第十七讲 特殊的平行四边形,考标完全解读)考点考试内容考试要求矩形矩形的定义理解矩形的性质掌握矩形的判定掌握菱形菱形的定义理解菱形的性质掌握菱形的判定掌握正方形正方形的定义理解正方形的性质掌握正方形的判定掌握,感受宜宾中考) 1．(2022宜宾中考)如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是( C )A．3B.C．5D.,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2022宜宾中考)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )A．4.8B．5C．6D．7.23．(2022宜宾中考)矩形具有而菱形不具有的性质是( B )A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等4．(2022宜宾中考)菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是__5__cm__.5．(2022宜宾中考)如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若PE＝3，则点P到AD的距离为__3__．11\n,(第5题图)) ,(第6题图))6．(2022宜宾中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连结BG，DF.若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为__20__．7．(2022宜宾中考)如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连结BD，DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH·PB；④＝.其中正确的是__①③④__．(写出所有正确结论的序号),核心知识梳理) 矩形的性质和判定1．矩形的性质(1)定义：有一个角是__直角__的平行四边形叫矩形；(2)边：矩形的对边__平行且相等__，邻边互相__垂直__；(3)角：矩形的四个角都是__直角__；(4)对角线：矩形的对角线__互相平分且相等__；(5)对称性：矩形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__，有__2__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．2．矩形的判定(1)角：有__一个__角是直角的平行四边形是矩形；__三__个角都是直角的四边形是矩形；(2)对角线：对角线相等的__平行四边形__是矩形；对角线__互相平分且相等__的四边形是矩形．【温馨提示】矩形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质，除此以外还具有四个角都是直角、对角线互相平分且相等等性质． 菱形的性质和判定3．菱形的性质(1)定义：有一组邻边__相等__的平行四边形叫菱形；(2)边：菱形的四条边都__相等__；11\n(3)对角线：菱形的对角线__互相垂直平分__且每一条对角线都__平分__一组对角；(4)对称性：菱形既是__中心对称__图形又是__轴对称__图形，有__2__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．4．菱形的判定(1)边：有一组邻边__相等__的平行四边形是菱形；四条边都相等的__四边形__是菱形；(2)对角线：对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；对角线互相平分且相等的__四边形__是菱形；(3)对称性：菱形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__，有__2__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．【温馨提示】菱形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质，除此以外还具有四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线都平分一组对角等性质． 正方形的性质和判定5．正方形的性质(1)定义：有一组邻边__相等__，并且有一个角是__直角__的平行四边形是正方形；(2)边：正方形的对边__平行__，四边都__相等__；(3)角：正方形的四个角都是__直角__；(4)对角线：正方形的对角线__互相垂直平分且相等__，每一条对角线都__平分__一组对角；(5)对称性：正方形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__，有__4__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．6．正方形的判定(1)边：有一组邻边__相等__的矩形是正方形；(2)角：有一角是__直角__的菱形是正方形；(3)对角线：对角线__互相垂直__的矩形是正方形；对角线互相平分的__菱形__是正方形．【温馨提示】正方形具有矩形和菱形所具有的所有性质，因此正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 平行四边形、菱形、矩形、正方形的关系,重点难点解析) 矩形、菱形、正方形的性质和判定【例1】下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )11\n A．对边平行且相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补【解析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．【答案】C【针对训练】1．(2022益阳中考)下列性质中菱形不一定具有的性质是( C )A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．下列命题中，真命题是( A )A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形【例2】菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连结EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为________．【解析】根据EF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理求出AC的长，然后根据菱形的面积公式求解．【答案】2【针对训练】3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是__8__．,(第3题图)) ,(第4题图))4．现有一张边长等于a(a＞16)的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是__正方形__(填写图形的形状)(如图)，它的一边长是__8__cm__． 矩形、菱形、正方形的应用【例3】如图①，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF.(1)求证：CE＝CF；(2)如图②，若H为AB上一点，连结CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH＋AB.11\n【解析】(1)由菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，易证得△BCE≌△DCF(S.A.S.)，则可得CE＝CF；(2)由平行线的性质，可得AG＝AB，∠G＝∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE＝∠DCF，然后由∠CHB＝2∠ECB，易证得∠G＝∠HCG，则可得CH＝GH，则可证得结果．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD.∵点E，F分别为AB，AD的中点，∴BE＝AB，DF＝AD.∴BE＝DF.在△BCE和△DCF中，∴△BCE≌△DCF(S.A.S.)，∴CE＝CF；(2)延长BA与CF，交于点G.∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD，AF∥BC，AB∥CD，∴∠G＝∠FCD.∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，∴AG＝DC＝AB.∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB＝∠DCF.∵∠CHB＝2∠ECB，∴∠CHB＝2∠G.∵∠CHB＝∠G＋∠HCG，∴∠G＝∠HCG，∴GH＝CH，∴CH＝AH＋AG＝AH＋AB.【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【针对训练】5．(2022贺州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2，求四边形ABCD的面积．解：(1)∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.11\n∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CBD.∵AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝DO，在△AOD与△COB中，∴△AOD≌△COB，∴AO＝OC.∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝BD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝4，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝4.6．(2022陕西中考)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连结AF，CE交于点G.求证：AG＝CG.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD.∵AE＝CF，∴DE＝DF.在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE(S.A.S.)，∴∠DAF＝∠DCE.在△AGE和△CGF中，∴△AGE≌△CGF(A.A.S.)，∴AG＝CG. 矩形、菱形、正方形的探究【例4】(2022常州中考)如图①，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．11\n(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________(填写图形名称)一定是等角线四边形；②若M，N，P，Q分别是等角线四边形ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，当对角线AC，BD还要满足__________时，四边形MNPQ是正方形．(2)如图②，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点．①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，则四边形ABCD的面积是__3＋2__；②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．【解析】(1)①只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；②当AC⊥BD时，四边形MNPQ是正方形，首先证明四边形MNPQ是菱形，再证明有一个角是直角即可；(2)①作DE⊥AB于E.根据S四边形ABCD＝S△ADE＋S梯形DEBC计算，求出相关线段即可；②如图，设AE与BD相交于点Q，连接CE，只要证明当AC⊥BD且A，C，E共线时，四边形ABED的面积最大即可．【答案】解：(1)①矩形；②AC⊥BD；(2)①3＋2；②如答图中，设AE与BD相交于点Q，连结CE，作DH⊥AE于H，BG⊥AE于G.则DH≤DQ，BG≤BQ.∵四边形ABED是等角线四边形，∴AE＝BD，∵S四边形ABED＝S△ABE＋S△ADE＝·AE·DH＋·AE·BG＝·AE·(GB＋DH)≤·AE·(BQ＋QD)，即S四边形ABED≤AE·BD，∴当G，H重合时，即BD⊥AE时，等号成立．∵AE＝BD，∴S四边形ABED≤AE2，即线段AE最大时，四边形ABED的面积最大，∵AE≤AC＋CE，∴AE≤5＋1，∴AE≤6，∴AE的最大值为6，∴当A，C，E共线时，取等号，∴四边形ABED的面积的最大值为×62＝18.【点评】本题考查四边形综合题、中点四边形、三角形中位线定理、正方形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，11\n会求圆上一点到圆外一定点的距离的最大值或最小值，属于中考压轴题．【针对训练】7．(2022衢州中考)在直角坐标系中，过原点O及点A(8，0)，C(0，6)作矩形OABC，连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF.已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为ts.(1)如图①，当t＝3时，求DF的长；(2)如图②，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；(3)连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1∶2时，求相应的t的值．解：(1)当t＝3时，点E为AB的中点．∵A(8，0)，C(0，6)，∴OA＝8，OC＝6.∵点D为OB的中点，∴DE∥OA，DE＝OA＝4.∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB＝∠DEA＝90°.又∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF＝AE＝3；(2)∠DEF的大小不变．理由如下：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如答图①：∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA，∴＝，＝.∵点D为OB的中点，∴M，N分别是OA，AB的中点，∴DM＝AB＝3，DN＝OA＝4.∵∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDN.11\n又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，∴△DMF∽△DNE，∴＝＝.∵∠EDF＝90°，∴tan∠DEF＝＝；(3)作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1∶2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，如答图②，NE＝3－t，由△DMF∽△DNE，得MF＝(3－t)，∴AF＝4＋MF＝－t＋.∵点G为EF的三等分点，∴G，设直线AD的表达式为y＝kx＋b，把A(8，0)，D(4，3)代入得解得∴直线AD的表达式为y＝－x＋6，把G代入，得t＝；②当点E越过中点之后，如答图③，NE＝t－3，由△DMF∽△DNE，得MF＝(t－3)，∴AF＝4－MF＝－t＋.∵点G为EF的三等分点，∴G，代入直线AD的表达式y＝－x＋6，得t＝；综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1∶2时，t的值为或.11\n,当堂过关检测)1.下列四边形中不一定为菱形的是( A )A．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为__6__．,(第2题图)) ,(第3题图))3．(2022辽阳中考)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连结CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝__5__．4．(2022青岛中考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连结CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD.∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC.在△BCE和△DCF中，∴△BCE≌△DCF(S.A.S.)；(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由(1)得：AE＝OE＝OF＝AF，11\n∴四边形AEOF是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形．11
