一次函数的应用一、选择题1、（2022·湖州市中考模拟试卷3）甲、乙两人沿相同的路线由A到B匀速行进，A、B两地间的路程为16km,他们行进的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，则下列判断错误的是（）A.乙比甲晚出发1hB.甲比乙晚到B地2hC.甲的速度是4km/hD.乙的速度是8km/h答案：D2、（2022·湖州市中考模拟试卷10）连降6天大雨，某水库的蓄水量随时间的增加而直线上升．若该水库的蓄水量V（万米）与降雨的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是()A.降雨后，蓄水量每天减少5万米B.降雨后，蓄水量每天增加5万米C.降雨开始时，蓄水量为20万米D.降雨第6天,蓄水量增加40万米答案：B3、(2022年河南西华县王营中学一摸)如图所示，函数和的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当时，x的取值范围是（）A．x＜－1B．—1＜x＜2C．x＞2 D．x＜－1或x＞2（－1，1）（2，2）xyO第7题12\n答案：D二、解答题1、(2022年深圳育才二中一摸)某校为开展好阳光体育活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．（1）设购买排球数为（个），购买两种球的总费用为（元），请你写出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？答案：（1）设购买排球个，购买篮球和排球的总费用元，则……………2分（2）设购买排球个，则篮球的个数是，根据题意得：，解得：……………4分∵为整数，∴取23，24，25。∴有3种购买方案：………………5分当买排球23个时，篮球的个数是77个，当买排球24个时，篮球的个数是76个，当买排球25个时，篮球的个数是75个。………………6分（3）∵中∴随的增大而减小………………7分又∵∴采用买排球25个，篮球75个时更合算。………………8分2、(2022年广西南丹中学一摸)大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒。调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：第24题图（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式12\n（不必写出自变量x的取值范围）；（2）每个文具盒定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润最高？最高利润是多少？【解答】（1）设y＝kx＋b………………………1分由题意得：………………………3分解之得：k＝－10；b＝300。………………………………4分∴y＝－10x＋300。………………………………5分（2）由上知超市每星期的利润：W＝(x－8)·y＝(x－8)(－10x＋300)＝－10(x－8)(x－30)＝－10(x2－38x＋240)＝－10(x－19)2＋1210………………7分∴当x＝19即定价19元/个时超市可获得的利润最高。最高利润为1210元。………………………………………8分3、(2022年河北省一摸)|如图12，一次函数y=mx+5的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A(1,n)和B(4,1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M，（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAM的面积S；（3）在y轴上求一点P，使PA+PB最小．（1）将B(4,1)代入得：，∴k=4，∴，………………………2分将B(4,1)代入y=mx+5得：1=4m+5，∴m=－1，∴y=－x+5,…………………4分（2）在中，令x=1，解得y=4，∴A(1,4)，∴S==2,……………6分（3）作点A关于y轴的对称点N，则N(﹣1,4)，12\n连接BN交y轴于点P，点P即为所求．设直线BN的关系式为y=kx+b，由得，∴，∴P(0,)………9分4、(2022年河北省一摸)|某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．【利润=（销售价-进价）销售量】（1）请根据他们的对话填写下表：销售单价x（元/kg）101113销售量y（kg）（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？答案：25．（1）300,250,150；……………………………………3分（2）判断：y是x的一次函数．设y=kx+b，∵x=10，y=300；x=11，y=250，∴，解得，∴y=﹣50x+800，经检验：x=13，y=150也适合上述关系式，∴y=﹣50x+800．…………………8分（3）W=(x﹣8)y=(x﹣8)(﹣50x+800)=﹣50x2+1200x-6400∵a=﹣50<0，∴当x=12时，W的最大值为800，即当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元．…12分5、(2022年河北二摸)已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．答案：yxOoADMCB解：（1）将分别代入中，得∴2分12\n∴反比例函数的表达式为：3分正比例函数的表达式为4分（2）观察图象，得在第一象限内，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值．6分（3）理由：∵∴7分即OC·OB=12∵∴8分即∴∴9分∴10分6、(2022年河北二摸)已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．答案：yxOoADMCB解：（1）将分别代入中，得∴2分∴反比例函数的表达式为：3分正比例函数的表达式为4分12\n（2）观察图象，得在第一象限内，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值．6分（3）理由：∵∴7分即OC·OB=12∵∴8分即∴∴9分∴10分7、(2022年河北三摸)两辆校车分别从甲、乙两站出发，匀速相向而行,相遇后继续前行，已知两车相遇时中巴比大巴多行驶40千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至中巴到达乙站这一过程中y与x之间的函数关系.根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）请你说明点B、点C的实际意义;(2)求线段AB所在直线的函数X（小时）t1.5270ABOy（千米）关系式和甲、乙两站的距离；（3）求两车速度及中巴从甲站到乙站所需的时间t；（4）若中巴到达乙站后立刻返回甲站，大巴到达甲站后停止行驶，请你在图中补全这一过程中y关于x的函数的大致图象.