四川省绵阳市2022年中考数学真题试题（解析版）

绵阳市2022年初中学业考试暨高中阶段学校招生考试数学第一卷（选择题，共36分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的相反数是（C）A．B．C．D．［解析］考查相反数，前面加个负号即可，故选　C。2．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（A）［解析］B不是轴对称图形，C、D都有2条对称轴。3．2022年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（D）A．1.2×10-9米B．1.2×10-8米C．12×10-8米D．1.2×10-7米［解析］科学记数法写成：形式，其中，再数小数位知，选D＞4．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（C）A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●　D．●、▲、■解析：5．把右图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（B）13\n［解析］两个全等的三角形，再侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱，一个底面相邻可以是三个长方形，只有B。6．下列说法正确的是（D）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形［解析］由矩形的性质可知，只有D正确。平行四边形的对角线是互相平行，菱形的对角线互相平分且垂直，故A、C错，等腰梯形的对角线相等B也错。7．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（C）7题图A．B．12mmC．D．［解析］画出正六边形，如图，通过计算　可知，ON＝3，MN＝6，选C。8．朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（B）A．4个B．5个C．10个D．12个［解析］（x个朋友，3x-3=2x+2,x=5）9．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60º，又从A点测得D点的俯角β为30º，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（A）A．20米B．米C．米D．米［解析］GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot∠ACB=30×cot60º=10米，DF=AF•tan30º=10×=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。10题图10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（B）A．B．C．D．［解析］OA=4，OB=3，AB=5，△BDH∽△BOA，BD/AB=BH/OB=DH/OA，6/5=BH/3，BH=18/5，AH=AB-BH=5-18/5=7/5，△AGH∽△ABO，GH/BO=AH/AO，GH/3=7/5/4，GH=21/20。11．“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（D）13\nA．B．C．D．解析：男A男B男C女1女2男A×男B男A男C男A女1男A女2男A男B男A男B×男C男B女1男B女2男B男C男A男C男B男C×女1男C女2男C女1男A女1男B女1男C女1×女2女1女2男A女2男B女2男C女2女1女2×上表中共有20种可能的组合，相同组合（同种颜色表示相同组合）只算一种，余10种组合，其中1男1女的组合有6组，所以一男一女的概率=6/10=3/5.12．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2022=（C）A．（45，77）B．（45，39）C．（32，46）D．（32，23）［解析］第1组的第一个数为1，第2组的第一个数为3，第3组的第一个数为9，第4组的第一个数为19，第5组的第一个数为33……将每组的第一个数组成数列：1，3，9，19，33……分别计作a1,a2,a3,a4,a5……an，an表示第n组的第一个数，a1=1a2=a1+2a3=a2+2+4×1a4=a3+2+4×2a5=a4+2+4×3……an=an-1+2+4×(n-2)将上面各等式左右分别相加得：an=1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n2-4n+3(上面各等式左右分别相加时，抵消了相同部分a1+a2+a3+a4+a5+……+an-1)，当n=45时，an=3873>2022,2022不在第45组当n=32时，an=1923<2022,(2022-1923)÷2+1=46,　　　A2022=(32,46).如果是非选择题：则2n2-4n+3≤2022，2n2-4n-2022≤0，假如2022是某组的第一个数，则2n2-4n-2022=0，解得n=1+,31<<32,32<n<33,2022在第32组，但不是第32组的第一个数，a32=1923,(2022-1923)÷2+1=46.(注意区别an和An)第二卷（非选择题，共114分）二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。将答案填写在答题卡相应的横线上。13\n13．因式分解：=x2y2(y+x)(y-x)。［解析］提取公因式x2y2，再用平方差公式。14．如图，AC、BD相交于O，AB//DC，AB=BC，∠D=40º，∠ACB=35º，则∠AOD=75º。［解析］∠ABO＝∠D=40º，∠A＝∠ACB=35º，∠AOD=∠A＋∠ABO=75º15．如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是（3，3）。