第二十一讲 图形的对称、平移与旋转,考标完全解读)考点考试内容考试要求图形的对称、平移与旋转概念轴对称与轴对称图形，基本性质了解平移，基本性质了解旋转、旋转中心，基本性质了解线段垂直平分线，角平分线了解旋转对称图形，中心对称图形，基本性质了解图形全等，边角关系了解图形三种基本变换(轴对称、平移、旋转)与图形全等关系理解图形的对称、平移与旋转应用轴对称在生活中的应用理解平移变换基本特征理解图形的对称、平移与旋转拓展轴对称性质、平移性质、旋转性质，体验进行图案设计的过程掌握,感受宜宾中考) 1．(2022宜宾拔尖)在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示．点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E，F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝3.当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是( B ) A．(3，0)B．(1，0)C．(4，0)D．(2，0),(第1题图)) ,(第2题图))2．(2022宜宾中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为( A )A.B．2C．3D．23．(2022宜宾中考)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，8\n则∠AOD的度数是__60°__．,核心知识梳理) 轴对称与轴对称图形1．概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形__完全重合__，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做__对称轴__，如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够__完全重合__，那么这个图形就叫__轴对称图形__．2．轴对称与轴对称图形的区别与联系 中心对称与中心对称图形3．概念：在平面内，一个图形绕着中心点旋转180°后，与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形．这个中心点叫做__对称中心__．中心对称图形是旋转角度为180°的__旋转对称图形__．4．中心对称与中心对称图形的区别和联系 图形的平移5．在平面内，将一个图形沿__一定方向__移动__一定距离__，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．6．平移的特征：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等(对应线段也可能在一条直线上)，图形的__形状与大小__都没有发生变化；平移后对应点所连的线段平行并且相等(对应点所连的线段也可能在一条直线上)．7．平移作图的基本步骤(1)根据题意，确定平移方向和平移距离；(2)找出原图形的关键点；(3)按平移方向和平移距离，平移各个关键点，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连结得到各关键点的对应点，得到平移后的图形． 图形的旋转8．平面内某一个或几个基本的图形绕一个定点沿某__一个方向__(顺时针或逆时针)__转动一个角度__，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做__旋转中心__，这个角度叫做__旋转角__．9．旋转的三大要素：旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由__旋转中心__、__旋转的角度__、__旋转的方向__所决定．10．旋转的特征(1)图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度；8\n(2)对应点到旋转中心距离相等．对应线段相等，对应角相等；(3)图形的形状与大小都没有发生变化．11．旋转作图的基本步骤(1)根据题意，确定旋转中心及旋转方向、旋转角；(2)找出原图形的关键点；(3)连结关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各个关键点的对应点；(4)按原图形依次连结得到旋转后的图形．,重点难点解析) 图形平移、旋转、轴对称【命题规律】主要考查图形平移、旋转、轴对称的概念和特征，有基础题目也有中难度题．【例1】下列图形是中心对称图形的是( C )【解析】把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形点对称或中心对称．【答案】C【针对训练】1．(2022福建中考)下列关于图形对称性的命题，正确的是( A )A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形2．(2022天津中考)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连结AD.下列结论一定正确的是( C )A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BCD．AD＝BC3．如图，△ABC中，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为__2.5__cm. 变换图形的作用【例2】如图，在直角坐标系中，A(0，4)，C(3，0)．8\n(1)①画出线段AC关于y轴对称线段AB；②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD；(2)若直线y＝kx平分(1)中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．【解析】(1)①根据关于y轴的对称的点的横坐标互为相反数确定出点B的位置，然后连结AB即可；②根据轴对称的性质找出点A关于直线x＝3的对称点，即为所求的点D；(2)根据平行四边形的性质，平分四边形面积的直线经过中心，然后求出AC的中点，代入直线计算即可求出k的值．【答案】(1)①如图所示；②直线CD如图所示；(2)∵由图可知，AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵A(0，4)，C(3，0)，∴平行四边形ABCD的中心坐标为(1.5，2)，代入直线得，1.5k＝2，解得k＝.【针对训练】4．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写出旋转角度是__90°__． 变换图形性质的运用【命题规律】近几年来，由三角形、四边形通过叠、拼、平移、旋转产生的中考探究性题目，新颖别致，备受青睐．利用图形变换的特殊性质，可解决一些几何问题中证明角、线段相等的问题．【例3】将一副三角尺(在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°)如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.8\n(1)求∠ADE的度数；(2)如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD＝BD＝AB，根据等边对等角求出∠ACD＝∠A，再求出∠ADC＝120°，再根据∠ADE＝∠ADC－∠EDF计算即可得解；(2)根据同角的余角相等求出∠PDM＝∠CDN，再求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD＝60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD＝60°，从而得到∠CPD＝∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得＝为定值．【答案】解：(1)∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝AB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠ADC＝180°－30°×2＝120°∴∠ADE＝∠ADC－∠EDF＝120°－90°＝30°；(2)＝.理由如下：∵∠EDF＝90°，∴∠PDM＋∠E′DF＝∠CDN＋∠E′DF＝90°，∴∠PDM＝∠CDN，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝60°，∵∠CPD＝∠A＋∠ADE＝30°＋30°＝60°，∴∠CPD＝∠BCD，在△DPM和△DCN中，∠CPD＝∠BCD，∠PDM＝∠CDN，∴△DPM∽△DCN，∴＝，∵＝tan∠ACD＝tan30°＝，8\n∴的值不随着α的变化而变化，是定值.【针对训练】5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连结CF，求CF的长．解：连接BF，交AE于H点．∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝＝5，∴BH＝，∴BF＝，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，∴CF＝＝＝.,当堂过关检测)1.(2022宜宾中考改编)如图①，一副直角三角板△ABC和△DEF，将△ABC和△DEF按图②放置，已知∠F＝30°，在图③的位置上，△DEF绕点D按逆时针旋转至DF与BC重合，在旋转过程中，当EF与△ABC的边平行，旋转的角度是(1)30°；(2)45°；(3)75°；(4)135°；(5)165°.其中正确的是( B ) A．(1)(3)(4) B．(1)(3)(5) C．(1)(4)(5) D．(2)(3)(5)2．(2022东营中考)如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是( D )A.B.C.D.－8\n,(第2题图)) ,(第3题图))3．(2022泰安中考)如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转α得到的，点A′与A对应，则α的大小为( C )A．30°B．60°C．90°D．120°4．(2022菏泽中考)如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(－4，5)，点D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是( B )A．(0，)B．(0，)C．(0，2)D．(0，),(第4题图)) ,(第5题图))5．(2022连云港中考)如图，已知等边三角形OAB与反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象交于A，B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则的值为____．(已知sin15°＝)6．(2022荆州中考)将直线y＝x＋b沿y轴向下平移3个单位，点A(－1，2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为__4__．7．(2022东营中考)如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为__2__．,(第7题图)) ,(第8题图))8．(2022黄冈中考)已知：如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D＝__1.5__cm.9．(2022宜宾中考改编)如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.8\n(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．解：(1)由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，在△AEC和△ADB中，∵AE＝AD，∠CAE＝∠DAB，AC＝AB，∴△AEC≌△ADB(S.A.S.)；(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，由(1)得：AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，即BD＝2，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2－2.8
