天津市静海县2022年中考数学一模试题（解析版） 新人教版

2022年天津市静海县中考数学一模试卷　一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）（2022•随州）cos30°=（　　）　A．B．C．D．考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：直接根据cos30°=进行解答即可．解答：解：因为cos30°=，所以C正确．故选C．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．　2．（3分）（2022•静海县一模）计算的结果是（　　）　A．2B．±2C．﹣2D．考点：算术平方根．分析：即为4的算术平方根，根据算术平方根的意义求值．解答：解：=2．故选A．点评：本题考查了算术平方根．关键是理解算式是意义．　3．（3分）（2022•静海县一模）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（　　）　A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．解答：解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；21\nD、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．　4．（3分）（2022•静海县一模）下列各式计算正确的是（　　）　A．a2+2a3=3a5B．（2b2）3=6b5C．（3xy）2÷（xy）=3xyD．2x•3x5=6x6考点：整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．分析：根据积的乘方的性质、单项式除法和单项式乘法运算法则利用排除法求解．解答：解：A、a2与2a3不是同类项的不能合并，故本选项错误；B、应为（2b2）3=8b6，故本选项错误；C、应为（3xy）2÷（xy）=9xy，故本选项错误；D、2x•3x5=6x6，正确；故选D．点评：本题考查积的乘方，单项式的除法法则，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．　5．（3分）（2022•盐城模拟）四名运动员参加了射击预选赛，他们成绩的平均环数及其方差s2如表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，那么应选（　　）甲乙丙丁7887S2111.21.8　A．甲B．乙C．丙D．丁考点：方差．分析：此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛．解答：解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．故选B．点评：本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．　6．（3分）（2022•静海县一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为3cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　）21\n　A．cmB．3cmC．3cmD．6cm考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．专题：计算题．分析：根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．解答：解：连接CB．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴圆心O到弦CD的距离为OE；∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，∴∠COB=60°；在Rt△OCE中，OC=3cm，OE=OC•cos∠COB，∴OE=．故选A．点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．　7．（3分）（2022•静海县一模）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为（　　）　A．cm2B．2πcm2C．cm2D．cm2考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体．分析：根据三视图易得此几何体为圆锥，再根据圆锥侧面积公式=（底面周长×母线长）÷2可计算出结果．解答：解：由题意得底面直径为2，母线长为2，21\n∴几何体的侧面积为×2×2π=2π，故选B．点评：此题主要考查了由三视图判断几何体，以及圆锥的侧面积公式的应用，关键是找到等量关系里相应的量．　8．（3分）（2022•静海县一模）如图，▱ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（　　）　A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm考点：平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，又因为OE⊥AC，可得OE是线段AC的垂直平分线，可得AE=CE，即可求得△DCE的周长．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC；∵OE⊥AC，∴AE=EC；∵▱ABCD的周长为16cm，∴CD+AD=8cm；∴△DCE的周长=CD+CE+DE=CD+AD=8cm．故选C．点评：此题主要考查平行四边形的性质和中垂线的性质．　9．（3分）（2022•静海县一模）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）21\n　A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单．解答：解：①当P在AB上运动时，所求三角形底为AP，高为M到AB的距离也就是AD长度因此S△APM=AD•AP=x，函数关系为：y=x（0＜x≤1）；②当P在BC上运动时，S△APM=S梯形ABCM﹣S△ABP﹣S△PCMS△ABP=AB•BP，BP=x﹣1，则S△ABP=x﹣，S△PCM=PC•CM，CM=BC=，PC=3﹣x，S△PCM=，S梯形ABCM=（AB+CM）•BC=，因此S△APM=﹣﹣=﹣+（1＜x≤3）；③当P在CM上运动时，S△APM=CM•AD，CM=﹣x，S△APM=（﹣x）×2=﹣x+（3＜x＜7/2）．故该图象分三段．故选B．21\n点评：本题考查了动点问题的函数图象，难度适中，解答本题的关键是分段讨论并求出x的不同范围内的函数图象．　10．（3分）（2022•杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（　　）　A．2B．3C．4D．5考点：抛物线与x轴的交点．专题：压轴题；推理填空题．分析：整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．