专题五 圆的综合1.已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD.(1)求证：AD＝CE；(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．证明：(1)在⊙O中，∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC.在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE(S.A.S.)，∴AD＝CE；(2)连结AO并延长，交边BC于点H.∵＝，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH＝CH.∵AD＝AG，∴DH＝HG，∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG.∵BD＝AE，∴CG＝AE.∵CG∥AE.∴四边形AGCE是平行四边形．2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝4，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，连结OD，OB，DE相交于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求EF∶FD的值．6\n解：(1)连结CD.∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝4，∴AB＝＝＝8，∴∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，∴∠ODA＝60°.又∵AC为直径，∴∠CDA＝90°，即△CDB为直角三角形，而E点为斜边BC的中点，∴DE＝BE＝EC，∴∠BDE＝∠DBE＝30°，∴∠ODE＝180°－∠BDE－∠ADO＝90°，∴DE是O的切线；(2)连结OE.∵△OAD为等边三角形，∴AD＝OA＝2，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.在Rt△OEC中，OE＝＝4，又∵OE为△CBA的中位线，∴OE∥AB，∴EF∶FD＝OE∶BD＝4∶6＝2∶3.3．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在DC的延长线上，EP＝EG.(1)求证：直线EP为⊙O的切线；(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF·BO，试证明：BG＝PG；(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝，求弦CD的长．解：(1)连结OP.∵EP＝EG，∴∠EPG＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，∴∠EPG＋∠OPB＝90°，即OP⊥EP，∴直线EP为⊙O的切线；(2)连结OG.∵BG2＝BF·BO，6\n∴＝，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO＝∠BFG＝90°，∴BG＝PG；(3)连结AC，BC.∵sin∠GBO＝，∴＝.∵OB＝r＝3，∴OG＝，由(2)得∠GBO＋∠BGF＝∠OGF＋∠BGF＝90°，∴∠GBO＝∠OGF，∴sin∠OGF＝＝，∴OF＝1，∴BF＝BO－OF＝3－1＝2，FA＝OF＋OA＝1＋3＝4.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝90°.∵∠ACF＋∠A＝90°，∴∠BCF＝∠A，∴△BCF∽△CAF，∴＝，∴CF2＝BF·FA，∴CF＝＝＝2，∴CD＝2CF＝4.4．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AB＝6，延长BA到F，使FA＝AB.若P为线段AF上一个动点(P点与A点不重合)，过P点作半圆的切线，切点为C，作CD⊥AB，垂足为D.过B点作BE⊥PC，交PC的延长线于点E，连结AC，DE.(1)判断线段AC，DE所在直线是否平行，并证明你的结论；(2)设AC为x，AC＋BE为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解：(1)线段AC，DE所在的直线平行．证明：∵CD⊥AB，BE⊥PE，∠CPD＝∠BPE，∴Rt△PCD∽Rt△PBE，∴＝.∵PC与⊙O相切于C点，PAB为⊙O的割线，∴PC2＝PA×PB，∴＝，6\n∴＝.∵∠CPA＝∠EPD，∴△CPA∽△EPD，∴∠PCA＝∠PED，∴AC∥DE；(2)连结BC.∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2.∵AC＝x，AB＝6，∴BC2＝62－x2＝36－x2.∵PC与半圆相切于点C，∴∠BAC＝∠BCE.∵∠ACB＝∠BEC＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△CBE，∴＝，∴BE＝＝.∵y＝AC＋BE，∴y＝x＋，y＝－x2＋x＋6.∵P点与A点不重合，∴AC>0.当点P与点F重合时，AC的值最大，此时PC＝＝6.又∵∠P＝∠P，∠PBC＝∠PCA，∴△PCA∽△PBC，∴＝，∴BC＝＝AC.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴AC2＋(AC)2＝36，∴AC＝2，∴y＝－x2＋x＋6(0＜x≤2)．5．如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA＝6，OB＝8,半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位/s的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位/s的速度匀速运动，设运动时间为ts(0＜t≤5)，以P为圆心、PA长为半径的⊙P与AB，OA的另一个交点分别为C，D，连结CD，QC.(1)当t为何值时，点Q与点D重合？(2)当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长；6\n(3)若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．解：(1)∵OA＝6，OB＝8，∴由勾股定理得AB＝10.由题意知OQ＝AP＝t，∴AC＝2t.∵AC是⊙P的直径，∴∠CDA＝90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴＝，∴AD＝1.2t.当Q与D重合时，AD＋OQ＝OA，∴1.2t＋t＝6，解得t＝.图①∴t为s时，点Q与点D重合；(2)当⊙Q经过A点时，如图①，OQ＝OA－QA＝4，∴t＝＝4s，∴PA＝4，∴BP＝AB－PA＝6.过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F，G，连结PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴＝，∴PE＝3.6，∴由勾股定理得EF＝，由垂径定理知FG＝2EF＝；6\n图②(3)当QC与⊙P相切时，如图②，此时∠QCA＝90°.∵OQ＝AP＝t，∴AQ＝6－t，AC＝2t.∵∠A＝∠A,∠QCA＝∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴＝，∴＝，∴t＝，∴当0＜t≤时，⊙P与QC只有一个交点，当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由(1)可知t＝，∴当＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点．综上所述，当⊙P与线段QC只有一个公共点，t的取值范围为：0＜t≤或＜t≤5.6
