第8讲二次函数图象的应用（一）【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数中a,b,c的作用）：⑴决定__________。①当__时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x的增大而________。②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x的增大而________。③当||越大，图象开口越_____。（2）和b共同决定________。①b=0时，对称轴为______；②和b同号时对称轴在y轴___侧；③和b异号时对称轴在y轴___侧。简记为。（3）c的大小决定抛物线与_____的交点的位置。当___时，图象与y轴正半轴相交；当___时，图象与y轴负半轴相交；当___时，图象过原点。（4）当___时，图象与x轴有两个交点；当_时，图象与x轴仅有一个交点；当___时，图象与x轴没有交点。2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。【精彩知识】题型一二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（填番号）●变式练习：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4题型二二次函数的图象和性质的基本应用【例2】已知，二次函数的解析式y1=－x2+2x+3．（1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？（5）若直线y2=ax+b（a≠0）的图象与该二次图象交于A（，m），B（2，n）两点，结合图象直接写出当x取何值时y1＞y2？●变式练习：对于二次函数，有下列说法：①它的图象与轴有两个公共点；②如果当≤1时随的增大而减小，则；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）【例3】二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（）A.-3B.3C.-5D.9●变式练习：如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是(填番号)题型三二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等-7-\n【例4】如图，若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n），已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.（1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.●变式练习：如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0,7）两点．⑴求该抛物线的解析式及对称轴；⑵当为何值时，？⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．【例5】如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.（1）求抛物线的解析式；（2）判断的形状，并说明理由；ＡＤＣＢＯxy（3）在线段上是否存在点，使∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．-7-\n【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=。将△OAB绕着原点O逆时针旋转90o，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2。（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标；（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。●变式练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，4)，顶点为（1，）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．（3）若点E是线段AB上的一个动点（点E与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．BxyOCAD-7-\n【课后测控】1、抛物线的开口_____，对称轴为_________，顶点坐标为__________；当x=时，函数有最值，其最值为。2、已知实数x，y满足x2+3x+y－3=0，则x+y的最大值为。3、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：①abc<0；②a－b+c<0；③3a+c<0；④当－1<x<3时，y>0．其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上)．4、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个yxO5、如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为()A．－3 B．1C．5D．86、抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…－2－1012…y…04664…从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①③④①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x=； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大．7、如图11，已知抛物线与x轴交于两点A、B，其顶点为C．(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，抛物线y=x－2x+c的顶点A在直线l：y=x－5上.(1)求抛物线顶点A的坐标；(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；(3)在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。-7-\n部分答案：【例1】解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，又∵c＜0，∴abc＞0，故本选项正确；②∵对称轴为x=＞0，a＞0，∴﹣b＞2a，∴2a+b＞0；故本选项错误；③当x=1时，y1=a+b+c；当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；故本选项错误；④当x=1时，a+b+c=0；当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2=0；∴（a+c）2=b2故本选项错误；⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；当x=1时，a+b+c=0，∴a+c=1，∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1；故本选项正确；综上所述，正确的是①⑤．