解答：解：y=k（x+1）（x﹣）=（x+1）（kx﹣3），所以，抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），AC===，点B坐标为（，0），①k＞0时，点B在x正半轴上，若AC=BC，则=，解得k=3，若AC=AB，则+1=，解得k==，若AB=BC，则+1=，解得k=；②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，只有AC=AB，则﹣1﹣=，解得k=﹣=﹣，所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．故选C．21\n点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论．　二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11．（3分）（2022•北京）分解因式：ab2﹣4ab+4a=　a（b﹣2）2　．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．解答：解：ab2﹣4ab+4a=a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）=a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）故答案为：a（b﹣2）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．　12．（3分）（2022•天津）若分式的值为0，则x的值等于　1　．考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．解答：解：由分式的值为零的条件得x2﹣1=0，x+1≠0，由x2﹣1=0，得x=﹣1或x=1，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴x=1，故答案为1．点评：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．　21\n13．（3分）（2022•静海县一模）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种的可能性相同，则两辆汽车经过十字路口全部继续直行的概率为　　．考点：列表法与树状图法．专题：图表型．分析：画出树状图，然后根据概率公式解答即可．解答：解：根据题意，画出树状图如下：一共有9种情况，两辆汽车经过十字路口全部继续直行的有1种情况，所以，P（两辆汽车经过十字路口全部继续直行）=．故答案为：．点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　14．（3分）（2022•静海县一模）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，F是AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为　4　．考点：全等三角形的判定与性质．分析：求出AD=BD，求出∠ADC=∠ADB=90°，∠CAD=∠FBD，根据ASA证△BDF≌△BDC，根据全等三角形的性质推出DF=DC即可．解答：解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠ADB=∠BEA=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠BFD+∠DBF=90°，∵∠AFE=∠DFB，∴∠CAD=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD，在△BDF和△BDC中21\n∴△BDF≌△BDC（ASA），∴DF=DC=4，故答案为：4．点评：本题考查了垂直定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，定义三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．　15．（3分）（2022•静海县一模）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是　﹣（a+3）　．考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解．解答：解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）=a+1，解得x=﹣（a+3）．故答案为：﹣（a+3）．点评：本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．　16．（3分）（2022•静海县一模）将二次函数y=2（x﹣1）2﹣3的图象沿着y轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是 　（1，0）　．考点：二次函数图象与几何变换．专题：压轴题；数形结合．分析：易得原抛物线的顶点坐标，那么让横坐标不变，纵坐标加3可得到平移后的顶点坐标．解答：解：原抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），∵将二次函数y=2（x﹣1）2﹣3的图象沿着y轴向上平移3个单位，21\n∴新抛物线的顶点的横坐标为1，纵坐标为﹣3+3=0，故答案为（1，0）．点评：考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数的平移，看顶点的平移即可；上下平移只改变顶点的纵坐标，上加下减．　17．（3分）（2022•静海县一模）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解为　x＜　．考点：一次函数与一元一次不等式．分析：把（m，3）代入y=2x即可求得m的值，然后根据函数的图象即可写出不等式的解集．解答：解：把A（m，3）代入y=2x，得：2m=3，解得：m=；根据图象可得：不等式2x＜ax+4的解集是：x＜．故答案是：x＜．点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．　18．（3分）（2022•盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为　　．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：连DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD=45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证RT△DGE≌Rt△DCE，得到DC=DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD=DG=CD．