抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。例1、抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,，⑴求二次函数的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；⑶平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．1解、解：（1）将代入，得．将，代入，得．∵是对称轴，∴．将（2）代入（1）得，．二次函数得解析式是．（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．∵点的坐标为，点的坐标为，∴直线的解析式是，又对称轴为，∴点的坐标．（3）设、，所求圆的半径为r，则，.(1)∵对称轴为，∴．.(2)由（1）、（2）得：．.(3)将代入解析式，得，.(4)整理得：．由于r=±y，当时，，解得，，（舍去），当时，，解得，，（舍去）．所以圆的半径是或．15\n例2、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。⑴试用含a的代数式表示b；⑵设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；⑶设点B是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线经过O、A两点解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线经过O、A两点∴抛物线的对称轴为直线（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO又由（1）知抛物线的解析式为∴点D的坐标为（）①当时，如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'∴点D'与点D也关于x轴对称∵点O在⊙D'上，且OD与⊙D'相切∴点O为切点∴D'O⊥OD∴∠DOA＝∠D'OA＝45°∴△ADO为等腰直角三角形∴点D的纵坐标为∴抛物线的解析式为②当时，同理可得：抛物线的解析式为综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得设点P的坐标为（x，y），且y＞0①当点P在抛物线上时（如图2）∵点B是⊙D的优弧上的一点过点P作PE⊥x轴于点E由解得：15\n（舍去）∴点P的坐标为②当点P在抛物线上时（如图3）同理可得，由解得：（舍去）∴点P的坐标为综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为或例3、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。⑴求圆心的坐标；⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数y＝－x的图象上，求抛物线的解析式；⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在⑵中的抛物线上；⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。解：（1）∵⊙C经过原点O，∴AB为⊙C的直径。∴C为AB的中点。ABCDEFOHxy过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH＝OB＝，OH＝OA＝1。∴圆心C的坐标为（1，）。（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x＝1。∵抛物线的顶点在直线y＝－x上，∴顶点坐标为（1，－）把这三点的坐标代入抛物线抛物线y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为。（3）∵OA＝2，OB＝2，∴.即⊙C的半径r＝2。∴D（3，），E（－1，）代入检验，知点D、E均在抛物线上（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角。∴－1＜x0＜0，或2＜x0＜3。例4、15\n如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。⑴求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；⑵若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；⑶点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为又抛物线经过点N（2，3），所以解得a＝－1所以所求抛物线的解析式为y＝令y＝0，得解得：得A（－1，0）B（3，0）；令x＝0，得y＝3，所以C（0，3）.（2）直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k＝1，t＝3直线解析式为y＝x＋3.令y＝0，得x＝－3，故D（－3，0）CD＝连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F.设过A、N两点的直线的解析式为y＝mx＋n，则解得m＝1，n＝1所以过A、N两点的直线的解析式为y＝x＋1所以DC∥AN.在Rt△ANF中，AN＝3，NF＝3，所以AN＝所以DC＝AN。因此四边形CDAN是平行四边形.（3）假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，则PA是圆的半径且过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ＝PA时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，由P（1，u）得PE＝u，PM＝|4-u|，PQ＝由得方程：，解得，舍去负值u＝，符合题意的u＝，所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）.例5、已知：如图，抛物线15\n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，⑴求m的值及抛物线顶点坐标；⑵过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；⑶在条件⑵下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.解：⑴由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0.