27.点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，两圆的位置关系一、选择题_D_A_B_O_C1.（2022年武汉市一模，8,3）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是()A.75°B.95°C.105°D.115°【答案】.C2.（2022年武汉市一模，10,3）.如图2，在△ABC中，分别以AB、BC为直径的⊙、⊙交于AC上一点D，且⊙经过点，AB、D的延长线交于点E，且BE=BD.则下列结论不正确的的是()A.AB=ACB.∠BE=2∠EC.AB=BED.E=BE【答案】D3.（2022年武汉市二模，8,3）8．如图1，AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，则∠C+∠D+∠E的度数是()A.90°B.120°C.105°D.150°【答案】B4.(2022年杭州市一模，5,3）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=75o，∠C=45o，那么sin∠AEB的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D_O_D_C_B_A5.（2022北京市一模，10，3）如图，已知的半径为5，锐角△ABC内接于，BD⊥AC于点D，AB=8,则的值等于（）A．B．C．D．【答案】D\n6.（2022北京市四模，8，3）8、如图，是圆O的直径，，弦，ＦＯＫＭＧＥＨＮ则，两点到直线距离的和等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】B7.（2022北京市五模，9，3）如图，是⊙O直径，，则（）A．B．C．D．DBOAC【答案】.B8.（2022北京市二模，5，3）已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（▲）A.内切B.相交C.外切D.外离【答案】D9.（2022安次区一模，8，2）．一个钢管放在V形架内，图3是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25Cm，∠MPN=60°，则OP的长为A．50CmB．25CmC．CmD．50Cm【答案】AABCDEFO（第6题）10．（2022杭州上城一模，6，3）如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为（）A.4B.3C.5D.7【答案】D11.（2022·兰州市二模，2，4）半径为4和8的两圆相内切，则圆心距为（ ）\nA.4 B.8 C.12 D.16【答案】A12.（2022·兰州市二模，13，4）如图3所示，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°，弧AD＝弧CD，则∠DAC的度数为（ ）A·OBCD A.30° B.35° C.45° D.70°【答案】BBCAO13.（2022·兰州市三模，5，4）如图,点A、B、C在上,AO∥BC,∠OBC=40°，则∠ACB的度数是……………………（ ）A、10°B、20°C、30°D、40°【答案】B第8题图14.（2022·兰州市三模，8，4）.如图,是在纸上剪下的一个圆形和一个扇形的纸片,若它们恰好能围成一个圆锥模型,圆的半径为,扇形的半径为R,扇形的圆心角等于90°,则与R之间的关系是………………………（ ）A、B、C、D、【答案】D15.（2022·山东省潍坊市中考模拟，8，3）如图,在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x－与⊙O的位置关系是A.相离B.相交C．相切D．以上三种情形都有可能\n【答案】C16.（2022·山东省潍坊市中考模拟，9，3）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD,AB=4,OD=6,则BC的长为A.B.C.D.【答案】C17.（2022·山东省潍坊市中考模拟，12，3）12.如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.图中阴影部分的面积是A.4πB.πC.D.【答案】D18.（2022齐齐哈尔中考数学一模，4,3）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是____________cm2．、【答案】2π19.（2022·2022齐齐哈尔中考数学一模，14，3）．如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP:OB＝3:5，则CD的长为（）A．6cmB．4cmC．8cmD．cm【答案】C20．如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=50°，则∠C的度数是【】A．20°B．25°C．30°D．50°\nABDCO【答案】B21.（2022·广西省桂林市一模，11，3）．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）． （A）6.5米 （B）9米 （C）13米 （D）15米【答案】A22.（2022·广西省桂林市一模，9，3）如图3，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（）厘米．（A）（B）（C）（D）【答案】BOAB23.（2022·河北省中考二模，7，2）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）A．2cmB．cmC．cmD．cm[网ZXXK]【答案】COAB24.（2022·河北省张家港市二中一模，6，3）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA=30°，则OB的长为（）A．B．4C．D．2【答案】B25.（2022·河北省张家港市二中一模，8，3）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为cm2，设圆锥的母线与高的夹角为（如图所示），则的值为（）A．B．C．D．【答案】B26.（2022·安徽省淮北市五校联考，7，4）如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的上，若OA=1，∠1=∠2，则扇形OEF的面积为（）A．B．C．D．【答案】C\n27.（2022·安徽省淮北市五校联考，10，4）如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（）A． B．C．D．【答案】C28.（2022·宁波市七中月考，11，3）已知如图：⊙O的半径为8cm，把弧AmB沿AB折叠使弧AmB经过圆心O，再把弧AOB沿CD折叠，使弧COD经过AB的中点E，则折线CD的长为（）A．8cmB.8cmC.2cmD.4cm【答案】D29.（2022·宁波市七中月考，9，3）如图，△ABC中，内切圆O和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，则以下四个结论中，错误的结论是（）A．点O是△DEF的外心B．∠AFE=（∠ABC+∠ACB）C．∠BOC=90°+∠AD．∠DFE=90°－∠ABC【答案】D30．（2022·常州市中考模拟，9，2）如图，直线与轴、轴分别相交于OxyBAP两点，圆心的坐标为，圆与轴相切于点．若将圆沿轴向左移动，当圆与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是()A．2B.3C.4D.5【答案】B.31.（2022·河南省中考最新数学模拟，6，3）．圆锥的轴截面是一个以圆锥的底面直径为底边，圆锥的母线为腰的等腰三角形，若圆锥的底面直径=4cm，母线=6cm，则由点出发，经过圆锥的侧面到达母线的最短路程是【】A．cm B．6cmC．cmD．cm【答案】C32.（2022·大庆市六十三中模拟，6，3）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm\n，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是(A)40°(B)80°(C)120°(D)150°【答案】C33.（2022·大庆市六十三中模拟，9，3）AOBCDE如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）①AD⊥BC，②∠EDA＝∠B，③OA＝AC，④DE是⊙O的切线．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D34.