相似的应用一、选择题1、（2022吉林镇赉县一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则S△AOD：S△BOC等于（）1题图A.B.C.D.答案：D2、(2022山西中考模拟六)如图，是的中位线，则与的面积之比是（）BACEDA．1:1B．1:2C．1:3D．1:4答案：D二、解答题1、（2022江苏射阴特庸中学）如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC.（1）判断直线BP和⊙O的位置关系，并说明你的理由；（2）当⊙O的半径为，AC=2，BE=1时，求BP的长.答案：(1)直线BP和⊙O相切.……1分理由：连接BC,∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°.……2分∵PF∥AC,∴BC⊥PF,则∠PBH+∠BPF=90°.……3分∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分所以直线BP和⊙O相切.……5分(2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=2,∴BC=4.……6分∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分∴=,解得BP=2.即BP的长为2.……10分2、（2022江苏射阴特庸中学）如图a，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0).（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为3\n,点B的对应点C的坐标为；（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？答案：(1)画图1分;C(-2,0),D(0,-3).……3分(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.……5分∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3.……6分大致图象如图所示.……7分(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.……9分②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.……10分③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s.……11分∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分3、(2022年河北三摸)如图，梯形是一个拦河坝的截面图，坝高为6米．背水坡的坡度i为1∶1.2，为了提高河坝的抗洪能力，防汛指挥部决定加固河坝，若坝顶加宽0.8米，新的背水坡的坡度为1∶1.4．河坝总长度为4800米．（1）求完成该工程需要多少方土？（2）某工程队在加固600米后,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍，结果只用9天完成了大坝加固的任务。请你求出该工程队原来每天加固的米数.3\nCDEAFB第22题图答案：（本小题满分8分）解：（1）作DG⊥AB于G，作EH⊥AB于H．∵CD∥AB,∴EH=DG=6米,∵,∴AG=7.2米，……………1分∵,∴FH=8.4米，………………2分∴FA=FH＋GH－AG=8.4+0.8－7.2=2（米）…………3分∴SADEF=.V=8.4×4800=4032（立方米）.……………………………………4分（2）设原来每天加固x米，根据题意，得：去分母，得1200+4200=18x（或18x=5400）解得．检验：当时，（或分母不等于0）．∴是原方程的解．答：该工程队原来每天加固300米……………………………8分3