解答：解：连DE，如图，∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，21\n∴∠EAD=45°，由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴RT△DGE≌Rt△DCE，∴DC=DG，又∵△AGD为等腰直角三角形，∴AD=DG=CD，∴矩形ABCD长与宽的比值为．故答案为：．点评：本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角形的性质．　三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．（6分）（2022•静海县一模）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：解：，由①得，x＞﹣1，由②得，x≤4．所以，不等式组的解集为﹣1＜x≤4．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．　20．（8分）（2022•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．21\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：代数综合题；压轴题．分析：（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；（2）PA=OA，则P在以A为圆心，以OA为半径的圆上或P在以O点为圆心，以OA为半径的圆上，圆与坐标轴的交点就是P．解答：解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上．∴n=﹣2×（﹣1）=2∴点A的坐标为（﹣1，2）∵点A在反比例函数的图象上．∴k=﹣2∴反比例函数的解析式是y=﹣．（2）∵A（﹣1，2），∴OA==，∵点P在坐标轴上，∴当点P在x轴上时设P（x，0），∵PA=OA，∴=，解得x=﹣2；当点P在y轴上时，设P（0，y），∴=，解得y=4；当点P在坐标原点，则P（0，0）．∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．21\n点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．　21．（8分）（2022•静海县一模）某小区20户家庭的日用电量（单位：千瓦时）统计如下：日用电量（单位：千瓦时）4567810户数124652（I）求这20个样本数据的平均数、众数和中位数；（II）根据样本数据，估计该小区200户家庭中日均用电量不超过7千瓦时的约有多少户．考点：用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．分析：（Ⅰ）分别利用平均数、众数及中位数的定义进行解答即可；（Ⅱ）根据20户中月用水量不超过7千瓦时的有13户可以求得200户中有130户用电量超过7千瓦时．解答：解：（I）观察表格．可知这组样本救据的平均数是=7∴这组样本数据的平均数为7．∵在这组样本数据中．7出现了6次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为7．∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列．其中处于中间的两个数都是7，∴这组数据的中位数为7．（Ⅱ）∵20户中月均用水量不超过7千瓦时的有13户，有=130．∴根据样本数据，可以估计出该小区200户家庭中日均用电量不超过7千瓦时的约有130户．点评：本题考查了平均数、中位数、众数及用样本估计总体的知识，解题的关键是仔细的看表，并从中找到进一步解题的有关信息．　22．（8分）（2022•静海县一模）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．（I）求证：AP是⊙O的切线；（II）若⊙O半径为4，AP=，求BP的长．21\n考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．分析：（I）连接OP，证OP⊥AP即可；可结合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性质进行证明；（II）由（Ⅰ）可知三角形AOP是直角三角形，利用已知数据和特殊角的三角函数即可求出BP的长．解答：（I）证明：连接OP，∵BE是⊙O的直径，PD⊥BE，∠POC=∠DOC，∵∠APD+∠A=90°，∠CPO+∠POA=90°，而∠AOD=∠APC，∴∠POC=∠APD，∴∠A=∠DPO，从而∠DPO+∠APD=90°，即OP⊥AP，∴AP是⊙O的切线；（Ⅱ）解：∵OP⊥AP，∴△AOP是直角三角形，∠APO=90°∵，tan∠A=，∴∠A=30°，∴∠OPC=30°，∴∠POB=60°，∴PB=OP=4．点评：此题主要考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质、以及相似特殊角的锐角三角函数等知识，难度适中．　23．（8分）（2022•凉山州）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？21\n（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：，，，以上结果均保留到小数点后两位）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；勾股定理．分析：（1）滑滑板增加的长度实际是（AD﹣AB）的长．在Rt△ABC中，通过解直角三角形求出AC的长，进而在Rt△ACD中求出AD的长得解；（2）分别在Rt△ABC、Rt△ACD中求出BC、CD的长，即可求出BD的长，进而可求出改造后滑滑板前方的空地长．若此距离大于等于3米则这样改造安全，反之则不安全．解答：解：（1）在Rt△ABC中，AC=AB•sin45°=4×=2．∵∠ABC=45°，∴AC=BC=2．（2分）在Rt△ADC中，AD===4，AD﹣AB=4﹣4≈1.66．（4分）∴改善后滑板会加长1.66米；（2）这样改造能行，理由如下：（5分）∵CD===2≈4.898，（或CD====2）（6分）BD=CD﹣BC=2﹣2≈4.898﹣2.828≈2.07．（7分）∵6﹣2.07≈3.93＞3，（8分）∴这样改造能行．21\n点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．　24．（8分）（2022•静海县一模）某采摘农场计划种植A、B两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：项目品种AB年亩产（单位：千克）12002000采摘价格（单位：元/千克）6040（1）若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为460000元，那么A、B两种草莓各种多少亩？（2）若要求种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半，那么种植A种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据等量关系：总收入=A地的亩数×年亩产量×采摘价格+B地的亩数×年亩产量×采摘价格，列方程求解．