（2022·杭州市中考一模，9，3）如图，圆内接四边形ABCD是由四个全等的等腰梯形组成，AD是⊙O的直径，则∠BEC的度数为（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B35.（2022·杭州市中考二模，7，3）一个圆锥，它的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（ ）A.60°B.90°C.120°D.180°【答案】D36.（2022·杭州市中考二模，10，3）如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是（）AGBHCFDEA．6B．8C．9.6D．10【答案】C37.（2022·××省××市X模，5，3）．如图2所示，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB的长为()A．4B．4\nC．2D．2【答案】B38.（2022·××省××市X模，7，3）已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面积是()A．24πB．12πC．6πD．12【答案】B39.（2022山东省菏泽市中考模拟，6，3）已知如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一个动点，则OP长的取值范围为（ ）A.OP＜5B.8＜OP＜10C.3＜OP＜5D.3≤OP≤5【答案】D40．（2022·安徽省马鞍山市成功学校模拟，10，3）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD＝（）A．B．C．D．【答案】C41.（2022·黄冈市中考模拟A，14，3）14.如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E、F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）CDEFABOxy44A．Oxy44B．Oxy44C．Oxy44D．【答案】C42.（2022·山东省青州市九年级模拟，12，3）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，ABB’此时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（）A、6pB、5pC、4pD、3p。【答案】A\nOBA43.（2022·盐城市初三摸底考试，7，3）如图，已知⊙O的半径为5，点到弦的距离为3，则⊙O上到弦所在直线的距离为2的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C44.（2022·河北省石家庄市毕业班质量检测，10，3）如图，圆锥的侧面展开图的面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面半径与母线的比为（）A、1:9B、9:1C、1:3D、3:1【答案】C45.（2022·荆州市中考模拟，5，3）一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）．A．B．C．D．【答案】C46.（2022·北京市四中九年级月考，3，4）(18届江苏初三)如图，⊙C过原点，与轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA＝30°，点D的坐标为(0，2)，则⊙C半径是()A．B．C．D．2【答案】B47.（2022·北京市四中九年级月考，4，4）下列说法正确的个数有()(1)如图(a)，可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径；(2)如图(b)，可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形；(3)如图(c)，两次使用丁字尺(CD所在直线垂直平分线段AB)可以找到圆形工件的圆心；(4)如图(d)，测倾器零刻度线和铅垂线的夹角，就是从点看点时仰角的度数．\nA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D48.（2022·湖北省枝江市十校联考，8，3）已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值满足（）A．B．C．D．卷【答案】D49.（2022·河北省石家庄市一模，9，2）如图，的正切值为（）．A．B．C．3D．21122331【答案】A50．（2022·上海市杨浦区模拟，6，4）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DE∥BC，且AD=2CD，则以D为圆心DC为半径的⊙D和以E为圆心EB为半径的⊙E的位置关系是（）（A）外离；（B）外切；（C）相交；（D）不能确定．ABCED【答案】C51.（2022·上海市闵行区质量调研，6，4）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5，⊙O1上一点A与⊙O2的圆心O2的距离等于6，那么下列关于⊙O1和⊙O2的位置关系的结论一定错误的是（A）两圆外切；（B）两圆内切；（C）两圆相交；（D）两圆外离.【答案】B二、填空题1.（2022年武汉市一模，15，3）15.如图5，已知正六边形的边长为lcm，分别以它\n的三个不相邻的顶点为圆心，lcm长为半径画弧，则所得到的三条弧的长度之和为____cm(结果保留)．【答案】.22.（2022年杭州市一模，12,4）（第12题图）12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数的图象，则阴影部分的面积是 ．【答案】3.（2022北京市三模，12，5）.如图、是的两条弦，=30°，过点的切线与的延长线交于点，则的度数为．BCDA【答案】30°4.（2022北京市四模，24，4）.．如图，⊙O的直径EF为10cm，弦AB、CD分别为6cm、8cm，且AB∥EF∥CD．则图中阴影部分面积之和为（）．【答案】5.（2022北京市四模，25，4）、如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝________．【答案】20\nABODC6.（2022北京市五模，13，4）13、如图，⊙O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是⊙O的半径且，垂足为D，则CD=__________cm.【答案】.27.xCDABOO2O1－22y（2022北京市五模，14，4）、如图，半径为2的两圆均与轴相切于点，反比例函数（）的图像与两圆分别交于点，则图中阴影部分的面积是．【答案】28.（2022北京市五模，25，4）、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则弦AD的长是。．【答案】5cm9.（2022海南省模拟，17，3）一个扇形的弧长为，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ．【答案】210．（2022·兰州市二模，14，3）.如图,在△ABC中,AB=8㎝,BC=4㎝,∠ABC=30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的处,那么AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是_________________________.（结果保留）CBA【答案】.\nACBPO11.（2022·东宅中学一模，13，4）如图，PA\PC是⊙的切线，点A、C切点，AB是⊙的直径，=20°，则度.【答案】40°ADBOC12.（2022·东宅中学一模，14，4）14．如图，AB是⊙O的弦，AB=8cm，⊙O的半径5cm，半径OC⊥AB于点D，则OD的长是___________【答案】3cmA13.（2022·河北省中考二模，14，3）.如图，当半径为18cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移距离约为cm（结果保留一位小数）．【答案】37.7APBO14.．（2022·山东省曲阜市实验中学一模，22，3）如图，，切⊙O于，两点，若，⊙O的半径为，则阴影部分的面积为．【答案】OACBD图15.（2022·重庆市下学期月考，13，4）如图，A、D是⊙上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是°．【答案】29\nAB光线16.（2022·宁波市七中月考，16，4）如图是置于水平地面上的一个球形储油罐，小亮想测量它的半径，在阳光下，他测得球的影子的最远点A到球罐与地面的接触点B的距离是10米（如图，AB=10米）；同一时刻，他又测得身长1米的弟弟的影子长为2.4米，那么球的半径是米．