专题七一元二次方程根的判别式应用探讨一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。在系数a≠0的情况下，Δ=b2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－4ac<0时，方程无实数根。反之亦然。因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根的判别式。根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：典型例题：例1：（2022江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是【】A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：A、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；B、整理得：，△＜0，∴原方程没有实数根，选项错误；C、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；D、整理得：，当时，，∴原方程有2个不相等的实数根，选项正确故选D。 二.根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围：典型例题：例1：（2022湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【】14\nA．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【答案】D。【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知：k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0。故选D。 例2：（2022湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根。【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根。（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1。∵|x1－x2|＝2，∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。解得：m1=－3，m2=1。当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1=，x2=－。当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+，x2=－2－。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac的符号来判定该方程的根的情况。（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1•x2，由已知条件|x1－x2|＝2平方后可以得到关于x1＋x2和x1•x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。例3：（2022四川成都4分）有七张正面分别标14\n有数字－3，－2，－1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数的图象不经过点（1，0）的概率是▲。【答案】。考点】二次函数图象上点的坐标特征，根的判别式，解一元二次方程和一元一次不等式，概率公式。【分析】∵有两个不相等的实数根，∴△＞0。∴[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＞0，∴a＞﹣1。将（1，0）代入得，a2+a﹣2=0，解得a1=1，a2=﹣2。可见，符合要求的点为0，2，3。∴P（符合要求）=。练习1.（2022山东日照4分）已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【】(A)k>且k≠2(B)k≥且k≠2(C)k>且k≠2(D)k≥且k≠22.（2022湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程。（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x2｜－2，求m的值及其根。3.（2022黑龙江佳木斯3分）若关于x的一元二次方程nx2－2x－1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x－n的图象不经过【】A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限三.限制一元二次方程根与系数关系的应用：典型例题：例1：（2022四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 ▲ 。14\n例2：（2022湖南娄底10分）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足。（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由。【答案】解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，∴令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0①，则有：x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m。∴，化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1。当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意。∴m=1。∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2。（2）存在。理由如下：假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形。如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点。∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2）。∴OB=1，OC=2。∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC。14\n∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB。在Rt△PAD与Rt△CBO中，∵∠PAD=∠CBO，PA=BC，∠APD=∠OCB，∴Rt△PAD≌Rt△CBO（AAS）。∴PD=OC=2，即yP=2。∵直线解析式为y=x+3，∴xP=﹣1。∴P（﹣1，2）。∴在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）。【考点】二次函数综合题，二次函数与x点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去。（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，从而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标。练习题：1.（2022湖南怀化10分）已知是一元二次方程的两个实数根。（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使为负整数的实数a的整数值。四.判断二次三项式是完全平方式时的待定系数：典型例题：例1：（2022湖北荆州3分）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数的解析式为 ▲ 。【答案】或。【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。【分析】∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，∴对应的一元二次方程x2﹣kx+1=0根的判别式△=0。∴△=k2－4×1×1=0，解得k=±2。14\n把k=±2分别代入反比例函数的解析式得：或。练习题：五.判断双曲线与直线的公共点个数：典型例题：例1：（2022江苏南京2分）若反比例函数与一次函数的图像没有交点，则的值可以是【】A.-2B.-1C.1D.2【答案】A。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式。【分析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找符合条件的k的值即可：∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点，∴无解，即无解，整理得x2+2x-k=0，∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件。故选A。例2：（2022四川资阳8分）已知：一14\n次函数y=3x－2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1。（1）(3分)求该反比例函数的解析式；（2）(3分)将一次函数y=3x－2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）(2分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：①函数的图象能由一次函数y=3x－2的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到；②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。