（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，根据题意确定自变量的取值范围，由函数y随x的变化求出最大利润．解答：解：（1）设该农场种植A种草莓x亩，B种草莓（6﹣x）亩（1分）依题意，得：60×1200x+40×2000（6﹣x）=460000（2分）解得：x=2.5，则6﹣x=3.5（3分）（2）由x≥（6﹣x），解得x≥2设农场每年草莓全部被采摘的收入为y元，则：y=60×1200x+40×2000（6﹣x）=﹣8000x+480000（4分）∴当x=2时，y有最大值为464000（5分）答：（1）A种草莓种植2.5亩，B种草莓种植3.5亩（2）若种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半，那么种植A种草莓2亩时，可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多．点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．　21\n25．（10分）（2022•盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为　垂直　，数量关系为　相等　．②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC=2，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．考点：全等三角形的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）可通过证明三角形ABC和三角形ACF全等来实现．因为AD=AF，AB=AC，只要证明∠BAD=∠CAF即可，∠BAD=90°﹣∠DAC=∠FAC，这样就构成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因为∠B+∠ACB=90°，那么∠ACF+ACD=90°，即FC⊥BC，也就是FC⊥BD．（2）可通过构建三角形来求解．过点A作AG⊥AC交BC于点G，如果CF⊥BD，那么∠ACF=∠AGD=90°﹣∠ACD，又因为∠GAD=∠CAE=90°﹣∠CAD．AG=AC那么根据AAS可得出△AGD≌△ACF，AG=AC，又因为∠GAC=90°，可得出∠BCA=45°．因此△BAC满足∠BCA=45°时，CF⊥BD．（3）过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，通过构建与线段相关的三角形相似来求解．图中我们可以看出∠ADQ+∠PDC=90°，那么很容易就能得出，∠QAD=∠PDC，那么就能得出直角三角形ADQ∽直角三角形PDC，那么可得出关于CP、CD、AQ、QD的比例关系，因为∠BCA=45°，∠Q=90°，那么AQ=QC=2，如果设CD=x，那么可用x表示出CD、QD，又知道AQ的值和CP、CD、QD、AQ的比例关系，那么可得出关于CP和x的函数关系式，然后根据函数的性质和x的取值范围求出CP的最大值．解答：解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC21\n又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD∠ACF=∠ABD∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图）理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．（3）当具备∠BCA=45°时，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图），∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA=45°，AC=2，∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．设CD=x，∴DQ=2﹣x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°且∠ADE=90°，∴∠ADQ+∠PDC=90°，又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°∴∠ADQ=∠DPC，∵∠AQD=∠DCP=90°∴△AQD∽△DCP，∴=，∴．∴CP=x2+x=（x﹣1）2+．∵0＜x≤，∴当x=1时，CP有最大值．21\n点评：本题中综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及函数关系式等综合知识．本题的关键是根据题意通过作辅助线来构建出和已知，所求等条件相关的三角形，然后通过相似，全等等知识来求解．　26．（10分）（2022•广州）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．考点：二次函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c；（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=﹣1﹣a，求出方程ax2+bx+1=0，的b2﹣4ac的值即可；（3）设A（a，0），B（b，0），由根与系数的关系得：a+b=，ab=，求出AB=，把y=1代入抛物线得到方程ax2+（﹣1﹣a）x+1=1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，根据△CPD∽△BPA，得出=，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1﹣S2的值即可．解答：（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1=0+0+c，解得：c=1，答：c的值是1．（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，∴b=﹣1﹣a，即ax2+（﹣1﹣a）x+1=0，b2﹣4ac=（﹣1﹣a）2﹣4a=a2﹣2a+1＞0，∴a≠1，答：a的取值范围是a＞0，且a≠1；（3）证明：∵ax2+（﹣1﹣a）x+1=0，∴（ax﹣1）（x﹣1）=0，∴B点坐标是（，0）而A点坐标（1，0）21\n所以AB=﹣1=把y=1代入抛物线得：ax2+（﹣1﹣a）x+1=1，解得：x1=0，x2=，∴过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，则MN⊥X轴，∵CD∥AB，∴△CPD∽△BPA，∴=，∴=，∴PN=，PM=，∴S1﹣S2=••﹣••=1，即不论a为何值，S1﹣S2的值都是常数．答：这个常数是1．点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．21\n21