第五章 四边形第十六讲 平行四边形,考标完全解读)考点考试内容考试要求多边形多边形的定义了解多边形的内角和理解多边形的外角和理解多边形的对角线了解正多边形的定义了解图形的镶嵌理解平行四边形平行四边形的定义理解平行四边形的性质掌握平行四边形的判定掌握,感受宜宾中考)1．(宜宾中考)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于点M，N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM＝AC；③DN＝2NF；④S△AMB＝S△ABC.其中正确的结论是__①②③__．(只填序号)2．(宜宾中考)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F在AC上，G，H在BD上，且AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥HE.证明：∵平行四边形ABCD中，OA＝OC，9\n又∵AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE.同理得：OG＝OH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴GF∥HE.3．(宜宾中考)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在直线AC上，连结EB，FD，且∠EBA＝∠FDC.求证：BE∥DF.证明：∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB＝CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠BAE＝∠DCF.又∠EBA＝∠FDC，∴△EAB≌△FCD，∴∠BEA＝∠DFC，∴BE∥DF.,核心知识梳理) 多边形的内角和与外角和1．定义：在平面内，由一些线段__首尾顺次连接__组成的封闭图形叫多边形，在多边形中，连接多边形不相邻的顶点的线段，叫做多边形的对角线．2．任意n边形的内角和为__(n－2)·180°__；正n边形的每个内角为____．3．任意n边形的外角和为__360°__；正n边形的每一个外角为____．4．n边形的对角线的条数：过n(n＞3)边形一个顶点可引__(n－3)__条对角线，n边形共有____条对角线． 正多边形及其性质5．概念：__各边__都相等，__各角__都相等的多边形是正多边形．6．性质：各条边__相等__，各个内角__相等__，各个外角__相等__．9\n7．正多边形的对称性：正(2n－1)边形是__轴对称图形__，对称轴有__(2n－1)__条；正2n边形既是__轴对称图形__，又是__中心对称图形__，对称中心是对角线的__交点__． 图形的镶嵌8．定义：把形状、大小相同的一种或几种平面图形拼接到一起，使得平面上不留空隙，又不重叠，这就是平面图形的镶嵌．9．用同一种图形就可以镶嵌的有：__正三角形、正四边形、正六边形____．10．当围绕一点拼接在一起的几个多边形的内角和为__360°__时，就可以镶嵌． 平行四边形11．定义：两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形．12．平行四边形的性质：对边__平行且相等__；对角__相等__；对角线__互相平分__；邻角__互补__；平行四边形是__中心对称图形__，对称中心是两条对角线的__交点__，不一定是__轴对称图形__．13．平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别__平行__的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形；(3)一组对边__平行且相等__的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别__相等__的四边形是平行四边形；(5)两条对角线__互相平分__的四边形是平行四边形．,重点难点解析) 多边形及其有关性质【例1】(河北中考)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.【解析】(1)根据多边形内角和公式可得n边形的内角和是180°的倍数，依此即可判断，再根据多边形内角和公式即可求出边数n；(2)根据等量关系：若n边形变为(n＋x)边形，内角和增加了360°，依此列出方程，解方程即可确定x.【答案】解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3…90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°＋2＝2＋2＝4.答：甲同学说的边数n是4；(2)依题意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.故x的值是2.【针对训练】1．(2022云南中考)已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( C )9\n A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形2．(2022台湾中考)如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A＝100°，∠B＝∠D＝85°，∠C＝90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确( D )A．∠1＝∠2＞∠3 B．∠1＝∠3＞∠2C．∠2＞∠1＝∠3 D．∠3＞∠1＝∠23．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( C )A．8B．9C．10D．11 平行四边形的性质和判定【例2】(2022眉山中考)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( C )A．14B．13C．12D．10【解析】先利用平行四边形的性质求出AB＝CD，BC＝AD，AD＋CD＝9，可利用全等的性质得到△AEO≌△CFO，求出OE＝OF，CF＝AE.根据所推出的相等关系，即可求出四边形的周长．【答案】C【针对训练】4．(2022连云港中考)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF＝56°，则∠B＝__56°__．,(第4题图)) ,(第5题图))5．(2022贵阳中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连结CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为( B )A．6B．12C．18D．24【例3】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF.9\n(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)若∠ABC＝60°，BD＝4，求平行四边形ADEF的面积．【解析】(1)由BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，易证得△BDE是等腰三角形，且BE＝DE；又由BE＝AF，可得DE＝AF，即可证得四边形ADEF是平行四边形；(2)首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，由∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，可求得DG的长，继而求得DE的长，则可求得答案．【答案】解：(1)∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE.∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE.∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE.∵BE＝AF，∴AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形；(2)过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H.∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD＝30°，∴DG＝BD＝×4＝2.∵BE＝DE，∴BH＝DH＝2，∴BE＝＝，∴DE＝，∴四边形ADEF的面积＝DE·DG＝.【针对训练】6．(2022青岛中考)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( D )A.B.C.D.7．(2022西宁中考)如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．解：(1)∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，9\n在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴▱ABCD的面积＝AC·BD＝24. 平行四边形的综合运用【例4】如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连结ED，DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．【解析】(1)结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE＝ED＝DG＝GB即可；(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连结EC交BD于点H，此时HG＋HC最小，在Rt△EMC中，求出EM，MC即可解决问题．【答案】解：(1)四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，DF＝BF，∴∠EBD＝∠EDB.∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形；(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG＋HC最小．在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2，∴EM＝BE＝.∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM＝DN＝，MN＝DE＝2.在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，∴∠NDC＝∠NCD＝45°，∴DN＝NC＝，∴MC＝3.在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，EM＝，MC＝3，9\n∴EC＝＝＝10.∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC，∴HG＋HC的最小值为10.【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．【针对训练】8．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于点D，交AC于点E.已知CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，求BC＋DE的值．小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②)．请回答：BC＋DE的值为____．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC＝BF＝DF，求∠AGF的度数．解：连结AE，CE，如图③.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC.∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥FE，BF＝AE，EF＝AB.∴DC∥FE，EF＝DC.∴四边形DCEF是平行四边形，∴CE∥DF.∵AC＝BF＝DF，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝60°.∵CE∥DF，∴∠AGF＝∠ACE＝60°.,当堂过关检测)1.(2022北京中考)若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是( B ) A．6B．12C．16D．182．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是( C )A．正方形 B．正六边形C．正八边形 D．正十二边形9\n3．(2022黑龙江中考)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是( C )A．22B．20C．22或20D．184．(2022辽阳中考)如图，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，连结BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是( B )A．2B．1C.D.5．(2022大庆中考)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．解：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C.∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG＝∠C.∵BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，∴∠BFE＝∠DEG，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形；(2)∵∠C＝45°，∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，∴△BDE，△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝BE＝BD＝，作FM⊥BD于M，连结DF.则△BFM是等腰直角三角形，∴FM＝BM＝BF＝1，∴DM＝3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：9\nDF＝＝，即D，F两点间的距离为.9
