2022年四川省泸州市泸县九中中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（3分）（2022•乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500元记作500元，那么支出237元应记作（ ） A．﹣500元B．﹣237元C．237元D．500元考点：正数和负数．分析：根据题意237元应记作﹣237元．解答：解：根据题意，支出237元应记作﹣237元．故选B．点评：此题考查用正负数表示两个具有相反意义的量，属基础题． 2．（3分）（2022•连云港）﹣3的绝对值是（ ） A．3B．﹣3C．D．考点：绝对值．分析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．解答：解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选A．点评：考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．（3分）（2022•成都）函数中，自变量x的取值范围是（ ） A．x＞2B．x＜2C．x≠2D．x≠﹣2考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，x﹣2≠0，解得x≠2．故选C．点评：本题考查了函数自变量的取值范围，用到的知识点为：分式有意义，分母不为0． 4．（3分）（2022•乐山）计算（﹣x）3÷（﹣x）2的结果是（ ） A．﹣xB．xC．﹣x5D．x5考点：整式的除法．分析：本题需先根据整式的除法法则和顺序进行计算即可求出正确答案．解答：解：（﹣x）3÷（﹣x）2=﹣x3÷x2=﹣x；故选A．点评：本题主要考查了整式的除法，在解题时要注意运算顺序和结果的符号是本题的关键． 5．（3分）（2022•内江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）13\n A．4个B．3个C．2个D．1个考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．解答：解：∵从左到右第一个和第三个图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它们是轴对称图形；∵从左到右第二个和第四个图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形；∴既是轴对称又是中心对称图形的有两个，故选C．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 6．（3分）（2022•乐山）⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，这两圆的位置关系是（ ） A．内含B．内切C．相交D．外切考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙O1的半径r=3，⊙O2的半径r=2，∴3+2=5，∵两圆的圆心距为O1O2=5，∴两圆的位置关系是外切．故选D．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是熟记两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系． 7．（3分）（2022•乐山）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，下列式子成立的是（ ） A．ab＞0B．a+b＜0C．（b﹣1）（a+1）＞0D．（b﹣1）（a﹣1）＞0考点：数轴；有理数的混合运算．专题：存在型．分析：根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．解答：解：a、b两点在数轴上的位置可知：﹣1＜a＜0，b＞1，∴ab＜0，a+b＞0，故A、B错误；∵﹣1＜a＜0，b＞1，∴b﹣1＞0，a+1＞0，a﹣1＜0故C正确，D错误．故选C．点评：本题考查的是数轴的特点，根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．13\n 8．（3分）（2022•资阳）如果4张扑克按图1的形式摆放在桌面上，将其中一张旋转180°后，扑克的放置情况如图2所示，那么旋转的扑克从左起是（ ） A．第一张B．第二张C．第三张D．第四张考点：中心对称图形；生活中的旋转现象．专题：应用题．分析：根据中心对称图形的定义和扑克牌的花色即可求解．解答：解：观察两个图中可以发现，只有黑桃5中间的桃心发生了变化，所以旋转的扑克是黑桃5．故选B．点评：当所有图形都没有变化的时候，旋转的是成中心对称图形的那个；有一个有变化的时候，旋转的便是有变化的那个． 9．（3分）（2022•成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A．100（1+x）=121B．100（1﹣x）=121C．100（1+x）2=121D．100（1﹣x）2=121考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题；压轴题．分析：设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．解答：解：设平均每次提价的百分率为x，根据题意得：100（1+x）2=121，故选C．点评：此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”． 10．（3分）（2022•黔东南州）如图，若Rt△ABC，∠C=90°，CD为斜边上的高，AC=m，AB=n，则△ACD的面积与△BCD的面积比的值是（ ）13\n A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：先根据题意判断出Rt△ADC∽Rt△ABC，利用对应线段成比例求得线段AD的长，然后再得到△ACD∽△BCD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可．解答：解：∵CD⊥AD于点D，∠C=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴△ACD∽ABC，∴即：AD==∴在直角三角形ADC中，由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2=m2﹣，∵∠B=∠ACD∴△ACD∽△BCD，∴=（）2===，故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是两次证得直角三角形相似并利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得两三角形面积的比． