四川省眉山市2022年中考数学适应性考试试卷（解析版）

四川省眉山市2022年中考适应性考试数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确答案填涂在答题卡相应位置.1．（3分）（2022•眉山模拟）如果a的相反数是，那么a的值是（　　）　A．﹣3B．3C．D．考点：相反数专题：计算题．分析：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，﹣的相反数为．解答：解：∵与a符号相反的数是，而与符号相反的数是，∴a=；故选D．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．　2．（3分）（2022•眉山模拟）能使有意义的x的取值范围是（　　）　A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＞0D．x≥﹣2且x≠0考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件专题：计算题．分析：让二次根式的被开方数大于或等于0，分母不为0，列不等式求解即可．解答：解：由题意得：x+2≥0，且x≠0；解得：x≥﹣2且x≠0，故选D．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．　3．（3分）（2022•眉山模拟）下列各式运算正确的是（　　）　A．（a2）3=a5B．a2•a3=a6C．a3﹣a=a2D．2a+3a=5a考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；B、应为a2•a3=a5，故本选项错误；C、a3与a不是同类项的不能合并，故本选项错误；21\nD、2a+3a=5a，正确．故选D．点评：本题主要考查幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．　4．（3分）（2022•眉山模拟）在“百度”搜索引擎中输入“初中数学教育”，能搜索到与之相关的网页约为8680000个，将这个数用科学记数法表示为（　　）　A．8.68×105B．86.8×106C．8.68×106D．8.68×107考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将8680000用科学记数法表示为8.68×106．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　5．（3分）（2022•眉山模拟）如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是（　　）　A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图专题：几何图形问题．分析：得到从左往右看组合几何体得到的平面图形中包含的2列正方形的个数即可．解答：解：从左往右看，得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，故选C．点评：考查三视图中的左视图知识：左视图是从左往右看几何体得到的平面图形；得到左视图的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．　6．（3分）（2022•义乌）在下列命题中，正确的是（　　）　A．一组对边平行的四边形是平行四边形　B．有一个角是直角的四边形是矩形　C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形　对角线互相垂直平分的四边形是正方形21\nD．考点：命题与定理专题：综合题．分析：要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．解答：解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；B、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；C、符合菱形定义；D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选C．点评：本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别．　7．（3分）（2022•泰安）两实数根的和是3的一元二次方程为（　　）　A．x2+3x﹣5=0B．x2﹣3x+5=0C．2x2﹣6x+3=0D．3x2﹣9x+8=0考点：根与系数的关系分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是3，先检验两根之和是否为3．又因为此方程有两实数根，所以△必须大于等于0，然后检验方程中的△与0的关系．解答：解：检查方程是否正确，不要只看两根之和是否为3，还要检验△是否大于0．第一个选项中，假设此方程有两实数根，两根之和等于﹣3，所以此选项不正确；第二个选项中，虽然直接计算两根之和等于﹣3，其实该方程中△=（﹣3）2﹣4×5＜0，因此此方程无解，所以此选项不正确；第三个选项中，直接计算两根之和等于﹣3，且该方程中△=（﹣6）2﹣4×2×3＞0，所以此选项正确；第四个选项中，虽然直接计算两根之和等于﹣3，其实该方程中△=（﹣9）2﹣4×3×8＜0，因此此方程无解，所以此选项不正确．故选C．点评：检查方程是否正确，不要只看两根之和是否为3，还要检验△是否大于0．考虑问题要全面，不要忽略△与0的关系．　8．（3分）（2022•眉山模拟）如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，若∠ADC=70°，则∠ABD的度数为（　　）　A．50°B．40°C．30°D．20°21\n考点：圆周角定理分析：要求∠ABD，即可求∠C，因为CD是⊙O的直径，所以∠CAD=90°，又∠ADC=70°，故∠C可求．解答：解：CD是⊙O的直径，则∠CAD=90°，∠C=∠ABD=90°﹣∠ADC=90°﹣70°=20°．故选D．点评：本题利用了圆周角定理和直径对的圆周角是直角求解．　9．（3分）（2022•眉山模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）　A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k≤1D．k≤1且k≠0考点：根的判别式；一元二次方程的定义专题：计算题．分析：根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解答：解：根据题意得k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1且k≠0．故选A．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．　10．（3分）（2022•遂宁）某车间5名工人日加工零件数分别为6，10，4，5，4，则这组数据的中位数和众数分别是（　　）　A．4，5B．5，4C．6，4D．10，6考点：众数；中位数分析：中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．本题中应是第3个数．众数是指一组数据中出现次数最多的数据．4出现2次．解答：解：∵数据由低到高排序为：4，4，5，6，10，∴中位数为5；∵4出现了2次，次数最多，∴众数是4．故选B．点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，比较简单．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．　21\n11．（3分）（2022•眉山模拟）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为（　　）　A．3B．6C．D．