第2讲 整式及因式分解重难点1 整式的运算 (2022·乐山)先化简，再求值：(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)，其中m是方程x2＋x－2＝0的根．【自主解答】 解：原式＝4m2－1－(m2－2m＋1)＋8m3÷(－8m)＝4m2－1－m2＋2m－1－m2＝2m2＋2m－2＝2(m2＋m－1)．∵m是方程x2＋x－2＝0的根，∴m2＋m－2＝0，即m2＋m＝2.∴原式＝2×(2－1)＝2.进行整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、逆向思维等，使解题更加方便快捷．【变式训练1】 先化简，再求值：(2x＋y)2＋(x－y)(x＋y)－5x(x－y)，其中x＝＋1，y＝－1.解：原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy＝9xy.当x＝＋1，y＝－1时，原式＝9×(＋1)×(－1)＝9.【变式训练2】 已知4x＝3y，求代数式(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2的值．解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2＝－4xy＋3y2＝－y(4x－3y)．∵4x＝3y，∴4x－3y＝0.∴原式＝0.重难点2 因式分解 (2022·株洲)因式分解：a2(a－b)－4(a－b)＝(a－b)(a－2)(a＋2)．因式分解必须分解到每一个多项式都不能分解为止．【变式训练3】 因式分解：(1)(2022·恩施)8a3－2ab2＝2a(2a＋b)(2a－b)；(2)(2022·攀枝花)x3y－2x2y＋xy＝xy(x－1)2．【变式训练4】 (2022·吉林)若a＋b＝4，ab＝1，则a2b＋ab2＝4．考点1 代数式及求值1．(2022·贵阳)当x＝－1时，代数式3x＋1的值是(B)A．－1B．－2C．4D．－42．(2022·桂林)用代数式表示：a的2倍与3的和．下列表示正确的是(B)A．2a－3B．2a＋3C．2(a－3)D．2(a＋3)3．(2022·大庆)某商品打七折后价格为a元，则原价为(B)A．a元B.a元C．30%a元D.a元4．(2022·河北)用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1(单位：cm)得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B)5\nA．4cmB．8cmC．(a＋4)cmD．(a＋8)cm5．(2022·岳阳)已知a2＋2a＝1，则3(a2＋2a)＋2的值为5．考点2 整式及其运算6．(2022·荆州)下列代数式中，整式为(A)A．x＋1B.C.D.7．(2022·武汉)计算3x2－x2的结果是(B)A．2B．2x2C．2xD．4x28．(2022·柳州)计算：2a·ab＝(B)A．2abB．2a2bC．3abD．3a2b9．(2022·攀枝花)下列运算结果是a5的是(D)A．a10÷a2B．(a2)3C．(－a)5D．a3·a210．(2022·武汉)计算(a－2)(a＋3)的结果是(B)A．a2－6B．a2＋a－6C．a2＋6D．a2－a＋611．(2022·河北)若2n＋2n＋2n＋2n＝2，则n＝(A)A．－1B．－2C．0D.12．(2022·眉山)下列计算正确的是(D)A．(x＋y)2＝x2＋y2B．(－xy2)3＝－x3y6C．x6÷x3＝x2D.＝213．(2022·包头)如果2xa＋1y与x2yb－1是同类项，那么的值是(A)A.B.C．1D．314．(2022·河北)将9.52变形正确的是(C)A．9.52＝92＋0.52B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)C．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52D．9.52＝92＋9×0.5＋0.5215．(2022·绍兴)下面是一位同学做的四道题：①(a＋b)2＝a2＋b2；②(－2a2)2＝－4a4；③a5÷a3＝a2；④a3·a4＝a12.其中做对的一道题的序号是(C)A．①B．②C．③D．④16．(2022·株洲)单项式5mn2的次数为3．17．(2022·金华)化简(x－1)(x＋1)的结果是x2－1．18．(2022·大庆)若2x＝5，2y＝3，则22x＋y＝75．19．(2022·安顺)若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝－1或7．20．(2022·宁波)先化简，再求值：(x－1)2＋x(3－x)，其中x＝－.解：原式＝x2－2x＋1＋3x－x2＝x＋1.当x＝－时，原式＝－＋1＝.5\n21．(2022·吉林)某同学化简a(a＋2b)－(a＋b)(a－b)出现了错误，解答过程如下：原式＝a2＋2ab－(a2－b2)(第一步)＝a2＋2ab－a2－b2(第二步)＝2ab－b2(第三步)(1)该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；(2)写出此题正确的解答过程．解：原式＝a2＋2ab－(a2－b2)＝a2＋2ab－a2＋b2＝2ab＋b2.考点3 因式分解22．(2022·贺州)下列各式分解因式正确的是(A)A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2B．2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2C．2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y)D．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)(x＋y)23．(2022·济宁)多项式4a－a3分解因式的结果是(B)A．a(4－a2)B．a(2－a)(2＋a)C．a(a－2)(a＋2)D.a(2－a)224．(2022·凉山州)多项式3x2y－6y在实数范围内分解因式正确的是(A)A．3y(x＋)(x－)B．3y(x2－2)C．y(3x2－6)D．－3y(x＋)(x－)25．因式分解：(1)(2022·湘潭)a2－2ab＋b2＝(a－b)2；(2)(2022·葫芦岛)2a3－8a＝2a(a＋2)(a－2)；(3)(2022·常州)3x2－6x＋3＝3(x－1)2；(4)(2022·潍坊)(x＋2)x－x－2＝(x＋2)(x－1)．考点4 规律探索26．(2022·重庆)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为(B) ① ② ③ ④A．11B．13C．15D．1727．(2022·自贡)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有6__055个○. 第1个 第2个 第3个 第4个28．(2022·常州)下面是按一定规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8，…则第8个代数式是15a16．29．(2022·淄博)若单项式am－1b2与a2bn的和仍是单项式，则nm的值是(C)5\nA．3B．6C．8D．930．(2022·乐山)已知实数a，b满足a＋b＝2，ab＝，则a－b＝(C)A．1B．－C．±1D．±31．(2022·枣庄)如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为(A)A．3a＋2bB．3a＋4bC．6a＋2bD．6a＋4b32．(2022·重庆)按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是(C)A．x＝3，y＝3B．x＝－4，y＝－2C．x＝2，y＝4D．x＝4，y＝233．(2022·苏州)若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为12．34．(2022·娄底)设a1，a2，a3，…是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数(n是正整数)．已知a1＝1，4an＝(an＋1－1)2－(an－1)2，则a2018＝4__035．35．(2022·泰安)观察“田”字中各数之间的关系：122336475128137221623940324111746475…15cab5\n则c的值为270或28＋14．36．(2022·贵阳)如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．(1)用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；(2)m＝7，n＝4，求拼成矩形的面积．解：(1)矩形的长为m＋n，矩形的宽为m－n，矩形的周长为4m.(2)矩形的面积为(m＋n)(m－n)，当m＝7，n＝4时，(m＋n)(m－n)＝11×3＝33.37．(2022·德州)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算(a＋b)8的展开式中从左起第四项的系数为(B)A．84B．56C．35D．285
