＞58，故本选项正确；D、6个数据均是出现一次，所以众数是45、50、58、59、62、80，故本选项错误．故选C．点评：本题考查折线统计图的运用，主要涉及极差、平均数、中位数、众数的定义，熟记概念并根据折线统计图准确获取数据是解题的关键． 10．（2分）（2022•平遥县模拟）小明的父母出去散步．从家走了20分钟到一个离家900本的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间的关系是（ ） A．④②B．①②C．①③D．④③考点：函数的图象．分析：由于小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，所以表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象在20分钟的两边一样，由此即可确定表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象；而父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，由此即可确定表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象．解答：解：∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②；∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④．则表示父亲、母亲离家距离与时间的关系是④②．17\n故选A．点评：此题考查了函数的图象，是一个信息题目，主要利用图象信息找到所需要的数量关系，然后利用这些关系即可确定图象． 11．（2分）（2022•长春）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则k的值为（ ） A．2B．3C．4D．6考点：反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．专题：压轴题．分析：由旋转可得点D的坐标为（3，2），那么可得到点C的坐标为（3，1），那么k等于点C的横纵坐标的积．解答：解：易得OB=1，AB=2，∴AD=2，∴点D的坐标为（3，2），∴点C的坐标为（3，1），∴k=3×1=3．故选B．点评：解决本题的关键是利用旋转的性质得到在反比例函数上的点C的坐标． 12．（2分）（2022•平遥县模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①abc＞0；②a+b+c＞0；③4a﹣2x+c＞0；④当x＞1时，y随着x的增大而增大．正确的说法个数是（ ） A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上即可求出a、b、c的正负，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断②；把x=﹣2代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．17\n解答：解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上，∴a＞0，﹣＞0，c＜0，即b＜0，∴abc＞0，∴①正确；根据图象可知抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），∴当x=1时，y＜0∴当x=1时a+b+c＜0，∴②错误；把x=﹣2代入抛物线得：4a﹣2b+c＞0，∴③正确；对称轴是直线x=1，根据图象当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∴正确的个数有3个．故选C．点评：本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案写在答题卡横线上）13．（3分）（2022•鞍山）分解因式：m2﹣10m= m（m﹣10） ．考点：因式分解-提公因式法．分析：直接提取公因式m即可．解答：解：m2﹣10m=m（m﹣10），故答案为：m（m﹣10）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是找准公因式． 14．（3分）（2022•鞍山）若方程组，则3（x+y）﹣（3x﹣5y）的值是 24 ．考点：解二元一次方程组．专题：整体思想．分析：把（x+y）、（3x﹣5y）分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．解答：解：∵，∴3（x+y）﹣（3x﹣5y）=3×7﹣（﹣3）=21+3=24．故答案为：24．点评：本题考查了解二元一次方程组，计算时不要盲目求解，利用整体思想代入计算更加简单． 17\n15．（3分）（2022•青岛）生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为 10000 只．考点：用样本估计总体．专题：计算题．分析：由题意可知：重新捕获500只，其中带标记的有5只，可以知道，在样本中，有标记的占到．而在总体中，有标记的共有100只，根据比例即可解答．解答：解：100=10000只．故答案为：10000．点评：本题考查了用样本估计总体的知识，体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息． 16．（3分）（2022•厦门）已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 18π cm2．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．解答：解：∵圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，∴圆锥的侧面积为π×3×6=18πcm2．故答案为18π．点评：考查圆锥的计算；掌握圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键． 17．（3分）（2022•平遥县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC=4，BC=2．则sin∠ABD= ．考点：垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．专题：探究型．分析：连接AD，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理可求出AB的长，由垂径定理可知=，故BC=BD，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ABD，故可得出∠ABC=∠ABD，故sin∠ABD=sin∠ABC=．解答：解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，17\n∵AC=4，BC=2，∴AB===2，∵CD⊥AB，∴=，∴BC=BD，∵在Rt△ABC与Rt△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（HL），∴∠ABC=∠ABD，∴sin∠ABD=sin∠ABC===．故答案为：．点评：本题考查的是垂径定理及圆周角定理，根据题意作出辅助线．构造出直角三角形是解答此题的关键． 18．（3分）（2022•平遥县模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A坐标为（2，0）．