考点：翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；解直角三角形专题：压轴题．分析：结合已知条件可知AC=3，∠A=30°，推出∠D=30°，因此CE：DE=1：2，即CE：AC=1：3，即可推出CE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=6，∠A=30°，∴AC=3，∠A=∠D=30°∴CE：DE=1：2，∵AE=DE，∴CE：AC=1：3，∴CE=．故选择D．点评：本题主要考查翻折变换的性质、直角三角形的性质，解题的关键在根据直角三角形三边的关系求出内角的度数，既而求出CE和AC的比例．　12．（3分）（2022•眉山模拟）函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（　　）　A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④考点：反比例函数系数k的几何意义21\n专题：压轴题．分析：由于A、B是反比函数y=上的点，可得出S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．解答：解：∵A、B是反比函数y=上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；∵P是y=的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；连接OP，===4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选C．点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．　二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.将正确答案填在答题卡相应位置上13．（3分）（2022•泸州）分解因式：x2y﹣4y=　y（x+2）（x﹣2）　．考点：提公因式法与公式法的综合运用21\n专题：压轴题．分析：先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．解答：解：x2y﹣4y，=y（x2﹣4），=y（x+2）（x﹣2）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．　14．（3分）（2022•漳州）漳州市某校在开展庆“六•一”活动前夕，从该校七年级共400名学生中，随机抽取40名学生进行“你最喜欢的活动”问卷调查，调查结果如下表：你最喜欢的活动猜谜唱歌投篮跳绳其它人数681682请你估计该校七年级学生中，最喜欢“投篮”这项活动的约有　160　人．考点：用样本估计总体分析：首先求得40人中最喜欢投篮活动的百分比，然后乘以总人数即可．解答：解：最喜欢投篮游戏的人数为：400×=160人，故答案为160．点评：本题考查了用样本估计总体，解题的关键是根据图表得到喜欢投篮的人数的比例．　15．（3分）（2022•西宁）如图，直线y=kx+b经过A（﹣1，1）和B（﹣，0）两点，则关于x的不等式组0＜kx+b＜﹣x的解集为　﹣＜x＜﹣1　．考点：一次函数与一元一次不等式专题：压轴题．分析：由于直线y=kx+b经过A（﹣1，1）和B（﹣，0）两点，分别利用图象得出x取值范围，然后即可求出不等式组0＜kx+b＜﹣x的解集．，解答：解：∵直线y=kx+b经过B（﹣，0）两点，又y=kx+b，∴0＜kx+b，就是y＞0，y＞0的范围在x轴的上方，此时：﹣＜x，∵直线y=kx+b经过A（﹣1，1）则y=﹣x，那么就是A点左侧kx+b＜﹣x，得：x＜﹣1，故不等式组0＜kx+b＜﹣x的解集为：﹣＜x＜﹣1．故答案为：﹣＜x＜﹣1．点评：此题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的解法．此题利用数形结合得出是解题的关键．　21\n16．（3分）（2022•百色）如图，Rt△OA1B1是由Rt△OAB绕点O顺时针方向旋转得到的，且A、O、B1三点共线．如果∠OAB=90°，∠AOB=30°，OA=．则图中阴影部分的面积为　　．（结果保留π）考点：扇形面积的计算；旋转的性质专题：压轴题．分析：在直角△OAB中，利用三角函数即可求得AB、OA、OB的长度，求得△ABO的面积，扇形BOB′的面积，依据图中阴影部分的面积为：S扇形BOB′﹣S△OAB即可求解．解答：解：∵Rt△OAB中∠OAB=90°，∠AOB=30°，OA=．∴AB=OA•tan∠AOB=×=1，OB=2，∠BOB′=180°﹣30°=150°，∴S△OAB=AB•OA=×1×=，S扇形BOB′==π，则图中阴影部分的面积为．故答案是：．点评：本题考查了扇形的面积公式，理解图中阴影部分的面积为：S扇形BOB′﹣S△OAB是解题的关键．　17．（3分）（2022•泰安）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为　﹣3b　．考点：二次根式的性质与化简分析：根据数轴上点的坐标特点，判断出可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a﹣2b＞0，a+b＜0，再把二次根式化简即可．解答：解：根据数轴可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a﹣2b＞0，a+b＜0，∴=﹣（a+b）=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b．点评：本题主要考查了绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．21\n二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a＜0时，=﹣a．解题关键是先判断所求的代数式的正负性．　18．（3分）（2022•宜宾）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=　﹣1　．考点：正方形的性质；角平分线的性质分析：过E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．解答：解：过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO=EF，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC=，∴CO=AC=，∴CF=CO=，∴EF=DF=DC﹣CF=1﹣，∴DE==﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．　三、计算题：本大题共2个小题，每小题6分，共12分.请把解答过程写在答题卡上相应的位置.21\n19．（6分）（2022•攀枝花）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=﹣1﹣2×+1+=﹣1﹣+1+=．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．　20．（6分）（2022•仙桃）先化简，再求值：，其中x=2﹣．考点：分式的化简求值；分母有理化、分析：先把分式化简：先除后减，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分；做减法运算时，应是同分母，可以直接通分．最后把数代入求值．解答：解：原式===；当x=2﹣时，原式==﹣．点评：考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等．　四、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．请把解答过程写在答题卡上相应的位置.21．（8分）（2022•眉山模拟）如图，在网格图中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，2）、C（﹣1，1）．