17.（2022·镇江市外国语学校模，6，2）两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm.那么这两圆的位置关系是.若两圆相切，圆心距是【答案】相交；1cm或7cm18.（2022·镇江市外国语学校模，7，2）一个扇形的圆心角为60°，半径是10cm，则这个扇形的弧长是_________cm，若将该扇形围成圆锥的侧面，圆锥的半径是__________．【答案】;19.（2022·江苏省常州市模，16，2）如图，在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC=cm,∠ABD=°。【答案】8，45020．（2022·江苏省常州市模模，17，2）已知扇形的半径为6cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是cm2,扇形的圆心角为°。【答案】3π，300ADBOC（第14题图）21.（2022·泰顺七中学业考试模拟，14，5）如图，AB是⊙O的弦，AB=8cm，⊙O的半径5cm，半径OC⊥AB于点D，则OD的长是cm．【答案】322.（2022·河南省中考最新数学模拟，12，3）12．如图，点、在以为直径的半圆上，，若=2，则弦的长为________________．\n【答案】23.（2022·河南省中考最新数学模拟，15，3）如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径、交于点，半径、交于点，且点是的中点，若扇形的半径为2，则图中阴影部分的面积等于____________________．【答案】ABCDEFGHH24．（2022·福州市中考模拟，13，4）如图所示，圆锥的母线长OA=8，底面的半径r=2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是.【答案】825（2022·杭州市中考一模，14，4）．在⊙0中，半径R=5，AB、CD是两条平行弦，且AB=8，CD=6，则弦AC=_________．【答案】,5,726（2022·杭州市中考一模，16，4）已知在直角ABC中，∠C=900，AC=8㎝，BC=6㎝，则⊿ABC的外接圆半径长为_________㎝，⊿ABC的内切圆半径长为_________㎝，⊿ABC的外心与内心之间的距离为_________㎝。【答案】5，2，27.（2022·杭州市中考二模，12，4）12.如图，已知OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB＝40°，则∠OBD＝度.【答案】50ABCDEO28.（2022·杭州市中考二模，15，4）15.如图，在半圆O中，直径AE=10，四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上，点D在直径AE上，连接CE，若AD=8，则CE长为．【答案】\n29．（2022·河南省中考二模，15，3）15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别交于点D、E，则线段DE长度的最小值是__________．ACBPED【答案】ABCO·DE30.（2022·河南省中考二模，11，3）如图，在以为直径的半圆中，是弦的中点，延长交半圆于点，若=2，=1，则的度数是_____________．【答案】30°ABCD31.（2022·河南省中考二模，15，3）如图，点C在以AB为直径的半圆弧上，∠ABC=30°，沿直线CB将半圆折叠，直径AB和弧BC交于点D，已知AB=6，则图中阴影部分的面积和周长分别等于________________．【答案】32.（2022·黄冈市中考模拟，8，3）如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=，高BC=，求这个零件的表面积（结果保留）.【答案】33.（2022·宁夏贺兰一中，15，3）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图16所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是______m.【答案】234.（2022·宁夏贺兰一中，16，3）如图，已知∠AOB=30，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M.若点M在OB边上运动，则当OM=cm时，⊙M与OA相切.【答案】4\n35.（2022·宁夏贺兰一中，17，3）如图是小明制作的一个圆锥形纸帽的示意图.围成这个纸帽的纸的面积为cm2(π取3.14)【答案】188236.（2022·北京市101中月考，13，4）．3.如图，五边形ABCDE是正五边形，曲线EFGHIJ…叫做“正五边形ABCDE的渐开线”，其中弧EF、FG、GH、HI、IJ、…的圆心依次按A、B、C、D、E循环，它们依次相连接．如果AB＝1，那么曲线EFGHIJ的长度为．（结果保留π）【答案】6π37.（2022·湖北省天门市麻洋中学二模，12，3）将半径为5的圆(如图1)剪去一个圆心角为n°的扇形后围成如图2所示的圆锥则n的值等于【答案】38.(2022·湖北省黄冈模拟A，10，3)已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是_________．OOOOl【答案】39．（2022·湖北省中考预测一,15，3）．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A＋∠B＋∠C＝__________度．【答案】90\n40.（2022·娄底市学业考试，16，4）如图，在半径为R的⊙O中，弦AB的长与半径R相等，C是优弧上一点，则∠ACB的度数是_______．ABCO●【答案】3041.（2022·娄底市学业考试，17，4）如果圆锥的底面周长为20πcm，侧面展开后所得的扇形的圆心角是120º，则该圆锥的侧面积是___________cm2．（结果保留π）www.zk5u.com中考资源网【答案】300πBOCOAO120°8cm42.（2022·荆州市中考模拟，15，3）如图，将一个半径为8㎝，圆心角为1200的扇形薄铁皮AOB卷成圆锥AOC的侧面（接缝无重叠，无缝隙），O/为圆锥的底面圆心，则O/A=cm．【答案】43.（2022·上海市浦东新区中考数学预测，16，4）．已知⊙O的直径为6cm，点A在直线l上，且AO=3cm，那么直线l与⊙O的位置关系是【答案】相交或相切44.（2022·普陀区初三质量调研，18，4）如图，直角△中，，，的圆心为，如果图中两个阴影部分的面积相等，那么的长是.（结果保留)【答案】45.（2022·上海市静安区质量调研，17，4）已知⊙与⊙两圆内含，，⊙的半径为5，那么⊙的半径的取值范围是 ．【答案】\n三、解答题1.(2022年武汉市一模>如图9，⊙0是ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，DE⊥BC于E，AF⊥BC(2)作OG⊥BC于G，若DE=BF=3，OG=1，求弦AC的长．【答案】(1)证明：延长DE交⊙0于B，连接AH、BH.则四边形AHEF为矩形，∴AF=EH,AH／／EF,∴∠HAB=∠ABC,∴BH=AC，∴Rt△BEH≌Rt△CFA，．∴BE=CF;2(2)解：连接CD，连接FO并延长交DE于P点．则AFO≌△DPO,∴AF=DP，OF=OP，∴OG=PE,∴PE=2,∴AF=DP=1∵DE=BF=CE,∴∠BCD=45°又∠ACD=90°,:.∠ACB=45°.∴AC=2.（2022年武汉市一模,25,12）如图，在平面直角坐标系中，以点M(-l，0)为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=-x-与⊙M相切于点h，交x轴于点E，交y轴于点F.(1)求⊙M的半径；(2)如图2，弦HQ交x轴于点P，且PD：PH=4：，求点P的坐标；\n(3)如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点G，连接AG.过点M作MN⊥x轴交BK于N．是否存在这样的点K，使得AG=MK?若存在，请求出GN的长；若不存在，请说明理由．【答案】解:(1)OE=5,OF=，∴EF=∴∠OEF=30°,∴HM=EM=2即⊙M的半径为2；⑵作HT⊥OC于T，连接CH、MH，由(1)知△CMH为正三角形，∴CT=1,TH=．设PD=4x，PH=x．∵TH2+TP2=PH2，∴3+(3-4x)2=7x2,∴=2(舍)，=（3)假设存在，则有AG=MK.作直径AR交BK于S，连接GR.\n则△AGR≌△KMN，∴GR=MN.则△CRS≌△MNS，于是GN=MR=2．3.