过A作AA1⊥OB，垂足为A1；过A1作A1A2⊥x轴，垂足为A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为A4…；这样一直作下去，则A2022的纵坐标为 ．考点：规律型：点的坐标．分析：根据锐角三角函数关系得出A1A2，A2A3…的长，进而得出各点的纵坐标关系，进而得出规律求出答案．解答：解：过A作AA1⊥OB，垂足为A1；过A1作A1A2⊥x轴，过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为A4…∵∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），∴A1A=AO=1，∴A1A2=A1A×cos30°=，∴A2A3=A1A2×cos30°=×，17\n…则A2022的纵坐标A2022A2022=（）2022．故答案为：（）2022．点评：此题主要考查了点的坐标规律，根据已知得出点A纵坐标变化规律是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（2022•平遥县模拟）（1）计算：（）﹣1（2）已知a2+2a=﹣1，求2a（a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值．考点：整式的混合运算—化简求值；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值化简，第二项利用负数的绝对值等于它的相反数化简，第三项化为最简二次根式，最后一项利用负指数幂法则计算，即可得到结果；（2）原式第一项利用单项式乘多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式代入计算即可求出值．解答：（1）解：原式=2×+3﹣2﹣3=+3﹣2﹣3=﹣；（2）解：原式=2a2+2a﹣a2+4=a2+2a+4，∵a2+2a=﹣1，∴原式=﹣1+4=3．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及实数的运算，涉及的知识有：单项式乘多项式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 20．（8分）（2022•平遥县模拟）一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：设江水流速为v千米/时，则顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速﹣水流速．根据顺流航行100千米所用时间，与逆流航行60千米所用时间相等，列方程求解．解答：解：设江水流速为v千米/时，由题意得，解得v=5，经检验v=5是方程的解．答：江水流速为5千米/时．点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．此题中涉及的公式：顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速﹣水流速，时间=路程÷速度． 21．（6分）（2022•温州）如图，在方格纸中的三个顶点及A、B、C、D、E五个点都在小方格的顶点上．现以A、B、C、D、E中的三个点为顶点画三角形．17\n（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等考点：作图—复杂作图；全等图形．分析：（1）过A作AE∥PQ，过E作EB∥PR，再顺次连接A、E、B，此题答案不唯一，符合要求即可；（2）△PQR面积是：×QR×PQ=6，连接BA，BA长为3，再连接AD、BD，三角形的面积也是6，但是两个三角形不全等．解答：解：（1）如图所示：；（2）如图所示：．点评：此题主要考查了作图，关键是掌握全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；三角形面积的计算公式：S=×底×高． 22．（10分）（2022•河南）为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如右的调查问卷（单选）．在随机调查了奉市全部5000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图：17\n根据以上信息解答下列问题：（1）补全条形统计图，并计算扇形统计图中m= 20 ；（2）该市支持选项B的司机大约有多少人？（3）若要从该市支持选项B的司机中随机选择100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被选中的概率是多少？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．专题：压轴题．分析：（1）先算出C组里的人数，根据条形图B的人数，和扇形图B所占的百分比求出总人数，然后减去其他4组的人数，求出C的人数．（2）全市所以司机的人数×支持选项B的人数的百分比可求出结果．（3）根据（2）算出的支持B的人数，以及随机选择100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则可算出支持该选项的司机小李被选中的概率是多少．解答：解：（1）69÷23%﹣60﹣69﹣36﹣45=90（人）．C选项的频数为90，m%=60÷（69÷23%）=20%．所以m=20；（2分）（2）支持选项B的人数大约为：5000×23%=1150．（6分）（3）∵总人数=5000×23%=1150人，∴小李被选中的概率是：=．（9分）点评：本题考查认知条形统计图和扇形统计图的能力，条形统计图告诉每组里面的具体数据，扇形统计图告诉部分占整体的百分比以及概率等概念从而可求出解． 23．（8分）（2022•平遥县模拟）如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AB=3，AD：BD=1：2，求CD的长．17\n考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AO=BO，CO=DO，然后根据同角的余角相等求出∠AOC=∠BOD，再利用“边角边”证明△AOC和△BOD全等；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAO=∠B=45°，全等三角形对应边相等可得AC=BD，然后求出∠CAD=90°，再求出AD、BD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：（1）证明：∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∴AO=BO，CO=DO，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠AOD=∠COD=90°，∠BOD+∠AOD=∠AOB=90°，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD；（2）解：∵△AOC≌△BOD，∴∠CAO=∠B=45°，AC=BD，∴∠CAD=∠CAO+∠BAO=45°+45°=90°，∵AB=3，AD：BD=1：2，∴AD=3×=1，BD=3×=2，在Rt△ACD中，CD===．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，比较简单，熟练掌握等腰直角三角形的性质，得到三角形全等的条件是解题的关键． 24．