15题图14题图［解析］依题，可建立平面直角坐标系，如下图：平移后可得右眼B（3,3）16．对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为14。［解析］连接AC，四边形ABCD是正方形，AC⊥BD，E、F分别BC、CD的中点，EF//BD，AC⊥EF，CF=CE，△EFC是等腰直角三角形，直线AC是△EFC底边上的高所在直线，根据等腰三角形“三线合一”，AC必过EF的中点G，点A、O、G和C在同一条直线上，OC=OB=OD，OC⊥OB，FG是△DCO的中位线，OG=CG=OC,M、N分别是OB、OD的中点，OM=BM=OB，ON=DN=OD，OG=OM=BM=ON=DN=BD，等腰直角三角形GOM的面积为1，OM•OG=OM2=1，OM=,BD=4OM=4,2AD2=BD2=32,AD=4,图2中飞机面积图1中多边形ABEFD的面积，飞机面积=正方形ABCD面积-三角形CEF面积=16-2=14。13\nOxy1-118题图17．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程，则△ABC的周长是10。［解析］△=(-3)2-32≥0,≤k<5,k为整数，k=4,x2-6x+8=0,x=2或4，△ABC的边长为2、4，则只能是等腰三角形，2+2≮4，以2、2、4为边长不能构成三角形；4-4<2,4+4>2，以4、4、2为边长能构成等腰三角形，所以△ABC的周长=4+4+2=10。18．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n＜；④3|a|+|c|＜2|b|。其中正确的结论是①③④（写出你认为正确的所有结论序号）.［解析］抛物线开口向下，a<0,2a<0,对称轴x=>1,-b<2a,2a+b>0，①正确；-b<2a,b>-2a>0>a,令抛物线的解析式为y=-x2+bx-,此时，a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2，则（+2）/2=-b/(-),b=,抛物线y=-x2+x-符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c（其实a>c,a<c,a=c都有可能），②错误；-1＜m＜n＜1，-2<m+n<2,抛物线的对称轴为x=>1，>2，m+n<，③正确；当x=1时，a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,3a+c>-2b,-3a-c<2b,a<0,c<0,b>0,3|a|+|c|=-3a-c<2b=2|b|,④正确。三．解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）（1）计算：；解：原式=-+|1-|×2(+1)=-+(-1)×2(+1)=-+2[（）2-12]=2-=13\n（2）解方程：解：=x+2=3x=1经检验，x=1是原方程的增根，原方程无解。20．（本题满分12分）为了从甲．乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：图1甲、乙射击成绩统计表平均数中位数方差命中10环的次数甲7740乙77．55．41图2甲、乙射击成绩折线图（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；答：甲胜出。因为S甲2<S乙2（甲的方差小于乙的方差），甲的成绩较稳定。（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？答：如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环（10环）次数多者胜出。因为甲乙的平均成绩相同，乙只有第5次射击比第四次射击少命中1环，且命中1次10环，而甲第2次比第1次、第4次比第3次，第5次比第4次命中环数都低，且命中10环的次数为0次，即随着比赛的进行，乙的射击成绩越来越好。21．（本题满分12分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE。（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；13\n（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积。解（1）直线CD与⊙O相切。证明：连结AC，OA=OC，∠OAC=∠OCA，AC平分∠DAB，∠DAC=∠OAC，∠DAC=∠OCA，AD//OC，AD⊥CD，OC⊥CD，CD与⊙O相切。（2）连结OE，，点E是的中点，，∠DAC=∠ECA（相等的弧所对的圆周角相等），∠DAC=∠OAC（（1）中已证），∠ECA=∠OAC，CE//OA，AD//OC，四边形AOCE是平行四边形，CE=OA，AE=OC，OA=OC=OE=1，OC=OE=CE=OA=AE=1，四边形AOCE是菱形，△OCE是等边三角形，∠OCE=60º，∠OCD=90º，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90º-60º=30º，AD⊥CD，在Rt△DCE中，ED=CE=,DC=cos30º•CE=,CE弧与CE弦所围成部分的面积=AE弧与AE弦所围成部分的面积，S阴影=S△DCE=•ED•DC=××=.答：图中阴影部分的面积为。22．（本题满分12分）如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；22题图（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值。解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是AB的中点，AE=2，OA=2，，点E（2，2）在双曲线y=上，k=2×2=4,点F在直线BC及双曲线y=，设点F的坐标为（4，f）,f==1,所以点F的坐标为（4，1）.