（2022年杭州市一模，22,10）阅读材料并解答问题：与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积．（结果可用三角函数表示）OBACr图①如图①，当时，设切圆O于点，连结，，，，．在中，，，．(1)如图②，当时，仿照（1）中的方法和过程可求得：；（2）如图③，当时，仿照（1）中的方法和过程求；（3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出．OBACr图②OBACr图③OBACr图④【答案】解：（1）．2分（2）如图③，当时，设切于点，连结，，，OBACr图③，，\n，，，．7分（3）．10分4.（2022北京市一模，22，10）如图所示，AB是直径，OD⊥弦BC于点F，且交于点E，且∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求的面积．第【答案】1）直线和相切．……………………1分证明：连接BE,∵AB是直径，∴∠AEB=900．∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC∴∠ABC=∠ODB．∵OD⊥弦BC于点F∴∠ODB+∠ODB．即．∴直线BD和相切．……………………………………4分（2）连接．∵AB是直径，∴∠AEB=900．在中，，∴．∵直径AB=10，∴OB=5BC=8.∵OF⊥BC∴BF=4OF=3由三角形相似得DF=∴S=………………………5分（若用其他方法酬情给分）5.（2022北京市三模，23，12）OADEMCBN如图，的直径和是它的两条切线，切于E，交AM于D，交BN于C．设．（1）求证：；（2）求关于的关系式；\n（3）求四边形的面积S，并证明：．【答案】证明：（1）∵AB是直径，AM、BN是切线，∴，∴．OADEMCBNF解：（2）过点D作于F，则．由（1），∴四边形为矩形.∴，．∵DE、DA，CE、CB都是切线，∴根据切线长定理，得，．在中，，∴，化简，得．（3）由（1）、（2）得，四边形的面积，即．∵，当且仅当时，等号成立．∴，即．6.（2022北京市四模，27，10）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，C是弧AB的中点，连结BC并延长与AD的延长线相交与点P，BE⊥DC，垂足为E，DF∥EB，交AB与点F，FH⊥BD，垂足为H，BC=4，CP=3.求（1）BD和DH的长，（2）BE·BF的值。PCEBOHFDA\n【答案】(1)(2)BE·BF7.（2022北京市四模，28，12）如图所示，在平面直角坐标系中，以点M（2，3）为圆心，5为半径的圆交轴于A，B两点，过点M作轴的垂线，垂足为D；过点B作⊙M的切线，与直线MD交于N点。（1）求点B、点N的坐标以及直线BN的解析式；(2)求过A、N、B、三点（对称轴与轴平行）的抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线与轴交于点P，以点D，Ｂ，Ｐ三点为顶点作平行四边形，请你求出第四个顶点Ｑ的坐标，并判断Ｑ是否在（２）中的抛物线上ＡＤＯＢＭＮxy【答案】1、B（-2，0）；N（2，直线BN：2、3、在抛物线上8.（2022北京市五模，27，10）．如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．\n（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）点是AB的中点，交于点，若，求MN·MC的值．ONBPCAM【答案】解：（1），ONBPCAM又，．又是的直径，，，即，而是的半径，是的切线．（3分）（2），，又，．（6分）（3）连接，点是AB的中点，AM=BM，，而，，而，，，∴MN·MC=BM2，又是的直径，AM=BM，．，∴MN·MC=BM2=8（10分）9.（2022北京市五模，28，12）、如图（1），在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．\n（4）如图（2），若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积._y_（1）_y_x_O_E_D_C_B_A_O_A_C_D_（2）10【答案】证明:(1)连结AC∵AB为直径,∠ACB=900.∵,且AB是直径∴AB⊥CD即CE是Rt△ABC的高∴∠A=∠ECB,∠ACE=∠EBC∵CE是⊙O的切线∴∠FCB=∠A,CF2=FG·FB∴∠FCB=∠ECB∵∠BFC=∠CEB=900,CB=CB∴△BCF≌△BCE∴CE=CF,∠FBC=∠CBE∴CE2=FG·FB(2)∵∠CBF=∠CBE,∠CBE=∠ACE∴∠ACE=∠CBF∴tan∠CBF=tan∠ACE=∵AE=3,∴CE=6在Rt△ABC中,CE是高∴CE2=AE·EB,即62=3EB,∴EB=12∴⊙O的直径为:12+3=15.\n（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）…1分将A、B、C三点的坐标代入得解得：所以这个二次函数的表达式为：方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）设该表达式为：将C点的坐标代入得：所以这个二次函数的表达式为：（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：∴E点的坐标为（－3，0）由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F，坐标为（2，－3）方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：∴E点的坐标为（－3，0）∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合∴存在点F，坐标为（2，－3）（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得…………6分②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则N（r+1，－r），代入抛物线的表达式，解得………7分∴圆的半径为或．……………7分（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，\n易得G（2，－3），直线AG为．……………8分设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．当时，△APG的面积最大此时P点的坐标为，．10．（2022北京市二模，21，8）如图，CD为⊙O的直径，点A在⊙O上，过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点F。已知∠F＝30°。⑴求∠C的度数；⑵若点B在⊙O上，AB⊥CD，垂足为E，AB＝，求图中阴影部分的面积.【答案】解：连结OA，∵AF切⊙O于点A，∴∠OAF＝90°.……（1分）∵∠F＝30°，∴∠AOD＝60°.……（1分）∵OA＝OC，∴∠C＝∠CAO＝30°.……（2分）⑵∵AB⊥直径CD，AB＝，∴AE＝，……（1分）∴在Rt△OAE中，OE＝2，OA＝4.……（1分）∴S扇形AOD=，SΔAOE=0.5×2×=.……（1分）∴S阴影=S扇形AOD－SΔAOE=－……（1分）11.（2022安次区一模，20，8）如图9，的半径为2，直径经过弦的中点，∠ADC=75°．\n（1）填空：＝____________；（2）求的长．【答案】解：12.（2022安次区一模，23，10）阅读材料：如图23—1，的周长为，面积为S,内切圆的半径为，探究与S、之间的关系．连结，，又，，∴∴解决问题：（1）利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），如图23—2且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）若一个边形（为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．\n【答案】（1），三角形为直角三角形……………2分面积，……………4分（2）设四边形内切圆的圆心为，连结，则，……………8分（3）……………10分13.（2022年武汉市二模，20,7）20.(本题满分7分)如图6，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，∠ACB的平分线交AB于点D，以D为圆心的⊙O与AC相切于点D．(1)求证:⊙0与BC相切；(2)当AC=2时，求⊙O的半径，【答案】(1)证明略；(2)解：由(1)知BC与00相切，设BC与00切于点E，连接OD.OE，∵D、E为切点，∴OD⊥AC,OE⊥BC,OD=OE,SABC=SAOC+SBOC=∴AC·BC=AC·OD+BC·OE∵AC+BC=8,AC=2,∴BC=6,∴×2×6=×2×OD+×6×OE,而OD=OE．