二次函数的图象和性质一、选择题1、（2022·湖州市中考模拟试卷7）函数在同一直角坐标系内的图象大致是（）答案：C2、（2022·湖州市中考模拟试卷8）抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（）A．B．C．D．答案：D3、（2022·湖州市中考模拟试卷10）已知抛物线（＜0）过、、、四点，则与的大小关系是()A．＞B．C．＜D．不能确定答案：A4、(2022年河南西华县王营中学一摸)将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为（）A．B．C．D．答案：A5、（2022安徽芜湖一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＞0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确结论的是__________．答案：②③④6、（2022吉林镇赉县一模）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）23\nA.4米B.3米C.2米D.1米答案：A7、（2022吉林镇赉县一模）如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，C3是函数的图象，则阴影部分的面积是平方单位（结果保留）.答案：8、（2022江苏东台实中）抛物线的对称轴是（）．A、B、 C、D、答案：B9、（2022江苏东台实中）函数的图像与y轴的交点坐标是（）．A、（2，0）B、（－2，0）C、（0，4）D、（0，－4）答案：D10、（2022江苏东台实中）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是：（）0Aa>0b<0c>0Ba<0b<0c>0Ca<0b>0c<0Da<0b>0c>0答案：D11、（2022江苏东台实中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（）答案：B12、（2022江苏东台实中）将抛物线y=2x经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)－4.()A、先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B、先向左平移3个单位，再向下平移4个单位23\nC、先向右平移3个单位，再向上平移4个单位D、先向右平移3个单位，再向下平移4个单位答案：B13、（2022江苏东台实中）已知函数与x轴交点是，则的值是（）A、2022B、2022C、2022D、、2022答案：A14、（2022江苏射阴特庸中学）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是()A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c=0的一个根答案：D11题图15、（2022江苏扬州弘扬中学二模）如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围（）A．x≥0 B．0≤x≤1C．－2≤x≤1 D．x≤1答案：C16、（2022江苏射阴特庸中学）已知二次函数的图象（-0.7≤x≤2）如右图所示.关于该函数在所给自变量x的取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值1，有最大值2B．有最小值-1，有最大值1C．有最小值-1，有最大值2D．有最小值-1，无最大值答案：C17、（2022江苏扬州弘扬中学二模）点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1_____y2（填“＞”、“＜”、“=”）．答案：<18、（2022山东省德州一模）现掷A、B两枚均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为、，并以此确定点P（），那么各掷一次所确定的点P落在已知抛物线上的概率为（）23\nA.B.C.D.答案：B19、（2022山东省德州一模）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①＞0；②；③＜；④＞1.其中正确的结论是（）A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D第15题（第16题）20、(2022山西中考模拟六)若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为（）A．B．C．1D．答案：D二、填空题1、（2022吉林镇赉县一模）抛物线开口向下，且经过原点，则=.答案：-32、（2022江苏东台实中）抛物线的对称轴是____，顶点坐标是____．答案：；（2，5）3、（2022江苏东台实中）已知抛物线与x轴两交点分别是（－1，0），（3，0）另有一点（0，－3）也在图象上，则该抛物线的关系式________________．答案：4、（2022江苏射阴特庸中学）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0，-3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b的值是（写出一个值即可）．23\n答案：-1，0，……只要满足-2<b<2就行，答案不唯一。5、（2022·温州市中考模拟）如图，以O为顶点的两条抛物线分别经过正方形的四个顶点A、B、C、D，则阴影部分的面积为______．答案：16、（2022·湖州市中考模拟试卷3）如图为二次函数的图象，在下列结论中：①；②方程的根是；③；④当时，y随着x的增大而增大.正确的结论有_（请写出所有正确结论的序号）．答案：②④7、(2022年河北省一摸)|如图9，抛物线与直线相交于O（0,0）和A（3,2）两点，则不等式的解集为 ．答案：0<x<3图98、(2022年河北四摸)已知二次函数的图象经过点（－1，0），（0，2），当随的增大而增大时，的取值范围是 ．答案：三、解答题1、（2022安徽芜湖一模）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP23\n相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．（本小题满分12分）解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组解得：∴抛物线的解析式为……………………………（4分）（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）……………………（8分）（3）如图设点E，则①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE23\n=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：即，∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）2、（2022吉林镇赉县一模）如图，抛物线过A（0，2）、B（1，3）两点，CB⊥轴于C，四边形CDEF为正方形，点D在线段BC上，点E在此抛物线上，且在直线BC的左侧.