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）若+|y﹣1|=0，那么x= ，y= 1 ．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．专题：方程思想．分析：根据非负数的性质列出方程组求出x、y的值即可．解答：解：∵+|y﹣1|=0，∴，解得．故答案为：，1．13\n点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 12．（4分）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足a2﹣6a+9+，则△ABC的形状是 直角 三角形．考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；配方法的应用．分析：首先根据非负数的性质可得a=3，b=4，c=5，再根据数之间的关系可得△ABC的形状是直角三角形．解答：解：∵a2﹣6a+9+，∴（a﹣3）2+，a﹣3=0，b﹣4=0，c﹣5=0，解得：a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，∴△ABC的形状是直角三角形；故答案为：直角．点评：此题主要考查了非负数的性质以及勾股定理逆定理，关键是根据非负数的性质计算出a、b、c的值． 13．（4分）（2022•乐山）一个盒中装着大小、外形一模一样的x颗白色弹珠和y颗黑色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是．如果再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取得白色弹珠的概率是，则原来盒中有白色弹珠 4 颗．考点：概率公式．专题：压轴题．分析：根据从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，可得方程=又由再往盒中放进12颗白色棋子，取得白色棋子的概率是可得方程=联立即可求得x的值．解答：解：∵取得白色棋子的概率是，可得方程=又由再往盒中放进12颗白色棋子，取得白色棋子的概率是∴可得方程=，组成方程组解得：x=4，y=8故答案为4．点评：本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 14．（4分）（2022•成都）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=，0C=1，则半径OB的长为 2 ．13\n考点：垂径定理；勾股定理．专题：压轴题；探究型．分析：先根据垂径定理得出BC的长，再在Rt△OBC中利用勾股定理求出OB的长即可．解答：解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=，∴BC=AB=∵0C=1，∴在Rt△OBC中，OB===2．故答案为：2．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，先求出BC的长，再利用勾股定理求出OB的长是解答此题的关键． 15．（4分）（2022•广安）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 240 度．考点：多边形内角与外角．专题：压轴题；数形结合．分析：利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．解答：解：∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°，∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°，故答案为240．点评：考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点． 三、作图题：16．（3分）如图所示，已知△ABC和旋转中心点O及点A的对应点D，请画出△ABC旋转后的图形△DEF．13\n考点：作图-旋转变换．专题：压轴题．分析：将△ABC的三个顶点绕点O旋转，顶点A的对应点为D，则旋转角是∠AOD，其它两点旋转角度也是点A旋转的角度，找到另两点的对应点后，顺次连接画出旋转后的图形．解答：解：如图所示：点评：此题主要考查了作旋转图形，本题的关键是没有给旋转的角度，就可从点A与它的对应点上找到这个角度，然后依次去旋转另两点，找到对应点． 四、计算和解方程（本大题共2个小题，共10分）17．（10分）（1）；（2）2（x﹣3）=x2﹣9．考点：解一元二次方程-配方法；二次根式的混合运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）原式利用乘法分配律变形后，利用二次根式的乘法法则计算，即可得到结果；（2）原式右边整体移项到左边并利用平方差公式分解因式，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：（1）原式=×3×2﹣2×2﹣×2=6﹣12﹣6=6﹣18；（2）方程移项得：2（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2﹣x﹣3）=0，可得x﹣3=0或2﹣x﹣3=0，解得：x1=3，x2=﹣1．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，以及二次根式的化简，利用配方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 五、解答题（本大题共4个小题，共20分）18．（5分）k取什么值时，关于x的方程4x2﹣（k+2）x+k﹣1=0有两个相等的实数根，求出这时方程的根．考点：根的判别式．分析：由关于x的方程4x2﹣（k+2）x+k﹣1=0有两个相等的实数根，即可得判别式△=[﹣（k+2）13\n]2﹣4×4×（k﹣1）=0，解此一元二次方程即可求得k的值；然后代入k，利用直接开平方法，即可求得这时方程的根．解答：解：∵关于x的方程4x2﹣（k+2）x+k﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=[﹣（k+2）]2﹣4×4×（k﹣1）=k2﹣12k+20=0，解得：k1=2，k2=10；∴k=2或10时，关于x的方程4x2﹣（k+2）x+k﹣1=0有两个相等的实数根．当k=2时，原方程为：4x2﹣4x+1=0，即（2x﹣1）2=0，解得：x1=x2=；当k=10时，原方程为：4x2﹣12x+9=0，即（2x﹣3）2=0，解得：x1=x2=．