∴OD=，即⊙O的半径为．14.（2022年武汉市二模，22,8）本题满分8分）已知：如图8，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，AE是△ABC的边BC上的高，DF⊥BC，F为垂足．(1)求证：BF=EC;\n(2)若C点是AD的中点，且DF=3AE=3，求BC的长．【答案】(1)证明：过0作OH⊥BC于N，BH=CH，∵AE⊥BC,DF⊥BC,OH⊥BC,∴AE//OH//DF、而OA=OD,∴OH是梯形AEFD的中位线，则EH=FH,∴BE=CF,∴BF=EC;(2)解：连DC，则△ACD是等腰直角三角形，∵∠ABE=∠ADC=45°,∴AE=BE=l,∴△AEC≌△DFC,∴EC=DF=3,∴BC=2.15.（2022年武汉市二模，25,12）如图10，已知A、B两点的坐标分别为（2，O）、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，(1)求点P的坐标；(2)连BP、AP，在PB上任取一点E，连AE，将线段AE绕A点顺时针旋转90°到AF，连BF，交AP于点G，当E在线段BP上运动时，（不与B、P重合），求；(3)点Q是弧AP上一动点，（不与A.P重合）连用PQ.AQ,BQ，求\n【答案】(1)（+l，+1）；(2)过F作FK⊥AP,则△AFK≌△EAP∴AK=PE,FK=AP=BP,再证明△GFK≌△CBP,∴PG=GK=BE,∴=2;(3)、16.（2022·杭州市上城一模，18，6）AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线.【答案】本题每小题3分，共6分）(1)证明:连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，……1分又∵BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，……………1分∴AB=AC……………1分\n(2)连接OD，∵点O、D分别是AB、BC的中点，∴OD∥AC又DE⊥AC，∴OD⊥DE……………2分∴DE为⊙O的切线.……………1分17.（2022·兰州市二模，20，8）O·NBPAM如图5所示，已知⊙O的直径为4cm，M是弧的中点，从M作弦MN，且MN＝cm，MN交AB于点P，求∠APM的度数.【答案】连结OM交AB于点E，∵M是弧的中点，∴OM⊥AB于E，…………….2分过点O作OF⊥MN于F，O·NBPAM图5由垂径定理得：，…………….4分在Rt△OFM中，OM=2，，∴cos∠OMF=，……………6分∴∠OMF=300，∴∠APM=600…………8分18.（2022·兰州市三模，23，8）如图,已知的直径AB垂直弦CD于点E,过C点作CG∥AD交AB延长线于点G,连结CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AB=4,求CD的长.第23题图GCOFEDBA\n【答案】.（1）略；（2）连结AC,可得CE；从而CD=2CE=.19.（2022·兰州市四模，18，6）18．（本小题6分）是⊙O的直径，切⊙O于，交⊙O于，连．若，求的度数．ABCPO【答案】（本小题6分）切⊙O于是⊙O的直径，∴．，∴．∴．20．（2022·兰州市一模，25，12）、已知：如图，抛物线的顶点C在以D（―2，―2）为圆心，4为半径的圆上，且经过⊙D与轴的两个交点A、B，连结AC、BC、OC。（1）求点C的坐标；（2）求图中阴影部分的面积；（3）在抛物线上是否存在点P，使DP所在直线平分线段OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）如图，作CH⊥轴，垂足为H，∵直线CH为抛物线对称轴，∴H为AB的中点。…1分∴CH必经过圆心D（―2，―2）。∵DC=4，∴CH=6\n∴C点的坐标为（―2，―6）。…4分（2）连结AD，在Rt△ADH中，AD=4，DH=2，∴，。。。6分∴∴∴阴影部分的面积。。。。。。。8分（3）又∵，H点坐标为（―2，0），H为AB的中点，∴A点坐标为（―2―2，0），B点坐标为（，0）。………9分又∵抛物线顶点C的坐标为（―2，―6），设抛物线解析式为∵B（，0）在抛物线上，∴，解得。∴抛物线的解析式为…………………………10分设OC的中点为E，过E作EF⊥轴，垂足为F，连结DE，∵CH⊥轴，EF⊥轴，∴CH∥EF∵E为OC的中点，∴。即点E的坐标为（―1，―3）。设直线DE的解析式为，∴，解得，∴直线DE的解析式为。……………11分若存在P点满足已知条件，则P点必在直线DE和抛物线上。设点P的坐标为（，），∴，即点P坐标为（，），∴，解这个方程，得，∴点P的坐标为（0，－4）和（－6，2）。……12分21.（2022·广西省桂林市一模，25，10）如图所示，以RtΔABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D,E为BC边上的中点，连接DE.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值。【答案】（1）连接OD、BD∵ΔBDC是RtΔ,且E为BC中点。∴∠EDB=∠EBD.……………2分\n又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°∴∠EDB+∠ODB=90°∴DE是⊙O的切线；…………4分（2）∵∠EDO=∠B=90°,若要AOED是平行四边形，则DE∥AB,D为AC中点。又∵BD⊥AC,∴ΔABC为等腰直角三角形。∴∠CAB=45°.…………6分过E作EH⊥AC于H.设BC=2k，则EH=………8分∴sin∠CAE=…………22.（2022·山东省曲阜市实验中学一模，29，10）29．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：BC＝CD；（2）求证：∠ADE＝∠ABD；（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．【答案】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴OB⊥BC．.∵OB是⊙O的半径，∴CB为⊙O的切线．.又∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD；.（2）∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°．∴∠ADE＋∠CDB＝90°．.又∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°．.由（1）得BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD．∴∠ADE＝∠ABD；.（3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．∴△ADE∽△ABD．.∴＝．.∴＝，∴BE＝3，.∴所求⊙O的直径长为3．.\n23.（2022·安徽省淮北市五校联考，20，10）已知：如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝cm..（1）求圆心O到弦MN的距离;（2）求∠ACM的度数.【答案】、解：（1）连结OM.∵点M是弧AB的中点，∴OM⊥AB过点O作OD⊥MN于点D，………2分由垂径定理，得MD＝MN＝2.………4分在Rt△ODM中，OM＝4，MD＝2，∴OD＝＝2故圆心O到弦MN的距离为2cm.………6分（2）cos∠OMD＝，………8分∴∠OMD＝30°，∴∠ACM＝60°………10分24.（2022·镇江市外国语学校模，23，6）(第23题)如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.(1)求证：；(2)请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.【答案】（1）证明：∵为直径，，∴.∴.（2）答：，，三点在以为圆心，以为半径的圆上.理由：由（1）知：，∴.∵，，，∴.∴.由（1）知：.∴.∴，，三点在以为圆心，以为半径的圆上.25.（2022·泰顺七中学业考试模拟，21，10）⊙┄―――――――――――――┄┄┄┄密┄┄┄封┄┄┄装┄┄┄订┄┄┄线┄┄┄内┄┄┄不┄┄┄要┄┄┄答┄┄┄题┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄⊙\n如图，AB是⊙O的直径，弦BC=9，∠BOC=50°，OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长．（2）求劣弧AC的长(结果精确到0．1)．