（1）求此抛物线的函数关系式；（2）求正方形CDEF的边长.2题图答案：3、（2022吉林镇赉县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，与抛物线交于点C、D.已知点C的坐标为（1，7），点D的横坐标为5.23\n（1）求直线与抛物线的解析式；（2）将此抛物线沿对称轴向下平移几个单位，抛物线与直线AB只有一个交点.答案：3题图4、（2022吉林镇赉县一模）如图，已知抛物线与轴负半轴交于点A，与轴正半轴交于点B，且OA=OB.（1）求+的值；（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P（不与A、C重合）是抛物线上的一点，点M是轴上一点，当△BPM是等腰直角三角形时，求点M的坐标.25题图答案：23\n5、（2022江苏东台实中）若抛物线的顶点坐标是（1，16），并且抛物线与轴两交点间的距离为8，（1）试求该抛物线的关系式；（2）求出这条抛物线上纵坐标为12的点的坐标。答案：（1）或（4分）（2）（－1，12）（2分）（3，12）（2分）（合计4分）6、（2022江苏东台实中）已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1（1）求抛物线的解析式（2）画出抛物线的草图（3）根据图象回答：当x取何值时，y>0答案：（1）（4分）（2）图略（3分）（3）7、（2022江苏东台实中）某企业投资100万元引进一条农产品加工线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可获利33万元，该生产线投资后，从第1年到第年的维修、保养费用累计为（万元），且，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元。（1）求与之间的关系式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？答案：(1)（5分）23\n（2）设投产后的纯收入为，则即：（2分）由于当时，随的增大而增大，且当=1，2，3时，的值均小于0，当=4时，（2分）可知：投产后第四年该企业就能收回投资。（1分）8、（2022江苏东台实中）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．（1）求、的值；（2）求直线PC的解析式；（3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由．（参考数据，，）答案：（1）（4分）（2）（3分）(3)⊙A与直线PC相交(可用相似知识，也可三角函数，求得圆心A到PC的距离d与r大小比较，从而确定直线和圆的位置关系。)（3分）9、（2022江苏射阴特庸中学）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A(-2，0)和点B，与y轴相交于点C，顶点D(1，-).（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）求四边形ACDB的面积；（3）若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式.]答案：(1)设二次函数为y=a(x-1)2-9/2，……1分求得，a=1/2，……3分23\n∴y=1/2(x-1)2-9/2．……4分(2)令y=0,得x1=-2，x2=4，∴B(4，0)，……6分令x=0,得y=-4,∴C(0，-4)，……7分S四边形ACDB=15.∴四边形ACDB的面积为15.……8分(3)如：向上平移9/2个单位,y=1/2(x-1)2;向上平移4个单位,y=1/2(x-1)2-1/2;向右平移2个单位,y=1/2(x-3)2-9/2;向左平移4个单位y=1/2(x+3)2-9/2.（写出一种情况即可）.……10分10、（2022江苏射阴特庸中学）如图a，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0).（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为,点B的对应点C的坐标为；（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？答案：(1)画图1分;C(-2,0),D(0,-3).……3分(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.……5分∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3.……6分大致图象如图所示.……7分(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,[由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.……9分②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.……10分③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s.……11分∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分23\n11、（2022江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，已知抛物线的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A．（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：①当S1＜S＜S2时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S1为△OAB的面积，S2为四边形OACB的面积）；②当t取何值时，点P在⊙M上．（写出t的值即可）答案：解：（1）k=1－－－－－－－1分
（2）由（1）知抛物线为：∴顶点A为（2，0），－－－－－－－－－－－－－－2分∴OA=2，OB=1；过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，∴AD=m－2，由已知得∠BAC=90°，－－－－－－－－－－－－－－－－－3分[w*ww.~z#zs%tep.co@m]∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°，∴∠OBA=∠CAD，∴Rt△OAB∽Rt△DCA，∴，即－－－－－－－－－4分∴n=2（m－2）；23\n又点C（m，n）在上，∴，解得：m=2或m=10；[w*ww.z#@z&step.c^om]当m=2时，n=0，当m=10时，n=16；∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）．－－－－－－－－－6分（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，∴点C为（10，16）此时S1=，S2=SBODC－S△ACD=21；－－－－－－－－－－7分又点P在函数图象的对称轴x=2上，∴P（2，t），AP=|t|，∴=|t|－－－－－－－－－－－－－－－－－－8分∵S1＜S＜S2，∴当t≥0时，S=t，∴1＜t＜21．