(2)①证明：△DEF是由△BEF沿EF对折得到的，∠EDF=∠EBF=90º，点D在直线OC上，∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º，∠DGE=∠FCD=90º，∠GDE+∠GED=90º，∠CDF=∠GED，△EGD∽△DCF；②设点E的坐标为（a,2）,点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y=上，k=2a=4b,a=2b,所以有点E（2b,2）,AE=2b,AB=4,13\nED=EB=4-2b,EG=OA=CB=2,CF=b,DF=BF=CB-CF=2-b,DC===2,△EGD∽△DCF,=,=,b=,有点F（4，），k=4×=3.23．（本题满分12分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2022年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x,根据题意列方程：64（1+x）2=100,解得x=-225%（不合题意，舍去）,x=25%100×(1+25%)=125(辆)答：该商城4月份卖出125辆自行车。（2）设进B型车x辆，则进A型车辆，根据题意得不等式组2x≤≤2.8x，解得12.5≤x≤15,自行车辆数为整数，所以13≤x≤15,销售利润W=（700-500）×+（1300-1000）x.整理得：W=-100x+12000，∵W随着x的增大而减小,∴当x=13时，销售利润W有最大值，此时，=34，所以该商城应进入A型车34辆，B型车13辆。24．（本题满分12分）ABCDOxyl如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。解：（1）①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C13\n的坐标为（0，-2），c=-2,-,b=0,点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2.二次函数的解析式为y=2x2-2；②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）；（2）∠BOC=∠PDB=90º，点P在直线x=m上，设点P的坐标为（m,p）,OB=1，OC=2，DB=m-1,DP=|p|，①当△BOC∽△PDB时，,,p=或p=,点P的坐标为（m，）或（m，）；②当△BOC∽△BDP时，，，p=2m-2或p=2-2m,点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；综上所述点P的坐标为（m，）、（m，）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；（3）不存在满足条件的点Q。点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，令点Q的坐标为（x,2x2-2），x>1,过点Q作QE⊥直线l,垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB，∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，①当P的坐标为（m，）时，m-x=，m=0m=12x2-2-=m-1,x=x=1与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；②当P的坐标为（m，）时，x-m=m=-m=12x2-2-=m-1,x=-x=1与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；③当P的坐标为（m，2m-2）时，m-x=2m-2m=m=12x2-2-(2m-2)=m-1,x=-x=1与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；④当P的坐标为（m，2-2m）时，x-m=2m-2m=m=113\n2x2-2-(2-2m)=m-1x=-x=1与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；综上所述，不存在满足条件的点Q。13\n25．（本题满分14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值。解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。∵点O是△ABC的重心，∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD，AC//PD，∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，△OPD∽△CA，==,=,∴；（2）点O是是△ABC的重心。证明：如图2，作△ABC的中线CP，与AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知，而，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；13\n（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别与AC、AB交于点M、N，∵点O是△ABC的重心，∴=，=,∵在△ABE中，OM//AB，==，OM=AB，在△ACF中，ON//AC，==，ON=AC，在△AGH中，OM//AH，=，在△ACH中，ON//AH，=，∴+=+=1，+=1,+=3,令=m,=n,m=3-n,∵=,===-1=mn-1=(3-n)n-1=-n2+3n-1=-(n-)2+,∴当=n=，GH//BC时，有最大值。附：或的另外两种证明方法的作图。方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。13\n下面的图解也能说明问题：13