【答案】（1）∵OE⊥AC，OE为直径的一部分∴AE=EC（2分）又∵AO=BO∴（2分）（2）∵∠COB=50°∴∠AOC=130°（1分）∵AO=CO，OE⊥AC∴∠AOE=∠AOC=65°（2分）∴∴AO=（1分）∴（2分）26.（2022·河南省中考最新数学模拟，22，10）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴交于点，与轴交于点，的平分线交轴于点，点在线段上，以为直径的⊙D经过点．OxyBCA·DE⑴判断⊙D与轴的位置关系，并说明理由；⑵求点的坐标．\n【答案】⑴相切，连结，，所以，所以；⑵易得．设，，则解直角三角形得．因为，则．．．所以．27.（2022·大庆市六十三中模拟，，24，7）yxDCBOA如图，在平面直角坐标系内，为原点，点的坐标为经过两点作半径为的交轴的负半轴于点（1）求点的坐标；（2）过点作的切线交轴于点求直线的解析式．【答案】解：（1）是直径，且1分在中，由勾股定理可得2分点的坐标为3分（2）是的切线，是的半径即又5分6分的坐标为7分设直线的解析式为\n则有8分9分直线的解析式为28.（2022·福州市中考模拟，19，11）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E．（1）求证：；（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．【答案】(1)连接BD，∵AB为直径，∠ABC=90°，∴BE切⊙O于点B，因为DE切⊙O于点D，所以DE=BE，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE=∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴.(2)因为DE=2，，所以BC=4，在Rt△ABC中，tanC=，所以AB=BC·=2，在Rt△ABC中，AC===6，又因为△ABD∽△ACB，所以，即，所以AD=.29.（2022·广东省中考模拟，15，6）ABDCO·如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．\n【答案】解：∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴BC==8(cm).－－－－－－－2分又CD平方∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=45°,又∠ACD=∠ABD,∠DAB=∠DCB∴∠DAB=∠ABD=45°∴AD=BD=(cm)－－－－－6分30．（2022·杭州市中考模拟，20，8）如图，为⊙O的直径，，交于，，．（1）求证：．（2）求AB长．【答案】（1）证明：，，，．------------2分又，． 2分（2）∵△∽△ ∴1分∴---------1分∴--------------------2分31.（2022·杭州市中考一模，23，10）如图，在平面直角坐标系中，直线L：y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P。（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与X轴的位置关系，并说明理由；（2）当K为何值时，以⊙P与直线L的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？\n【答案】（１）由直线L的解析式可知A（-4，0），B（0，-8）设OP=X，则BP=8-X，AP=8-X由勾股定理得X2+42=（8-X）2解得X=3---------------2分∴OP=R=3∴⊙P与X轴相切--------------2分（2）分两种情况讨论：①当圆心P在线段OB上由⊿AOB∽⊿PEB得把AO=4，AB=4，PE=代入比例式得PB=--------------------2分∴OP=8－∴K=－8-----1分②当圆心P在线段OB的延长线上时：由⊿AOB∽⊿PEB同样可得PB=∴OP=8＋∴K=－－8（2分）∴当K=－8或－－8时，以⊙P与直线L的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。--------------1分\n32.（2022·湖北省黄冈模拟A，20，6）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直径，AE⊥CD交CD延长线于点E.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若AE=2，CD=3，求⊙O的直径.【答案】（1）略（2）直径AB＝533.（2022·启东中学二模，27，9）如图所示，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．(1)求弦AB的长．(2)判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由．(3)记△ABC的面积为S，若，求△ABC的周长．【答案】（1）AB=（2）∠ACB是定值，∠ACB=60°（3）△ABC的周长=34.（2022。启东中学四模，23，8）如图所示，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．(1)直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由．(2)若OB＝BG＝2，求CD的长．\n【答案】（1）直线FC与⊙O相切（2）35.（2022·北京市101中月考，22，6）如图，以BC为直径的半圆中，O为圆心，A是弦BD延长线上的一点，切线DE与AC相交于E，点E为AC的中点.（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若BD:AD=16:9，DE=3，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连结DC、OD.………………………………………………1分∵BC为直径，∴∠BDC=90°.∵DE切⊙O于D，∴∠ODE=90°.∴∠1=∠5.∵OD=OB，∴∠2=∠5.∴∠1=∠2.……………………………………………………2分∵A、D、B在同一条直线上，∴∠ADC=90°.∵点E为AC的中点，∴DE=EC=AC.∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∵∠2+∠4=90°，∴∠3+∠4==90°，即∠ACB=90°，∴AC为⊙的切线.……………………………………………3分（2）解：∵BD:AD=16:9，∴设BD=16x，AD=9x.∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，∴.解得DC=12x（舍去负值）.……………………………………………………………4分∵OD=OB，∴∠3=∠5.∴∠1=∠2=∠3=∠5.∴ΔBOD∽ΔCED.……………………………………………………………………………5分∴.即.∴OD=4.∴⊙的半径长为4.………………………………………………………………………6分\n36.（2022·湖北省天门市麻洋中学一模，21，7）如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长；（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为.【答案】证明:（1）略（2）在，（3）37.（2022·山东省青州市中考模拟，22，10）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE.(1)DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；(2)若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。【答案】解：（1）DE与半圆O相切.证明：连结OD、BD∵AB是半圆O的直径∴∠BDA=∠BDC=90°∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点∴DE=BE∴∠EBD＝∠BDE∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB又∵∠ABC＝∠OBD+∠EBD＝90°\n∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE与半圆O相切.、、、、、、、、4分（2）解：∵在Rt△ABC中，BD⊥AC∴Rt△ABD∽Rt△ABC∴=即AB2=AD·AC∴AC=∵AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根∴解方程x2－10x+24=0得：x 1=4x2=6、、、、、、8分∵AD<AB∴AD=4AB=6∴AC=9在Rt△ABC中，AB=6AC=9∴BC===3、、、、、、、、、10分38.