－－－－－－－－－－－－－－－－9分∴当t＜0时，S=－t，∴－21＜t＜－1∴t的取值范围是：1＜t＜21或－21＜t＜－1－－－－－－－－10分[来&源:z*zstep.c@~om%]②t=0，1，17－－－－－12分12、（2022山东省德州一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．OxyNCDEFBMA（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．23\n答案：解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，点的坐标分别为抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，．点在抛物线上，将的坐标代入，得：解之，得：抛物线的解析式为：．（2）抛物线的对称轴为，OxyNCDEFBMAP．连结，，，又，，13、（2022山东省德州一模）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线23\n经过B点，且顶点在直线上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；第13题（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为∴∴∴所求函数关系式为：（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．当时，当时，∴点C和点D在所求抛物线上．（3）设直线CD对应的函数关系式为，则解得：．∴∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，∴N点的横坐标也为t．则，，23\n∴∵，∴当时，，此时点M的坐标为（，）．[www#.~zz%ste@p.^co14、（2022温州市一模）如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A．过点作直线轴于点H，直线AP交轴于点．（点C不与点H重合）（1）当时，求点A的坐标及的长．[www.zz^s@t#%ep.~com]（2）当时，问为何值时？（3）是否存在，使？若存在，求出所有满足要求的的值，并定出[w&^ww~.*zz@step.com]相对应的点坐标；若不存在，请说明理由．HOPA解：（1）当时，，令，解得∵HP∥OA，∴△CHP∽△COA，∴∵∴∴（2）（3）①当时（如图1），23\n（舍去）②当时（如图2），∵，又∵，∴∵∴不存在的值使．③当时（如图3），PA[④当时（如图4），综上所述当时，点;HOPA（图4）当时，点．HOPA（图3）15、(2022·吉林中考模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点的横坐标为，当为何值时，线段最短；（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．23\n解：（1）设所在直线的函数解析式为，∵（2，4），∴,,∴所在直线的函数解析式为.……………………………………3分（2）∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，∴（0≤≤2）.∴顶点的坐标为(,).∴抛物线函数解析式为.∴当时，（0≤≤2）.∴==，又∵0≤≤2，∴当时，PB最短.……………………………………7分（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.假设在抛物线上存在点，使.设点的坐标为（，）.①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，∵，，∴，∴，∴点的坐标是（0，）.∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.∵，∴点落在直线上.∴=.解得，即点（2，3）.23\n∴点与点重合.∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.………………9分②当点落在直线的上方时，作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），∴直线函数解析式为.∵，∴点落在直线上.∴=.16、（2022·温州市中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=mx2-（2m+3）x+m+3与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C（其中m>0）。（1）求：点A、点B的坐标（含m的式子表示）；（2）若OB=4·AO，点D是线段OC（不与点O、点C重合）上一动点，在线段OD的右侧作正方形ODEF,连接CE、BE，设线段OD=t，△CEB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；23\n答案：解：（1）A(1,0)、（2）m=1(或解析式)当2<t<4时，S=4t-817、（2022·湖州市中考模拟试卷3）已知：如图，抛物线与轴的交点是、，与轴的交点是C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设（0<<6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.①当取何值时，线段PQ的长度取得最大值？其最大值是多少?②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.∴点C的坐标为（0，2）.设直线BC的函数表达式是.则有解得：∴直线BC的函数表达式是.………………………5分23\n∴=………………………7分=.………………………8分∴当时，线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.…………9分②当时，点P与点A重合，∴P（3，0）…………10分当时，点P与点C重合，∴（不合题意）…11分当时，设PQ与轴交于点D.，.又∴⊿ODQ∽⊿QDA.∴，即.∴，…………………………………………12分，∴.………………………13分∴.∴或.∴所求的点P的坐标是P（3，0）或或.……14分①如图①，当时，，．解得（舍去）；．．．解得．抛物线的解析式为………………………………………2分23\n②如图②，当时，，．解得（舍去）………………………2分③当时，，这种情况不存在．………………………1分综上所述，符合条件的抛物线解析式是．（3）存在点，使得四边形的周长最小．如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．…………………………1分，．．又，，此时四边形的周长最小值是．………………………………………………………2分图2。23\n19、（2022·湖州市中考模拟试卷7）已知关于的函数的图像与坐标轴只有2个交点，求的值.解：分情况讨论：（ⅰ）时，得.此时与坐标轴有两个交点，符合题意.……………………………1分（ⅱ）时，得到一个二次函数.23．抛物线与x轴只有一个交点，…………………1分解得…………………………………………………………2分②抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是（0,0）…………………1分把（0,0）带入函数解析式，易得………………………………1分23