（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1绕C1顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2；（3）△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：　（0，0）　；并计算△ABC的面积：　1.5　．21\n（4）在坐标轴上是否存在P点，使得△PAB与△CAB的面积相等？若有，则求出点P的坐标．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换专题：作图题．分析：（1）根据网格结构找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出△A1B1C1绕C1顺时针方向旋转90°后各点的对应点的位置，然后顺次连接即可；（3）观察图形可知，对称中心为坐标原点，再利用三角形所在的长方形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式进行计算即可得解；（4）根据点A的纵坐标，点B的横坐标的长度都是3求解即可．解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1为所求作的图形；（2）如图所示：△A2B2C2为所求作的图形；（3）对称中心：（0，0），S△ABC=2×2﹣×1×1﹣×1×2﹣×1×2=4﹣0.5﹣1﹣1=1.5；（4）∵点A的纵坐标为3，∴点P为（0，2）时，△PAB与△CAB的面积相等；∵点B的横坐标是﹣3，∵点P为（﹣2，0）时，△PAB与△CAB的面积相等；∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，2）．21\n点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，以及三角形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．　22．（8分）（2022•随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题专题：压轴题．分析：由i的值求得大堤的高度h，点A到点B的水平距离a，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD．解答：解：作AE⊥CE于E，设大堤的高度为h，点A到点B的水平距离为a，∵i=1：=，∴坡AB与水平的角度为30°，∴，即得h==10m，，即得a=，∴MN=BC+a=（30+10）m，∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°，∴，解得：DN=MN•tan30°=（30+10）×=10+10≈27.32（m），∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）．答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米．21\n点评：本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由i的值求得大堤的高度和点A到点B的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度．　五、本大题共2个小题，每小题9分，共18分．请把解答过程写在答题卡上相应的位置．23．（9分）（2022•烟台）“五•一”假期，某公司组织部分员工分别到A、B、C、D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：（1）若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；（2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？（3）若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李”．试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？考点：游戏公平性；条形统计图；概率公式；列表法与树状图法分析：（1）首先设D地车票有x张，根据去D地的车票占全部车票的10%列方程即可求得去D地的车票的数量，则可补全统计图；（2）根据概率公式直接求解即可求得答案；（3）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较是否相等即可求得答案．解答：解：（1）设D地车票有x张，则x=（x+20+40+30）×10%，解得x=10．即D地车票有10张．补全统计图如图所示．（2）小胡抽到去A地的概率为=．（3）不公平．以列表法说明：小李掷得数字小王掷得数字12341（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）21\n2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）或者画树状图法说明（如图）由此可知，共有16种等可能结果．其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）．∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为=．则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为=．∴这个规则对双方不公平．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与概率公式得到应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　24．（9分）（2022•眉山模拟）为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买一批节省能源的10台新机器．现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格、工作量如下表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元．（1）求a，b的值；（2）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供选择；（3）在（2）的条件下，若每月要求产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．甲型乙型价格（万元/台）ab21\n产量（吨/月）240180考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用专题：应用题．分析：（1）因为购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元，所以可列出方程组，解之即可；（2）可设购买污水处理设备甲型设备x台，乙型设备（10﹣x）台，则有12x+10（10﹣x）≤110，解之确定x的值，即可确定方案；（3）因为每月要求处理洋澜湖的污水量不低于2040吨，所以有240x+200（10﹣x）≥2040，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择．解答：解：（1）由题意得：，∴；（2）设购买污水处理设备甲型设备x台，乙型设备（10﹣x）台，则：12x+10（10﹣x）≤110，∴x≤5，∵x取非负整数∴x=0，1，2，3，4，5，∴有6种购买方案．（3）由题意：240x+180（10﹣x）≥2040，∴x≥4∴x为4或5．当x=4时，购买资金为：12×4+10×6=108（万元），当x=5时，购买资金为：12×5+10×5=110（万元），∴最省钱的购买方案为，应选购甲型设备4台，乙型设备6台．