例3变式【答案】③④。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】①∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1。∴此判断错误。②∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。∴此判断错误。③∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；∴此判断正确。④∵使得M=1时，若y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣；若y2=2x+2=1，解得：x=﹣。由图象可得出：当x=＞0，此时对应y1=M。∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，∴M=1时，x=或x=﹣。∴此判断正确。因此正确的有：③④。【例4】（1）∵x2－4x+3=0的两个根为x1=1,x2=3∴A点的坐标为（1,0），B点的坐标为（0,3）又∵抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（1,0）、B（0,3）两点∴抛物线的解析式为y=－x2-2x+3（1）作直线BC由（1）得，y=－x2-2x+3∵抛物线y=－x2－2x+3与x轴的另一个交点为C令－x2－2x+3=0解得：x1=1，x2=－3∴C点的坐标为（－3,0）由图可知：当－3＜x＜0时，抛物线的图像在直线BC的上方.(3)设直线BC交PE于F，P点坐标为（a,0）,则E点坐标为（a，－a2－2a+3）∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分.∴F是线段PE的中点.即F点的坐标是（a，）∵直线BC过点B（0.3）和C(-3,0)易得直线BC的解析式为y=x+3ＡＤＣＢＯxyMFEG∵点F在直线BC上，所以点F的坐标满足直线BC的解析式即=a+3解得a1=－1,a2=－3(此时P点与点C重合，舍去)∴P点的坐标是（－1,0）【例6】解：（1）的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），∴.………………………………２分∴（2）由（1）得.-7-\n当时，．解之，得 ．∴.又当时，，∴C点坐标为.………………………4分又抛物线顶点坐标，作抛物线的对称轴交轴于点E，轴于点．易知在中，；在中，；在中，；∴．∴△ACD是直角三角形．…………………………６分（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点．由（2）知，为等腰直角三角形，，．由，得．即.……………８分过点作于点，则，.又点M在第三象限，所以.…………………………10分【例7】解：（1）由OB＝2，可知B(2,0)将A(－2，－4)，B(2,0)，O(0,0)三点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，得解得：∴抛物线的函数表达式为。（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线，且对称轴是线段OB的垂直平分线，连结AB交直线于点M，即为所求。∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值为。（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线对称，由A(－2，－4),得P(4,－4),则得梯形OAPB。②若OA∥BP，设直线OA的表达式为，由A(－2，－4)得，。设直线BP的表达式为，由B(2,0)得，，即，∴直线BP的表达式为由，解得，（不合题意，舍去）当时，，∴点P()，则得梯形OAPB。③若AB∥OP，设直线AB的表达式为，则，解得，∴AB的表达式为。∴直线OP的表达式为。由，得，解得，（不合题意，舍去），此时点P不存在。综上所述，存在两点P(4,－4)或P()使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。【例8】思路导引：确定二次函数解析式，寻找经过三点的坐标十分关键，运用点绕原点旋转直角后坐标的变化规律进行界定，计算动点构造的三角形的面积并且确定最值，因此运用面积构造面积的函数式，结合得出的函数形式，运用其性质解答；判断符合某种条件的点的存在性问题，注意三点O、B、B1构成的特殊三角形的性质结合图形信息，确定符合第三象限这一条件的有关面积的方程，通过解方程并且检验得出符合题意的解；解析：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4，∴点B坐标是（－4，0），B1（0，－4），A2（3，0），∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，∴，解得：a=,b=,c=—4,∴抛物线的解析式是y=x2+x—4，（2）点P是第三象限内抛物线y=x2+x—4上一点，过点P作PC⊥x轴，垂足是点C，设点P的坐标是（m，n），则m＜0,n＜0，n=m2+m—4，则有PC=︱n︱=—n=—m2—m＋4，OC=︱m︱=－m，BC=OB—OC=︱—4︱—︱m︱=4＋m，S△PBB1=S△PBC＋S梯形PB1OC—S△OBB1=BC×PC＋（PC＋OB1）×OC－×OB×OB1-7-\n=×（4＋m）×（—m2—m＋4）＋×[（—m2—m＋4）＋4]×（—m）—×4×4=—m2—=—（m＋2）2＋.（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x，y），使得点Q到BB1的距离是，过点Q作QD⊥BB1于点D，由（2）可知，这时△PBB1的面积可以表示为—（x＋2）2＋.在Rt△OBB1中，BB1==，∵S△PBB1=×BB1×QD=××=2，∴—（x＋2）2＋=2，解得：x的值是－1或者是－3，当x=－1时，y=－4，当x=－3时，y=－2，因此在第三象限内，抛物线上存在点Q，使得Q点到线段BB1的距离是，这样的点Q的坐标是（—1，—4）（—3，—2）；【例8】变式（1）∵抛物线的顶点为（1，）∴设抛物线的函数关系式为y＝a(x－1)2＋………………2分∵抛物线与y轴交于点C(0，4)，∴a(0－1)2＋＝4解得a＝－∴所求抛物线的函数关系式为y＝－(x－1)2＋………………4分（2）解：P1(1，)，P2(1，－)，P3(1，8)，P4(1，)，………………8分（3）解：令－(x－1)2＋＝0，解得x1＝－2，x1＝4∴抛物线y＝－(x－1)2＋与x轴的交点为A(－2，0)C(4，0)………………9分过点F作FM⊥OB于点M，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝又∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝×OC＝EB设E点坐标为(x，0)，则EB＝4－x，MF＝(4－x)…………10分∴S＝S△BCE－S△BEF＝EB·OC－EB·MF＝EB(OC－MF)＝(4－x)[4－(4－x)]＝－x2＋x＋＝－(x－1)2＋3∵a＝－＜0，∴S有最大值当x＝1时，S最大值＝3…………11分此时点E的坐标为(1，0)…………12分-7-