（2022·山东省青州市中考模拟，24，9）如下图（图甲）平面直角坐标系中，直线（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．且点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．（1）求k的值；（2）若b=4，点P为直线上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．【答案】解：⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3分②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，\n∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，∴OD＝PD＝，OP=.∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，∵∠PFO=90°，OF2＋PF2＝PO2，∴m2＋(－m＋4)2＝（）2，解得m=1或3，∴P的坐标为（1，3）或（3，1）、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、9分39.（2022·山东省青州市中考模拟，25，12）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.\n【答案】（1）解：设抛物线为.∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.∴抛物线为.……………………………3分(2)答：与⊙相交.…………………………………………………………………4分证明：当时，，.∴为（2，0），为（6，0）.∴.设⊙与相切于点，连接，则.∵，∴.又∵，∴.∴∽.∴.∴.∴.…………………………6分∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.……………………………………………7分(3)解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为、m.………………………………………8分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.∴.∵,∴当时，的面积最大为.此时，坐标为（3，）.………………………………………12分40．（2022·深圳市初中学业考试，22，10）如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；\n（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；M（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1） …1.5分A（—1，0）B（3，0）C（0，3）…1.5分（2）y=x+3，证明AD=CN，AD∥CN可得…3分（3）假设存在，设PE=m，则PM=4—m过点P作PF⊥DM于点F，则PF=PA=（∵∠M=45度）…2分∴解得m=∴存在，P点的坐标为（1，）…2分41.（2022·珠海市香洲区中考模拟，19，7）19.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC.(1)若B=30°，AB=2，求CD的长；(2)求证：AE2=EB·EC.【答案】(1)解：∵AB是⊙O的直径，∠B＝30°，AB＝2∴∠ACB=90°,AC=AB=1,∠CAB=60°……2分∵弦CD⊥AB∴CM=AC·sin∠CAB=,CM=DM……3分∴CD=2CM=……4分\n(2)证明：∵AE切⊙O于点A∴∠EAB=90°……5分∵∠ECA=90°,∠E=∠E∴△ACE∽△BAE……6分∴∴AE2＝EB·EC……7分（其它解法可参照给分）42.（2022·荆州市中考模拟，22，10）如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.【答案】解:如图(1)连接OD. ∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2. 又∵OA=OD，∴∠1=∠3. ∴∠2=∠3. ∴OD∥AE. ∵DE⊥AE， ∴DE⊥OD. 而D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线. (2)过D作DG⊥AB于G. ∵DE⊥AE，∠1=∠2.∴DG=DE=3，半径OD=5.在Rt△ODG中，根据勾股定理:OG＝＝＝4，∴AG=AO+OG=5+4=9. ∵FB是⊙O的切线，AB是直径， ∴FB⊥AB.而DG⊥AB， ∴DG∥FB. △ADG∽△AFB，∴ ∴.∴BF=.43.（2022·北京市四中九年级月考，15，5）如图，点M，N分别是、的中点，且MN交AB于D，交AC于E．求证：△ADE是等腰三角形．【答案】．连结OM、ON，∵点M，N分别是、的中点，∴OM⊥AB，ON⊥AC∴∠M＋∠BDM＝∠N＋∠CEN＝90°，∵OM＝ON，∴∠M＝∠N，∴∠BDM＝∠CEN∴∠ADE＝∠AED∴⊿ADE是等腰三角形.\n44.（2022·北京市四中九年级月考，16，5）．如图，点P在的直径BA的延长线上，AB＝2PA，PC切于点C，连结BC．(1)求的正弦值；(2)若的半径r＝2cm，求BC的长度．【答案】解：(1)连结OC，因为PC切于点C，(或：在)(2)连结AC，由AB是直径45.（2022·北京市四中九年级月考，20，7）如图1，在平面直角坐标系中，⊙P交y轴于A(0，9)，B(0，1)，与x轴相切于C．(1)写出⊙P的半径和P点坐标_________；_______________；(2)如图2，作直径EF∥x轴交⊙P于E，F，交y轴于点D，B'与B关于x轴对称，连结B'F交⊙P于H.①求FH的长；②点Q是线段EF上一动点，直接写出QB＋QH的取值范围_________________.图1图2【答案】(1)⊙的半径为5，点坐标为；(2)①过点作于点．由题意，得，∴．∵，∴．∵，\n∴．∴．∴．②.46.（2022·湖北省枝江市十校联考，21，8）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使，为什么?（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．【答案】解：（1）连接OC，∵PC=PF，OA=OC，∴∠PCA=∠PFC，∠ACO=∠OAC，又∵∠PFC=∠AFH，∴∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH∵DE⊥AB∴∠AHF=90°∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°而点C在⊙O上∴PC是⊙O的切线．………………………………2分（2）点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下：连结AE∵点D是劣弧AC的中点∴∠DAF=∠DEA∵∠ADE=∠ADE∴△DAF∽△DEA∴AD：ED=FD：AD∴AD2=DE•DF．………………………………5分（3）连接OD交AC于G．∵OH=1，AH=2，∴OA=3=OD易求：DH=，DA=．∵∠DOA=∠AOD\n点D是劣弧AC的中点∴∠OGA=∠OHD=90°∵OA=OD∴△OGA≌△OHD∴AG=DH∴AC=．………………………………8分（用其他方法可灵活处理）47.（2022·上海市卢湾区学业模拟，22，10）已知：如图，是的直径，是上一点，CD⊥AB，垂足为点，是的中点，与相交于点，8cm，cm.（1）求的长；（2）求的值.【答案】解：（1）∵是的中点，∴，又是半径，……………（1分）∴，，………………………………………………………（2分）∵8cm，∴cm，…………………………………………………（1分）在Rt中，，……………………………………………（1分）又∵cm，∴，解得，∴cm.……（1分）（2）∵，∴，……………………………………（1分）∵CD⊥AB，∴，…………………………………………………（1分）∴，∴，…………………………………………（1分）∵，∴.…………………………………………（1分）OCDABE48.（2022·上海市浦东新区中考数学预测，21，10）如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．【答案】解：连结OC．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴．………………………（2分）∵AB=10cm，∴AO=BO=CO=5cm．……………………………………………（1分）\n∵BE=OE，∴cm，cm．………………………………（1分）在Rt△COE中，∵CD⊥AB，∴．∴cm．…………………………………………………………………（2分）∴cm．…………………………………………………………………（1分）同理可得cm，cm．………………………………………（2分）∴△ACD的周长为cm．……………………………………………………（1分）49.（2022·上海市普陀区初三质量调研，24，12）第(1)小题4分，第(2)小题4分、第(3)小题4分）如图8，在平面直角坐标系xOy中，半径为的与x轴交于、两点，且点C在x轴的上方．（1）求圆心C的坐标；（2）已知一个二次函数的图像经过点、B、C，求这二次函数的解析式；（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.【答案】解：（1）联结AC，过点C作，垂直为H，由垂径定理得：AH=＝2，…………………………………（1分）则OH＝1．…………………………………………………………（1分）由勾股定理得：CH＝4．…………………………………………（1分）又点C在x轴的上方，∴点C的坐标为．………………（1分）\n（2）设二次函数的解析式为由题意，得解这个方程组，得………………………………………（3分）∴这二次函数的解析式为y=－x2+2x＋3．………………………………（1分）（3）点M的坐标为…………………………………………………（2分）或或……………………………（2分）50．（2022·河北省石家庄市一模，25，12）如图，⊙O的半径为6cm，射线PM与⊙O相切于点C，且PC=16cm．（1）请你作出图中线段PC的垂直平分线EF，垂足为Q，并求出QO的长；（2）在（1）的基础上画出射线QO，分别交⊙O于点A、B，将直线EF沿射线QM方向以5cm/s的速度平移（平移过程中直线EF始终保持与PM垂直），设平移时间·CPMO为t．当t为何值时，直线EF与⊙O相切？（3）直接写出t为何值时，直线EF与⊙O无公共点？t为何值时，·直线EF与⊙O有两个公共点？【答案】解：（1）１０；（2）或； （３）当０＜ｔ＜或ｔ＞时，直线EF与⊙O无公共点， 当＜ｔ＜时，直线EF与⊙O有两个公共点．51．（2022·上海市静安区质量调研，25，14）（第（1）小题满分6分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分3分）如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90º，点C是AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=，BD=．（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；\nBDCAO（1）如果⊙与⊙O相交于点A、C，且⊙与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙的半径；是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．解：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，………………………………………（1分）∴AE=，OE=．…………………………（1分）∵∠DEO=∠AOB=90º，∴∠D=90º–∠EOD=∠AOE,∴△ODE∽△AOE.………（1分）∴,∵OD=,∴．………………………………（1分）∴关于的函数解析式为：．……………………………（1分）定义域为：．………………………………………………………（1分）（2）当BD=OB时，，．…………………………………（1分）∴．……………………………………………………………………………（2分）∴AE=，OE=．当点在线段OE上时，，．…………………………………………（1分）当点在线段EO的延长线上时，，．…………………………………………（1分）的半径为或．（3）存在，当点C为AB的中点时，△DCB∽△DOC．…………………………………（1分）证明如下：∵当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45º，\n又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=，∴∠DCB=180º–∠OCA–∠OCB=45º．…………………………………………（1分）∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．………………………（1分）∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．52（2022·上海市杨浦区质量调研，25，14）（第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知半径为6的⊙O1与半径为4的⊙O2相交于点P、Q，且∠O1PO2=120°，点A为⊙O1上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O2交于点B，直线O1A与直线O2B交于点M。（1）如图1，求∠AMB的度数；（2）当点A在⊙O1上运动时，是否存在∠AMB的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AMB的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AMB的度数同于（1）中结论；（3）当点A在⊙O1上运动时，若△APO1与△BPO2相似，求线段AB的长。图2PO1O2QPO1O2图1ABMQPO1O2Q备用图解：（1）∵A、P都在⊙O1上，∴∠A=∠APO1，------------------------------------1分同理，∠B=∠BPO2，-----------------------------------------------------------------1分∵AB是直线，∠O1PO2=120°，∴∠APO1+∠O1PO2+∠BPO2=180°∴∠APO1+∠BPO2=60°，即∠A+∠B=60°，---------------------------------1分∴∠O1MO2=180°－60°=120°---------------------------------------------------1分(2)存在，--------------------------------------------------------------------------------1分APBO1O2M如图所示，------------------------------------2分∵A、P都在⊙O1上，∴∠A=∠APO1，同理，∠PBO2=∠BPO2，∴∠APO1+∠BPO2=120°\n∵∠M+∠A=∠PBM=180°－∠BPO2∴∠M=180°－∠BPO2－∠A=180°－∠BPO2－∠APO1=180°－120°=60°------------------2分ABO1O2PQ(3)∵△APO1与△BPO2相似，且△APO1与△BPO2都是等腰三角形，∴底角∠APO1=∠BPO2，---------1分情况一：当P在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=30°，作O1H⊥AB，O2D⊥AB，∴AP=2HP，BP=2PD∵O1P=6，O,2P=4，∴HP=，DP=∴AB=----------------------------------------------2分情况一：当P不在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=60°，∴PA=O1A=6，PB=O2B=4，∴AB=2----------2分53（2022·上海市闵行区质量调研，21，10）ABCO已知：如图，BC是⊙O的弦，点A在⊙O上，AB=AC=10，．求：（1）弦BC的长；（2）∠OBC的正切的值．解：（1）联结AO，AO的延长线与弦BC相交于点D．在⊙O中，∵AB=AC，∴．…………………………（1分）又∵AD经过圆心O，∴AD⊥BC，BC=2BD．…………………（1分）在Rt△ABD中，AB=10，，∴．………………………………（2分）于是，由勾股定理得．∴BC=12．……………………………………………………………（1分）（2）设⊙O的半径OB=r．在⊙O中，由OA=OB=r，得OD=8–r．在Rt△OBD中，利用勾股定理，得，即得．………………………………………………（2分）解得．∴．………………………………………（1分）∴．…………………………………………………（1分）\n∴．………………………………………（1分）
