小结与复习第二十九章直线与圆的位置关系要点梳理考点讲练课堂小结课后作业,一、点与圆的位置关系●A●B●C点与圆的位置关系点到圆心的距离d与圆的半径r之间关系点在圆外点在圆上点在圆内●Odrd﹥rd=rd﹤r要点梳理,二、直线和圆的位置关系直线与圆的位置关系圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系直线名称直线与圆的交点个数相离相切相交●ldrd﹥r—0d=r切线d﹤r割线2d﹥r—d=r1,三、切线的判定与性质1.切线的判定一般有三种方法：a.定义法：和圆有唯一的一个公共点b.距离法：d=rc.判定定理：过半径的外端且垂直于半径,切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.切线长：从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.2.切线长及切线长定理,四、三角形的内切圆及内心1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.3.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.┐ACI┐┐DEF三角形的内心到三角形的三边的距离相等.重要结论,五、圆内接正多边形OCDABM半径R圆心角弦心距r弦a圆心中心角ABCDEFO半径R边心距r中心类比学习圆内接正多边形外接圆的圆心正多边形的中心外接圆的半径正多边形的半径每一条边所对的圆心角正多边形的中心角边心距正多边形的边心距1.概念,①正多边形的内角和=②中心角=圆内接正多边形的有关概念及性质2.计算公式,考点一点或直线与圆的位置关系例1如图所示，已知∠NON=30°，P是ON上的一点，OP=5㎝，若以P点为圆心，r为半径画圆，使射线OM与⊙P只有一个公共点，求r的值或取值范围.解：当射线OM与⊙P相切时，射线OM与⊙P只有一个公共点.过点P作PA⊥OM于A，如图1所示.在Rt△AOP中，r=PA=OP·sin∠POA=2.5（㎝）.考点讲练,当射线OM与⊙P相交且点O在⊙P内时，射线OM与⊙P只有一个公共点.如图2所示.∵射线OM与⊙P相交，则r＞2.5㎝···①又∵点O在⊙P内，则r＞OP，即r＞5㎝···②综合①、②可得r＞5.综上所述，当射线OM与⊙P只有一个公共点时，r=2.5㎝或r＞5㎝.图2,本题之类的题目中，常因混淆了“直线与圆只有一个交点”和“线段与圆只有一个交点”或“射线与圆只有一个交点”的区别.实际上，当直线与圆只有一个交点时，直线与圆一定相切，而线段与圆只有一个交点或射线与圆只有一个交点时，它们与圆的位置关系可能相切，也可能是相交.方法总结,1.如图，直线l：y=x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为_______．针对训练,例2如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与⊙O是否相切？解：BC与⊙O相切．理由：连接OD，BD，∵DE切⊙O于D，AB为直径，∴∠EDO＝∠ADB＝90°.又DE平分CB，∴DE＝BC＝BE.∴∠EDB＝∠EBD.又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°.∴BC与⊙O相切．考点二切线的性质与判定,2.已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；(2)若PA＝4cm，求△PDE的周长．针对训练,(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；解：(1)连接OA、OB、OC，∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE，∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.∴∠DOE＝∠AOB.∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，∴∠DOE＝55°.,(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C，∴AD＝CD，BE＝CE.∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)(2)若PA＝4cm，求△PDE的周长．,考点三圆内接正多边形例3如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.【解析】观察图形看出，因为四边形ABCD是正方形，所以AC是圆的直径.由于AE，CF都与EF垂直，所以AE与CF平行，所以可以把CF平移到直线AE上，如果点E，F重合时，点C到达点CC'的位置，则构造出一个直角三角形AC'C，在这个直角三角形中利用勾股定理，即可求得正方形ABCD的外接圆的半径，进而求得阴影部分的面积.,解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.∴AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.在Rt△AC'C中，得∴正方形ABCD外接圆的半径为∴正方形ABCD的边长为,当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于90°”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.方法总结,4.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．⑴求正方形EFGH的面积；⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．针对训练解：⑴∵正六边形的边长与其半径相∴EF=OF=5.∵四边形EFGH是正方形，∴FG=EF=5，∴正方形EFGH的面积是25.,⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．⑵∵正六边形的边长与其半径相等，∴∠OFE=600.∴正方形的内角是900，∴∠OFG=∠OFE+∠EFG=600+900=1500.由⑴得OF=FG，∴∠OGF=（1800-∠OFG）=（1800-1500）=150.,考点四有关圆的综合性题目例4如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交⊙P，x轴于点D，E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1）.（1）求证：CD=CF；（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（3）求直线AD的函数表达式.,解：（1）证明：过点D作DH⊥x轴于H，则∠CHD=∠COF=90°，如图所示.∵点F（0，1），点D（6，-1），∴DH=OF=1.∵∠FCO=∠DCH，∴△FOC≌△DHC，∴CD=CF.（2）⊙P与x轴相切.理由如下：连接CP，如图所示.∵AP=PD，CD=CF，∴CP∥AF.∴∠PCE=∠AOC=90°.∴⊙P与x轴相切.,（3）由（2）可知CP是△ADF的中位线.∴AF=2CP.∵AD=2CP，∴AD=AF.连接BD，如图所示.∵AD为⊙P的直径，∴∠ABD=90°.∴BD=OH=6，OB=DH=OF=1.设AD=x，则AB=AF－BF=AD－BF=AD－(OB+OF）=x－2.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2+BD2，即x2=（x－2）2+62，解得x=10.∴OA=AB+OB=8+1=9.∴点A（0，－9）.设直线AD的函数表达式为y=kx+b，把点A（0，－9），D（6，－1）代入，得解得∴直线AD的函数表达式为.,圆与圆有关的位置关系与圆有关的计算点与圆的位置关系点在圆环内：r≤d≤R直线与圆的位置的关系添加辅助线证切线有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.正多边形和圆转化直角三角形课堂小结
