第4讲反比例函数【今日目标】1、正确理解反比例函数中k的几何意义，利用k的几何意义解决有关面积问题．2、以正、、一次函数为框架，结合面积、全等与相似、四边形、勾股定理等知识，解决直线与双曲线的计算问题。【精彩知识】专题一：直线与双曲线的交点问题【例1】（1）若反比例函数，当时，，求这个函数的解析式；（2）若一次函数的图象与（1）中的反比例函数的图象有交点，求的取值范围。●变式训练：1、如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．2、（2022成都23，4分）若关于t的不等式组恰有三个整数解，则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为。★方法归纳：解决直线与双曲线的交点问题时，就是将联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标；判断直线与双曲线有无公共点，可用来确定。专题二：用函数的图像解不等式【例2】已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，.已知当时，；当时，.⑴求一次函数的解析式；⑵已知一次函数在第一象限上有一点C到轴的距离为3，求△ABC的面积.●变式训练：1、已知反比例函数的图象过点，直线经过第一、三、四象限。（1）求反比例函数的解析式；（2）若直线与反比例函数的图象只有一个公共点，求的值。-6-\n2、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，且S△PBD＝4，．（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.★方法归纳：专题三：反比例函数中最值问题【例3】如图是反比例函数的图象，且当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1。（1）求该反比例函数的解析式；(2)若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围。●变式训练：如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小.专题四：利用k的几何意义解决有关面积问题【例4】如图，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交轴于点P，Q。当时，图中阴影部分的面积等于_______●变式训练：(2022成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数(k为常数，且k>0)在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若(为大于l的常数)．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则-6-\n=．(用含m的代数式表示)【思维拓展】【例5】一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数的图像相交于A、B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C,E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交与点K，连接CD。（1）若点A、B在反比例函数的图像的同一分支上，如图（1），试证明：①;②AN=BM；（2）若点A、B分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图（2），则AN与BM还相等吗？试证明你的结论；（3）连结EF,试判断EF与MN的位置关系，并说明理由。【例6】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.（1）求抛物线的解析式.（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2)①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.【课后测控】1、已知点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于C，OA的垂直平分线交OC于B．（1）则△AOC的面积为 ，（2）△ABC的周长为 。-6-\n第1小题图第2小题图第3小题图2、如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为________．3、如图所示，点、、在轴上，且,分别过点、、作轴的平行线，与分比例函数的图像分别交于点、、，分别过点、、作轴的平行线，分别与轴交于点、、，连接、、,那么图中阴影部分的面积之和为．4、如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数(x＞0)的图象经过点B．(1)求k的值；(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数(x＞0)的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．5、如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，）处．两直角边分别与，y轴平行，纸板的另两个顶点A﹑B恰好是直线=+与双曲线=（m﹥0）的交点．（1）求m和k的值;（2）设双曲线=（m﹥0）在A，B之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MN=AB，写出你的探究过程和结论.6、已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．部分答案：【例2】(1)根据题意，由图像可知点A的坐标为（1，6），代人中，得，m=5,∴一次函数的解析式为：（2）过点B作直线BD平行于x轴，交AC-6-\n的延长线于D.∵点C到y轴的距离为3，∴C点的横坐标为3.又C在双曲线上，∴y=,即C（3，2）∵直线y=x+5和双曲线交于点A,B.∴解方程组得，∴B（－6，－1）设AC的解析式为，把点A（1，6），点C（3，2）代人得，解得，,∴y=2x+8.当y=－1时－1=－2x+8,x=4.5,即点D（4.5，－1）∴．==21.例4变式解析：过点A、B分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N.则⊿CBN∽⊿CAM，∴.设BN=h，则AM=mh.由点A、B在反比例函数的图象上，∴，.∴S⊿OAB=S四边形OABN－S⊿OAM=S四边形OABN－S⊿OBN=S梯形AMNB=.【例6】解:(1)据题意知:A(0,－2),B(2,－2)，D（4，—）,则解得∴抛物线的解析式为:--------------------4分(2)①由图象知:PB=2－2t,BQ=t,∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2+t2,即S=5t2－8t+4(0≤t≤1)--------------------6分②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.∵S=5t2－8t+4(0≤t≤1),∴当S=时,5t2－8t+4=,得20t2－32t+11=0,解得t=，t=（不合题意，舍去）-------------------------------7分此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）若R点存在，分情况讨论:【A】假设R在BQ的右边,这时QRPB,则，R的横坐标为3,R的纵坐标为—即R(3,－)，代入,左右两边相等，∴这时存在R(3,－)满足题意.【B】假设R在BQ的左边,这时PRQB,则：R的横坐标为1,纵坐标为－即(1,－)代入,左右两边不相等,R不在抛物线上.【C】假设R在PB的下方,这时PRQB,则：R(1，—)代入,左右不相等,∴R不在抛物线上.综上所述,存点一点R(3,－)满足题意.---------------------11分（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）课后测控6小题：（1）证明：设，，与的面积分别为，，由题意得，．，．-6-\n，即与的面积相等．（2）由题意知：两点坐标分别为，，，．当时，有最大值．．（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．由题意得：，，，，．又，．，，．，，解得．．存在符合条件的点，它的坐标为．-6-