点评：此题考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 19．（5分）已知α，β是方程x2﹣3x﹣5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值：（1）；（2）α2+β2；（3）α﹣β．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，（1）所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，将两根之和与两根之积的值代入计算即可求出值；（2）所求式子利用完全平方公式变形，将两根之和与两根之积的值代入计算即可求出值；（3）所求式子平方并利用完全平方公式变形，两根之和与两根之积的值代入计算，开方即可求出值．解答：解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣5=0的两根，∴α+β=3，αβ=﹣5，（1）+===﹣；（2）α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=9+10=19；（3）∵（α﹣β）2=（α+β）2﹣4αβ=9+20=29，∴α﹣β=±．点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 20．（5分）（2022•南充）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率：（1）两次取的小球的标号相同；（2）两次取的小球的标号的和等于4．考点：列表法与树状图法．专题：计算题；压轴题．13\n分析：（1）根据题意画出数形图，两次取的小球的标号相同的情况有4种，再计算概率；（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．解答：解：（1）如图：两次取的小球的标号相同的情况有4种，概率为P==．（2）如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率P=．故答案为．点评：本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出某事件所占有的结果数m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率=． 21．（5分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：经济问题；压轴题．分析：等量关系为：（原来每张贺年卡盈利﹣降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．解答：解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出=1000x张．（0.3﹣x）（500+1000x）=120，150﹣200x﹣1000x2=120，1000x2+200x﹣30=0，100x2+20x﹣3=0，（10x+3）（10x﹣1）=0，解得x1=﹣0.3（降价不能为负数，不合题意，舍去），x2=0.1．答：每张贺年卡应降价0.1元．点评：考查一元二次方程的应用；得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键． 六、证明题（本大题共3个小题，共27分）13\n22．（6分）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．△ADQ与△QCP是否相似？为什么？考点：相似三角形的判定；正方形的性质．分析：正方形的四边相等，两个三角形的两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形互为相似三角形．解答：解：△ADQ∽△PCQ∵BP=3PC，∴CP=BC=CD，∵Q是CD的中点，∴CQ=DQ=AD．∴==，又∵∠C=∠D．∴△ADQ∽△QCP．点评：本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定定理，关键知道正方形的四边相等和熟记这些判定定理． 23．（9分）（2022•成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=2，求FG的长．考点：切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG213\n=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；（3）如答图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．解答：解：（1）如答图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为：连接GD，如答图2所示．∵KG2=KD•GE，即=，∴=，又∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如答图3所示．sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．13\n点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 24．（12分）（2022•乐山）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质；旋转的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM=AB=，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．13\n解答：解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．…（3分）（2）①证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．…（6分）②过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=，∴AE==2，∴AN=FN=AE=1．∵在等腰直角△ABC中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．∴AM=AB=．∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM==．…（9分）∵△BMA∽△CMG，∴．∴．∴CG=．…（11分）∴在Rt△BGC中，BG==．…（12分）13\n点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 13
