抛物线中的点动与成形如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．41(4)补充：在（3）的条件下，点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形，若能，求出相应Q的坐标。7\n直角坐标系XOY中，将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B（-3,0）及y轴上的C点。若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点，（点A在点B的右侧），且过点C。（1）求直线BC及抛物线解析式（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求p点坐标如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC交抛物线对称轴交于点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限.①当线段PQ=3AB/4时，求tan∠CED的值；②当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答.7\n直角坐标系XOY中，半径2√5的⊙C与x轴交于A（-1，0），B（3，0）且点C在X轴上方。（1）求圆心C的坐标。（Xc=1,c(1,4)）（2）已知一个二次函数的图像过A、B、C三点。求解析式.(y=-(x+1)(x-3))（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M坐标。7\n26、（2022•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（﹣1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；（2）由直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x2﹣2x﹣3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），点D的坐标为（1，﹣4）由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得；②过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3），可得m2﹣2m﹣2=5/2，即可求得点P的坐标，又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3），可得n2﹣2n﹣2=﹣15/4，求得点P的坐标，则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标．解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴错误！未找到引用源。，解得：b=﹣2，c=﹣3；（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴直线AB的解析式为：y=x+1，∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣3/2）2+25/4，∴当t=错误！未找到引用源。时，EF的最大值为25/4，∴点E坐标（3/2，5/2）；（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．可求出点F的坐标（3/2，-15/4），点D的坐标为（1，﹣4）S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。×（4﹣错误！未找到引用源。）+错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。×（错误！未找到引用源。﹣1）=错误！未找到引用源。；②如图：ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）则有：m2﹣2m﹣2=错误！未找到引用源。，解得：m1=错误！未找到引用源。，m2=错误！未找到引用源。，7\n∴P1（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），P2（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）则有：n2﹣2n﹣2=﹣15/4，解得：n1=1/2，n2=3/2（与点F重合，舍去），∴P3（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），综上所述：所有点P的坐标：P1（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），P2（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），P3（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．23、（2022河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；41（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．(4)补充：在（3）的条件下，点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形，若能，求出相应Q的坐标。-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(2022上海奉贤区P34)直角坐标系XOY中，将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B（-3,0）及y轴上的C点。若抛物y=-x27\n+bx+c与x轴交于A点B点，（点A在点B的右侧），且过点C。（1）求直线BC及抛物线解析式（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求p点坐标-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------25.（沈阳市2022年p36）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC交抛物线对称轴交于点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限.①当线段PQ=3AB/4时，求tan∠CED的值；②当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.-BAOCD11x=1xyEFPQG25．⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴∴b=－2．∵抛物线与y轴交于点C（0，－3），∴c=－3，∴抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．⑵∵抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x2－2x－3=0．∴x1=－1,x2=3.∵A点在B点左侧，∴A（－1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，－3）的直线的函数表达式为y=kx＋m，则，∴∴直线BC函数表达式为y=x－3．⑶①∵AB=4，PO=AB，∴PO=3∵PO⊥y轴∴PO∥x轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为，∴P（，）∴F（0，），∴FC=3－OF=3－=．∵PO垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE－CG=－1=．7\n在Rt△EGD中，tan∠CED=．②P1（1－，－2），P2（1－，）．直角坐标系XOY中，半径2√5的⊙C与x轴交于A（-1，0），B（3，0）且点C在X轴上方。求圆心C的坐标。（Xc=1,c(1,4)）（1）已知一个二次函数的图像过A、B、C三点。求解析式.(y=-(x+1)(x-3))（2）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M坐标。7