（10分）（2022•包头）为了鼓励城市周边的农民的种菜的积极性，某公司计划新建A，B两种温室80栋，将其中售给农民种菜．该公司建设温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元．且所筹资金全部用于新建温室．两种温室的成本和出售价如下表：A型B型成本（万元/栋）2.52.8出售价（万元/栋）3.13.5（1）这两种温室有几种设计方案？（2）根据市场调查，每栋A型温室的售价不会改变，每栋B型温室的售价可降低m万元（0.1＜m＜0.7）且所建的两种温室可全部售出．为了减轻菜农负担，试问采用什么方案建设温室可使利润最少．考点：一次函数的应用．专题：应用题．分析：17\n（1）根据“该公司建设温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元”，列出不等式进行求解，确定建温室方案；（2）利润W可以用含a的代数式表示出来，对m进行分类讨论．解答：解：（1）设A种户型的温室建x栋，则B种户型的温室建（80﹣x）栋．由题意知209.6≤2.5x+2.8（80﹣x）≤210.2解得46≤x≤48∵x取非负整数，∴x为46，47，48．∴有三种建房方案：方案一：A种温室的住房建46栋，B种温室的住房建34栋，方案二：A种温室的住房建47栋，B种温室的住房建33栋，方案三：A种温室的住房建48栋，B种温室的住房建32栋；（2）由题意知W=0.6x+（0.7﹣m）（80﹣x）=（m﹣0.1）x+56﹣80m，∵m＞0.1，∴m﹣0.1＞0，∴w随x的增大而增大，∴当0.1＜m＜0.7时，x取最小值46时，W最小，即A型建46栋，B型建34栋．点评：本题主要考查不等式在现实生活中的应用，是一个函数与不等式相结合的问题．在运算过程中要注意对m进行分类讨论． 25．（12分）（2022•平遥县模拟）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），tan∠ACO=2．一次函数y=kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y=的图象经过点B．（1）求一次函数和反比例函数的关系式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集；（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，并求出点M的坐标和AM+BM的最小值．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）在Rt△AOC中求出AC的长度，然后求出sin∠CAO的值，过点B作BF⊥x轴于点F，由∠BCF=∠CAO，可求出BF，继而得出FC，从而求得点B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系式；（2）不等式的含义为：当x＜0时，求出一次函数值y=kx+b小于反比例函数y=的x的取值范围，结合图形即可直接写出答案．17\n（3）根据轴对称的性质，找到点A关于x的对称点A'，连接BA'，则BA'与x轴的交点即为点M的位置，求出直线BA'的解析式，可得出点M的坐标，根据B、A'的坐标可求出AM+BM的最小值．解答：解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F，在Rt△AOC中，AC==，则sin∠CAO==，∵∠BCA=90°，∴∠BCF+∠ACO=90°，又∵∠CAO+∠ACO=90°，∴∠BCF=∠CAO，∴sin∠BCF=sin∠CAO==，∴BF=1，∴CF==2，∴点B的坐标为（﹣3，1），将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1=，解得：k=﹣3，故可得反比例函数解析式为y=﹣；将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：，解得：．故可得一次函数解析式为y=﹣x﹣．（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为：﹣3＜x＜0；（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′与x轴的交点即为点M，17\n设直线BA'的解析式为y=ax+b，将点A'及点B的坐标代入可得：，解得：．故直线BA'的解析式为y=﹣x﹣2，令y=0，可得﹣x﹣2=0，解得：x=﹣2，故点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM=BM+MA′=BA′==3．综上可得：点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为3．点评：本题考查了反比例函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及一次函数与反比例函数的交点问题，综合考察的知识点较多，注意培养自己解综合题的能力，将所学知识融会贯通． 26．（14分）（2022•平遥县模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．17\n考点：二次函数综合题．分析：（1）首先利用勾股定理求出AB的长，再利用在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=（4﹣m）2，求出m的值，进而得出O，A，B的坐标，再利用交点式求出抛物线解析式即可；（2）首先求出AB解析式，表示出P，M坐标，进而得出关于PM的解析式，即可得出二次函数最值；（3）①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．②当AO为平行四边形的边时，分别得出E点坐标即可．解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=3，tan∠BAC=，∴AC=4．∴AB=．设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，∴AH=AB﹣BH=2，OA=4﹣m．∴在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=（4﹣m）2，得m=．∴OC=，OA=AC﹣OC=，∴O（0，0）A（，0），B（﹣，3）．设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x﹣）．把x=，y=3代入解析式，得a=．∴y=x（x﹣）=．即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：解之得：，∴直线AB的解析式为y=．设动点P（t，），则M（t，）．∴d=（）﹣（）=﹣=∴当t=时，d有最大值，最大值为2．（3）设抛物线y=的顶点为D．17\n∵y==，∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，﹣）．根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．②当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或E（﹣，）．所以在抛物线上存在三个点：E1（，﹣），E2（，），E3（﹣，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式和平行四边形的性质等知识，得出A，B点的坐标是解题关键． 17