点评：本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论求得方案的问题．　一、本大题共1个小题，共9分，请把解答过程写在答题卡上相应的位置.25．（9分）（2022•营口）如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：AE=DF；（2）如图2，若AB=2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；（3）如图3，若AB=，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．①直接写出线段AE长度的取值范围；②判断△GEF的形状，并说明理由．21\n考点：相似形综合题专题：压轴题．分析：（1）由条件可以得出AM=DM，∠A=∠ADF=90°，∠AME=∠DMF，可以证明△AEM≌△DFM，就可以得出结论．（2）过点G作GH⊥AD于H，通过条件可以证明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，进而得出∠EGM=45°，再由（1）的结论可以得出∠EGF=90°，从而得出结论．（3）①当点G、C重合时利用三角形相似就可以求出AE的值，从而求出AE的取值范围．②过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，证明△AEM∽△HMG，可以得出，从而求出tan∠MEG=，就可以求出∠MEG=60°，就可以得出结论．解答：解：（1）如图1，证明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM．∴AE=DF．（2）答：△GEF是等腰直角三角形．证明：过点G作GH⊥AD于H，如图2，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形．∴GH=AB=2．∵MG⊥EF，∴∠GME=90°．∴∠AME+∠GMH=90°．∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH．∴△AEM≌△HMG．∴ME=MG．∴∠EGM=45°．由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF．∵MG⊥EF，∴GE=GF．∴∠EGF=2∠EGM=90°．21\n∴△GEF是等腰直角三角形．（3）①当C、G重合时，如图4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°，∴∠AME+∠AEM=90°．∵MG⊥EF，∴∠EMG=90°．∴∠AME+∠DMC=90°，∴∠AEM=∠DMC，∴△AEM∽△DMC∴，∴，∴AE=∴＜AE≤．②△GEF是等边三角形．证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，如图3，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形．∴GH=AB=2．∵MG⊥EF，∴∠GME=90°．∴∠AME+∠GMH=90°．∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH．又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG．∴．在Rt△GME中，∴tan∠MEG==．∴∠MEG=60°．　由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF．∵MG⊥EF，∴GE=GF．∴△GEF是等边三角形．21\n点评：本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定．在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键．　二、本大题共1个小题，共11分，请把解答过程写在答题卡上相应的位置.26．（11分）（2022•湖州）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（﹣，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；21\n（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜）①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）考点：二次函数综合题专题：压轴题．分析：（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；（2）本问是难点所在，需要认真全面地分析解答：①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值；（II）若∠DFA=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值；（III）∠DAF≠90°，此时t不存在；②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围．确定限制条件是解题的关键．解答：解：（1）由题意得AB的中点坐标为（﹣，0），CD的中点坐标为（0，3），分别代入y=ax2+b得，解得，，∴y=﹣x2+3．（2）①如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°21\n∴EC=BC=，DE=又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°∴∠ADC=180°﹣60°=120°要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角．（I）若∠ADF=90°∠EDF=120°﹣90°=30°在Rt△DEF中，DE=，求得EF=1，DF=2．又∵E（t，3），F（t，﹣t2+3），∴EF=3﹣（﹣t2+3）=t2∴t2=1，∵t＞0，∴t=1此时=2，，∴，又∵∠ADF=∠DEF∴△ADF∽△DEF（II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则设EF=m，则FB=3﹣m∴，即m2﹣3m+6=0，此方程无实数根．∴此时t不存在；（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°∴∠DAF≠90°，此时t不存在．综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似；②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N．观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N．∵F（t，3﹣t2），∴EF=3﹣（3﹣t2）=t2，∴EE′=2EF=2t2，由EE′≤BE，得2t2≤3，解得t≤．∵C′E′=CE=，∴C′点的横坐标为t﹣，∴MN=3﹣（t﹣）2，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t2，由MN≥C′N，得3﹣（t﹣）2≥3﹣2t2，解得t≥或t≤﹣﹣3（舍）．∴t的取值范围为：．21\n点评：本题是动线型中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换（平移与旋转）、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点，难度较大，对考生能力要求很高．本题难点在于第（2）问，（2）①中，需要结合△ADF与△DEF相似的三种情况，分别进行讨论，避免漏解；（2）②中，确定“限制条件”是解题关键．21