设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝3m 又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB ∴ ∴，即x1·x2＝－m2 ∴－m2＝3m，解得 m＝0 或m＝－3 而m＜0，故只能取m＝－3 这时，故抛物线的顶点坐标为（，－4） ⑵解法一：由已知可得：M（，0），A（－，0），B（3，0），C（0,－3），D（0，3） ∵抛物线的对称轴是x＝，也是⊙M的对称轴，连结CE∵DE是⊙M的直径，∴∠DCE＝90°，∴直线x＝，垂直平分CE，∴E点的坐标为（2，－3） ∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE∵AC⊥CB，∴CB⊥DE又FG⊥DE， ∴FG∥CB由B（3，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：y＝－3 可设直线FG的解析式为y＝＋n，把（2，－3）代入求得n＝－5故直线FG的解析式为y＝－5 解法二：令y＝0，解－3＝0得x1＝－，x2＝3，即A（－，0），B（3，0）根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为2， M（，0）在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝3，，OC＝3∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC∵DE⊥FG， ∴BC∥FG∴∠EFM＝∠CBO＝30°在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝2，∠FEM＝30°，∴MF＝4，∴OF＝OM＋MF＝5，∴F点的坐标为（5，0）在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝5×＝5∴G点的坐标为（0，－5）∴直线 FG的解析式为y＝－5 （解法二的评分标准参照解法一酌定）⑶解法一：存在常数k＝12，满足AH·AP＝12 连结CP由垂径定理可知，∴∠P＝∠ACH（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO）又∵∠CAH＝∠PAC，∴△ACH∽△APC∴ 即AC2＝AH·15\nAP 在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（）2＋32＝12（或利用AC2＝AO·AB＝×4＝12∴AH·AP＝12 解法二：存在常数k＝12，满足AH·AP＝12设AH＝x，AP＝y由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP即化简得：xy＝12即 AH·AP＝12 例6、抛物线()交x轴于点A(-1,0)、B（3,0）,交y轴于点C,顶点为D,以BD为直径的⊙M恰好过点C.(1)求顶点D的坐标(用的代数式表示)；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由.解：（1）（方法一）由题意：设抛物线的解析式为∴∴点C（0，－3a），D（1,－4a）（方法二）由题意：，解得 ∴（下同方法一）（2）（方法一）过点D作DE⊥y轴于点E，易证△DEC∽△COB∴∴∴ ∵ ∴故抛物线的解析式为：（方法二）过点D作DE⊥y轴于点E，过M作MG⊥y轴于点G，设⊙M交x轴于另一点H，交y轴于另一点F，可先证四边形OHDE为矩形，则OH＝DE＝1，再证OF＝CE＝－a，由OH·OB＝OF·OC得：，∴（下同法一）（3）符合条件的点P存在，共3个①若∠BPD＝90°，P点与C点重合，则P1（0，3）（P1表示第一个P点，下同）②若∠DBP＝90°，过点P2作P2R⊥x轴于点R，设点P2由△BP2R∽△DBH得，，即，解得 或（舍去）故③若∠BDP＝90°，设DP3的延长线交y轴于点N，可证△EDN∽△HDB，求得EN＝，∴N（0，）求得DN的解析式为15\n求抛物线与直线DN的交点得P3（），综上所述：符合条件的点P为（0，3）、、（）例7、已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于不同的两点A和B（4，0），与y轴交于点C（0，8），其对称轴为x=1.⑴求此抛物线的解析式；⑵过A、B、C三点作⊙O′与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直（垂足为E）的直线OE的方程；⑶设⊙O′与抛物线的另一个交点为P，直线OE与直线BC的交点为Q，直线x=m与抛物线的交点为R，直线x=m与直线OE的交点为S。是否存在整数m，使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：(1)由已知，有解得∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+8.(2)令y=0，得方程-x2+2x+8＝0，解得x1=-2，x2=4.∴点A的坐标为(-2，0).在⊙O′中，由相交弦定理，得OA|·|OB|=|OC|·|OD|，即2×4=8×|OD|，∴|OD|=1.∵点D在y轴的负半轴上，∴点D的坐标为(0，-1).在Rt△AOD中，∵|OA|=2，|OD|=1，OE⊥AD，∴由勾股定理，有AD==.又∵|OA|·|OD|=|AD|·|OE|，∴|OE|=.∵|OA|2=|AE|·|AD|，即22=|AE|，∴|AE|=.同理，由|OD|2=|DE|·|AD|，得|DE|=.设点E(x，y)，且x<0，y<0.在Rt△AOE中，|AE|·|OE|=|y|·|OA|，∴|y|=，∴y=-.在Rt△DOE中，|DE|·|OE|=|x|·|OD|，∴|x|=，∴x=-.∴点E的坐标是(-，-).设直线OE的方程为y=kx(k≠0).∵直线OE经过点E(-，-)，∴-=-k，K=2.∴直线OE的方程为y=2x.(3)在⊙O′中，∵对称轴x=1垂直平分弦AB，∴由垂径定理的推论知直线x=1经过圆心O′.∵C(0，8)，∴由对称当得点P的坐标为(2，8).设直线BC的方程为y=kx+b(k≠0).则有解得∴直线BC的方程为y=-2x+8.联立方程组解得∴点Q的坐标为(2，4).∵点P(2，8)，点Q(2，4)，∴PQ∥RS.设点R的坐标为(m，-m2+2m+8)，点S的坐标的(m，2m).要使四边形PQRS为平行四边形，已知PQ∥RS，尚需条件|RS|=|PQ|.由|(-m2+2m+8)-2m|=|8-4|=4，得|-m215\n+8|=4，解得m=±2，或m=±.而m=2,±不合题意，应舍去.∴存在整数m=-2，使得以P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形.