【答案】解：（1）把x=1代入y=3x－2，得y=1。设反比例函数的解析式为，把（1，1）代入得，k=1。∴该反比例函数的解析式为（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x－2+4，即y=3x＋2，联立y=3x＋2和，得，，解得或。∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(,3)和(－1,－1)。（3）y=－2x－2（答案不唯一）。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一次函数图象与平移、旋转变换。【分析】（1）先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，联立两函数解析式，从而求得交点坐标。（3）∵函数的图象由一次函数y=3x－2的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到，∴可设所求函数解析式为y=mx－2，则由得。∵函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，∴△=4－4·m（－1）＜0，解得m＜－1。∴只要常数项为－2，一次项系数小于－1的一次函数均可。例4：（2022湖北宜昌3分）如图，直线=+2与双曲线=14\n在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为【】【答案】B。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，在数轴上表示不等式的解集。【分析】因为直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点，联立两方程求出m的取值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围：由+2=得2+2+3﹣m=0，∵=+2与=有两个交点，∴方程2+2+3﹣m=0有两不相等的实数根。即△=4﹣4×（3﹣m）＞0，解得m＞2。又∵双曲线在二、四象限，∴m﹣3＜0。∴m＜3。∴m的取值范围为：2＜m＜3。故在数轴上表示为B。故选B。练习题：1.（2022湖北黄石3分）若一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点，则实数的取值范围是▲。3.（2022湖北黄石8分）已知一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）与反比例函数的图象有唯一的公共点。（1）求出b关于k的表达式及b为最小正整数时的两个函数的解析式；（2）证明：k取任何正实数时，直线y=kx+b总经过一个定点，并求出定点的坐标。六.判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数：典型例题：14\n例2：（2022山东泰安3分）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为【】 A． B．3 C． D．9【答案】B。【考点】抛物线与轴的交点。【分析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴＞0，，即。∵一元二次方程有实数根，∴△=，即，即，解得。∴的最大值为3。故选B。例3：（2022湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点。14\n（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值。【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。综上所述，k的取值范围是k≤2。（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又∵x1+x2=，x1x2=，∴2k•=4•，解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+，且﹣1≤x≤1，由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=。∴y的最大值为，最小值为﹣3。【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。例4：（2022福建福州14分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点。14\n(1)求抛物线的解析式；(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；(3)如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)。【答案】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．∴，解得：。∴抛物线的解析式是y＝x2－3x。(2)设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，得：4＝4k1，解得k1＝1。∴直线OB的解析式为y＝x。∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。∵点D在抛物线y＝x2－3x上，∴可设D(x，x2－3x)。又点D在直线y＝x－m上，∴x2－3x＝x－m，即x2－4x＋m＝0。∵抛物线与直线只有一个公共点，△＝16－4m＝0，解得：m＝4。此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2。∴D点坐标为(2，－2)。(3)∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)。设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，∴4k2＋3＝4，解得：k2＝。∴直线A'B的解析式是y＝x＋3。∵∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A'B上。14\n∴设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，∴n＋3＝n2－3n，解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)。∴点N的坐标为(－，)。如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1(－，－)，B1(4，－4)。∴O、D、B1都在直线y＝－x上。∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1。∴＝＝。∴点P1的坐标为(－，－)。将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)。综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，一元二次方程根的判别式，翻折对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可。(2)根据已知可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。(3)综合利用几何变换和相似关系求解：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折。（或用旋转）求出P点坐标之后，该点关于直线y＝－x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个。练习题：1（2022江苏南京7分）已知函数（是常数）。⑴求证：不论为何值，该函数的图象都经过轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与轴只有一交点，求值。2.（2022甘肃兰州4分）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有【】14\nA、2个B、3个C、4个D、1个3.（2022湖北武汉3分）下列命题：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若b>a+c，则一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根；④若b2－4ac>0，则二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3。其中正确的【】A、只有①②③B、只有①③④C、只有①④D、只有②③④4.（2022北京市7分）已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围。14\n一元二次方程根的判别式在初中数学中的应用除了上述内容外，还有许多其它应用，如下： 判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。例1：当m为何值时，关于x的二次三项式mx2－2（m＋2）x＋（m＋5）能在实数范围内因式分解。例2：如果关于x二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是▲。与平面几何相联系的问题。例1：已知：关于x的方程有两个相等的实数根，试判断以a，b，c为三边的三角形的形状。例2：已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。例3：已知a，b，c是△ABC的三边，是关于x的一元二次方程，（1）若△ABC是直角三角形，且∠C=90°，试判断方程实根的个数；（2）若方程有两个相等的实数根，试求∠C的度数。14