解：（1）B点的实际意义是两车2小时相遇;C点的纵坐标的实际意义是中巴到达乙站时两车的距离;------------------2分（2）设直线AB的解析式为y=kx+b由题意知直线AB过（1.5,70）和（2，0）∴直线AB的解析式为y=-140x+280当x=0时，y=280，∴甲乙两站的距离为280千米-------------------5分12\n（30设中巴和大巴的速度分别为V1千米／小时，V2千米／小时，根据题意得2V1+2V2=280.2V1-2V2=40.解得：V1=80,V2=60∴中巴和大巴速度分别为80千米／小时，60千米／小时t=280÷80=3.5小时----------------8分（4）当t=14/3小时时，大巴到达甲站，当t=7小时时，大巴回到甲站，故图像为--------------------------------10分74.14/3X（小时）t1.570AOy（千米）8、(2022年河北四摸)如图8,在平面直角坐标系中,、均在边长为1的正方形网格格点上.(1)求线段所在直线的函数解析式,并写出当时,自变量的取值范围；图8(2)将线段绕点逆时针旋转,得到线段,请在指定位置画出线段.若直线的函数解析式为,则随的增大而(填“增大”或“减小”).答案：(1)设直线的函数解析式为依题意,得,∴解得∴直线的函数解析式为当时,自变量的取值范围是.12\n(2)线段即为所求增大9、(2022年河北四摸)某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？（2）设每月用水量为吨，应交水费为y元，写出y与之间的函数关系式；（3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？解:⑴设每吨水的政府补贴优惠价为元，市场调节价为元．答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元． ⑵；，所求函数关系式为：⑶，.答：小英家三月份应交水费39元.10、(2022年河北四摸)(本题10分)汶川灾后重建工作受到全社会的广泛关注，全国各省对口支援四川省受灾市县。我省援建剑阁县，建筑物资先用火车源源不断的运往距离剑阁县180千米的汉中市火车站，再由汽车运往剑阁县。甲车在驶往剑阁县的途中突发故障，司机马上通报剑阁县总部并立即检查和维修。剑阁县总部在接到通知后第12分钟时，立即派出乙车前往接应。经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇。为了确保物资能准时运到，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达剑阁县。下图是甲、乙两车离剑阁县的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象。请结合图象信息解答下列问题：12\n（1）请直接在坐标系中的()内填上数据。（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围。（3）求乙车的行驶速度。DCAB180E1（）（）F3（小时）（）（千米）甲车乙车第25题图解：（1）纵轴填空为：120横轴从左到右依次填空为：1.2；2.1（2）作DK⊥X轴于点K由（1）可得K点的坐标为（2.1，0）由题意得：120－（2.1－1－）×60=74∴点D坐标为（2.1，74）设直线CD的解析式为y=kx+b∵C（，120），D（2.1，74）∴K+b=1202.1k+b=74解得：k=－60b=200∴直线ＣＤ的解析式为：yCD=－60X+200(≤X≤2.1)（3）由题意得：V乙=74÷（3－2.1）=（千米/时）∴乙车的速度为（千米/时）11、（2022年温州一摸）已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)求△AOC的面积；12\n(3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案)．.解：（1）将B（1，4）代入中，得m=4，∴.将A（n,-2）代入中，得n=-2.将A（-2,-2）、B（1，4）代入，得.解得，∴.（2）当x=0时，y=2，∴OC=2，∴.（3）或.12、（2022安徽芜湖一模）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航.渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式.（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离.S∕海里130t(海里)5t(海里)8t(海里)150t∕小时t(海里)（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？ 解：（1）当0≤t≤5时s=30t……………………………………………（1分）当5＜t≤8时s=150……………………………………………（2分）当8＜t≤13时s=－30t+390………………………………………（3分）（2）渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b………………………………………………（4分）解得：k=45b=－360∴s=45t－360………………………………………………（5分）12\n解得t=10s=90渔船离黄岩岛距离为150－90=60（海里）……………………………（6分）(3)S渔=－30t+390S渔政=45t－360分两种情况：①S渔－S渔政=30－30t+390－（45t－360）=30解得t=（或9.6）-………………………………………………（8分）②S渔政－S渔=3045t－360－（－30t+390）=30解得t=（或10.4）∴当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里.………（10分）13、（2022江苏扬州弘扬中学二模）因长期干旱，甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值．为灌溉需要，由乙水库向甲水库匀速供水，20h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40h，乙水库停止供水．甲水库每个排泄闸的灌溉速度相同，图中的折线表示甲水库蓄水量Q（万m3）与时间t（h）之间的函数关系．求：（1）线段BC的函数表达式；（2）乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度；（3）乙水库停止供水后，经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值？答案：解：（1）由图象知：线段BC经过点（20，500）和（40，600），∴设解析式为：Q=kt+b，∴，解得：，∴解析式为：Q=5t+400（20＜t＜40）；－－－－－－－－－－－－－3分（2）设乙水库的供水速度为x万m3/h，甲为y万m3/h，12\n∴，解得，∴乙水库供水速度为15万m3/h和甲水库一个排灌闸的灌溉速度10万m3/h；－－6分（3）∵正常水位的最低值为a=500－15×20=200，∴（400－200）÷（2×10）=10h，∴10小时后降到了正常水位的最低值．－－－－－－－－－－－－9分12