例8、如图3已知抛物线，经过点A(0，5)和点B（3，2）(1)求抛物线的解析式：(2)现有一半径为l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问⊙P在运动过程中，是否存在⊙P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)若⊙Q的半径为r，点Q在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值解析(1)由题意，得；抛物线的解析式为(2)当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况．设点P坐标为()，则则当⊙P与y轴相切时，有|x0|=1，x0=±1由，得，由，得．当⊙P与x轴相切时有∵抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方．∴由，得，解得y0=2，B(2，1)综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：(3)设点Q坐标为(x，y)，则当⊙Q与两条坐标轴都相切时，有y=由y=x得，解得由，得，此方程无解15\n∴⊙O的半径为例9、已知：如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）．（1）求抛物线的顶点的坐标；（2）求的面积；（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与相切，并请说明理由．[解]（1）抛物线 的坐标为 （说明：用公式求点的坐标亦可）．（2）连；过为的直径． 而 （3）当点运动到的中点时，直线与相切 理由：在中，．15\n点是的中点， 在中，为等边三角形 又为直径，当为的中点时，为的切线 例10、如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为边在轴下方作正方形，点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点，连结与相交于点．（1）求证：；（2）设直线是的边的垂直平分线，且与相交于点．若是的外心，试求经过三点的抛物线的解析表达式；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点，使该点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．AEODCBGFxyl[解]（1）在和中，15\n四边形是正方形，．又，． （2）由（1），有，．点．是的外心，点在的垂直平分线上．点也在的垂直平分线上．为等腰三角形，．而，．．设经过三点的抛物线的解析表达式为．抛物线过点，．． ①把点，点的坐标代入①中，得即 解得抛物线的解析表达式为．②（3）假定在抛物线上存在一点，使点关于直线的对称点在轴上．是的平分线，轴上的点关于直线的对称点必在直线上，即点是抛物线与直线的交点．AEODCBGFxylQ设直线的解析表达式为，并设直线与轴交于点，则由是等腰直角三角形．．．把点，点代入中，得15\n直线的解析表达式为．设点，则有． ③把③代入②，得，，即．．解得或．当时，；当时，．在抛物线上存在点，它们关于直线的对称点都在轴上．例11、若抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，以OA、OB为直径分别作⊙O1、⊙O2。(1)试证：无论m取何实数，抛物线与x轴总有两个交点；(2)当两圆相等时，求m的值；(3)如果两圆外切，求m的范围；(4)点B能否在原点的左侧？请说明理由；(5)两圆内切时，求m的范围；(6)若两圆内切时，当M点的坐标为(1，0)，15\n试证：OA＜OM＜ OB；(7)如果两圆外切,且⊙O1、⊙O2的周长之比为2:1，求m的值；(8)若两圆面积之和为π，求m的值；(9)若两圆外切时，外公切线长为3，求m之值。[分析]若设y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于A(x1，0)、B(x2,0)，显然x1＜x2。(1)因为抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交点的横坐标，即为所对应的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0的两根。所以，要证明抛物线与x轴总有两个交点，就是要证明方程x2-(m+3)x+m+1=0的根的判别式△＞0△=[-(m+3)]2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+4＞0显然，问题可证。(2)由(1)可知，点A、点B是两个不同的点，若两圆相等，则OA=OB，且点A，点B分布在原点的两侧，又因为x1＜x2∴x1＜0，x2＞0则OA=|x1|=-x1OB=|x2|=x2∴-x1=x2即x1+x2=0则m+3=0m=-3.思考：此时为何不需要考虑“△”对m取值的制约(下同)？(3)以OA、OB为直径的两圆，若外切，则A点和B点必然分布在原点O的两侧。所以有x1·x2＜0,即m+1＜0,则m＜-1.(4)这是一道开放题。该命题可转化成：要确定点B能否在原点的左侧，就是要确定x2能否取负数？若x2能取负数的话，则下列不等式组必有解集。 显然上述不等式组的解集为空集，故x2不可能取负数，即点B不可能在x轴的左侧。(5)两圆内切时，其切点必为原点O，且点A、点B必在原点的同侧。故要分点A、点B都在原点的左侧或都在原点的右侧两种情况进行讨论。①若点A、点B都在原点的左侧,由(4)可知,该种情况不存在。15\n②若点A、点B都在原点的右侧，显然有x1＞0，x2＞0，则∴m＞-1.(6)由(5)知，若两圆内切,则点A、点B必在原点O的右侧，∴x1＞0，x2＞0则有OA=|x1|=x1；OB=|x2|=x2；OM=1.要证明OA＜OM＜OB，即证x1＜1＜x2；就是要证明：x1＜1且x2＞1；即证：x1-1＜0且x2-1＞0；即证：(x1-1)(x2-1)＜0；而(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m+1-(m+3)+1=-1＜0故本小问可证。(7)因为两圆外切时，C⊙O=OAπ=|x1|π=-πx1；C⊙O=OBπ=|x2|π=πx2；所以；即x1+2x2=0.则可由方程组求出参数m的值。(8)当两圆面积之和为π时，则S；S；则；OA2+OB2=7；即x12+x22=7.则根据根与系数的关系，此时的m值可求。(9)因为相切两圆的外公切线的长为：2(其中R、r分别为⊙O1、⊙O2的半径)15\n所以2；即；OA·OB=9；∴-x1·x2=9；则-(m+1)=9；m=-10.15
