第六章 图形的相似与解直角三角形第十八讲 相似,考标完全解读)考点考试内容考试要求相似的有关概念比例的基本性质了解相似多边形和相似比了握相似三角形的判定定理了解相似三角形判定定理的证明了解相似三角形的性质定理了解三角形重心的概念了解图形的位似了解相似的应用平行线分线段成比例理解相似多边形性质，相似多边形定义理解基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例掌握,感受宜宾中考) 1．(2022宜宾中考)如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为( B )A．(1，2)B．(1，1)C．(，)D．(2，1),(第1题图)) ,(第2题图))2．(2022宜宾中考改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.则△BCD与△ABC的周长之比为( A )A．1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶53．(2022宜宾中考改编)若一个图形的面积为2，那么将与它成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为( A )A．8B．6C．4D．24．(2022宜宾中考模拟)如图，P是Rt△ABC斜边AB上一点(A，B两点除外)，过点P作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作( C )A．1条 B.2条 C.3条 D.4条9\n,(第4题图)) ,(第5题图))5．(2022宜宾中考)如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE＝2，则EG的长是__－1__．,核心知识梳理) 线段的比、线段成比例及比例的性质1．两条线段的比是两条线段的长度之比．(1)两条线段的长度单位需统一；(2)线段的比是一个不带单位的整数．2．线段成比例，如＝(即ad＝bc)．对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，我们就说这四条线段成比例．3．比例的性质性质1：＝⇔ad＝bc(bd≠0)；性质2：＝那么＝；性质3：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，则＝＝.4．黄金分割如果点C把线段AB分成两条线段，使＝____，那么点C叫做线段AB的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__． 相似三角形5．平行线分线段成比例6．相似三角形的判定与性质(1)判定：①__有两角__对应相等，两三角形相似；②两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；③三边__对应成比例__，两三角形相似；④两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．【方法点拨】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．(2)性质：9\n①相似三角形的__对应角__相等；②相似三角形的对应线段(__边、高、中线、角平分线__)成比例；③相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 相似多边形的判定及性质7．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的__相似比__．8．性质：(1)相似多边形的对应边__成比例__；(2)相似多边形的对应角__相等__；(3)相似多边形周长的比__于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__． 位似图形9．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．10．性质：(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比(或相似比)__．11．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．12．画位似图形的步骤：(1)确定__位似中心__；(2)确定原图形的关键点；(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．,重点难点解析) 线段成比例及比例的性质【例1】(1)若＝，则的值为( ) A．1 B. C. D.(2)下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )A．1，2，4，8 B．2，4，6，8C．3，6，8，12 D．3，6，9，12【解析】(1)∵＝，∴＝＝；(2)若在四条线段中，存在其中两条线段长度的比等于另外两条线段长度的比，则称这四条线段是成比例线段(或比例线段)，本题中只有选项A中存在两条线段长度的比等于另外两条线段长度的比．【答案】(1)D；(2)A9\n【针对训练】1．下列各组数中，成比例的是( A )A．－6，－8，3，4 B.－7，－5，14，5C.3，5，9，12 D.2，3，6，122．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；过点B的直线DE分别交l1，l3于点D，E.若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段BE的长为( C )A．1 B．2 C．3 D．4 位似变换【例2】如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．【解析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可得到△A1B1C1；(2)连接A1O并延长至A2，使A2O＝2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O＝2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O＝2C1O，然后顺次连接点A2、B2、C2即可得到△A2B2C2；由变换的方式可知△A1B1C1与△A2B2C2相似，且相似比为1∶2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方便可求出两个三角形的面积比．【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示；(2)△A2B2C2如图所示．∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为1∶2，∴S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝1∶4.【针对训练】9\n3．如图，直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，求点B的对应点B′的坐标．解：∵直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B.令x＝0，可得y＝1，令y＝0，解得x＝－2，∴点A和点B的坐标分别为(－2，0)，(0，1)．∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，∴＝＝，∴O′B′＝3，AO′＝6，∴B′的坐标为(－8，－3)或(4，3)． 相似三角形的性质和判定【例3】如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于( )A．3∶2 B．3∶1C.1∶1 D．1∶2【解析】根据题意得出△DEF∽△BCF，＝，利用点E是边AD的中点得出答案即可．【答案】D【针对训练】4．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是( A )A.＝ B.＝C.＝ D.＝ 相似三角形知识的综合应用在中考题目中，相似三角形的知识常与解直角三角形、全等三角形、圆、二次函数等知识综合，9\n考查考生探索问题、解决问题的能力．【例4】如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA＝4，AB＝3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了xs(0<x<4)时，解答下列问题：(1)求点N的坐标；(用含x的代数式表示)(2)设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？(3)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；(2)由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；(3)分两种情况：①若∠OMN＝90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；②若∠ONM＝90°，则∠ONM＝∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．【答案】解：(1)根据题意得：MA＝x，ON＝1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB2＝OA2＋AB2，OB＝＝＝5，作NP⊥OA于P，如图①所示，则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴＝＝，即＝＝，解得OP＝x，PN＝x，∴点N的坐标是；(2)在△OMN中，OM＝4－x，OM边上的高PN＝x，∴S＝OM·PN＝(4－x)·x＝－x2＋x，9\n∴S＝－x2＋x(0<x<4)，即S＝－(x－2)2＋.当x＝2时，S有最大值，最大值是1.5；(3)存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN＝90°，如图②所示，则MN∥AB，此时OM＝4－x，ON＝1.25x，∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴＝，即＝，解得x＝2；②若∠ONM＝90°，如图③所示，则∠ONM＝∠OAB，此时OM＝4－x，ON＝1.25x，∵∠ONM＝∠OAB，∠MON＝∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴＝，即＝，解得x＝.综上所述，x的值是2或s时，△OMN是直角三角形．【针对训练】 5．(2022恩施中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( C )A．6 B．8 C．10 D．129\n,(第5题图)) ,(第6题图))6．(2022泰安中考)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( B )A．18 B. C. D.,当堂过关检测)1.已知＝，＝，则a∶b∶c等于( C ) A．3∶4∶5 B．4∶3∶5 C．9∶12∶20 D．9∶15∶202．在下列命题中，真命题是( D )A．两个钝角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似3．(2022滨州中考)在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为__(4，6)或(－4，－6)__．4．(2022六盘水中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连结OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝____.5．梯形的中位线长为12cm，上、下底之比为1∶3，则梯形的上、下底之差是__－12______．6．(2022沈阳中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，9\n将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是____.9
