等腰三角形一、选择题1、（2022年聊城莘县模拟）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为().A． B． C． D．1答案：B2、(2022年惠州市惠城区模拟)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A.16B.18C.20D.16或20答案：C3、(2022浙江永嘉一模)（第1题图）10．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF=；②A1E=CF；③DF=FC；④BE=BF．其中正确的有（▲）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【答案】C第2题图4、（2022重庆一中一模）11．如图，在等腰中，，,是上一点．若，那么的长为A．2B．C．D．1【答案】AABD′PCDMNEC′QF第6题5.（2022江西饶鹰中考模拟）如图,将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C17\n恰好落在折痕PQ上的点C′处，点D落在D′处，其中M是BC的中点.连接AC′，BC′，则图中共有等腰三角形的个数是()A.1B.2C.3D.4答案：C6、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，等腰△ABC中，AB=AC，P为其底角平分线的交点，将△BCP沿CP折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA=DP，则∠A的度数为().A.20°B.30°C.32°D.36°D7、(2022年江苏无锡崇安一模）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，则△AMN的最小周长为…（▲）A．2B．2C．4D．5答案：B二、填空题1、（2022年安徽模拟二）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE17\n的长为．第1题图答案：42．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）第1题①AP平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④≌△QSP．3、(2022年安徽省模拟六)如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G.下列结论：①AE=CD；②∠AFC=1200；③⊿ADF是正三角形；④.其中正确的结论是（填所有正确答案的序号）．ABCDEF答案：①②④第3题图第4题图4、(2022年福州市初中毕业班质量检查)如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是____.1.517\n7．(2022年江苏无锡崇安一模）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为▲.答案：47.（2022浙江东阳吴宇模拟题）如图，C、D、B的坐标分别为（1,0）（9,0）（10,0），点P（t，0）是CD上一个动点，在x轴上方作等边△OPE和△BPF，连EF，G为EF的中点。（1）当t＝时，OCPDBEFGxyEF∥OB；（2）双曲线y＝过点G，当PG＝时，则k＝。答案：15108、（2022沈阳一模）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是.答案：259．（2022盐城市景山中学模拟题）如图5，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是__◆．答案：10．（2022盐城市景山中学模拟题）边长为2的等边△ABC与等边△DEF互相重合，将△ABC沿直线L向左平移m个单位长度，将△DEF向右也平移m个单位长度，如图6，当C、E17\n是线段BF的三等分点时，m的值为__◆．答案：2或11（2022浙江锦绣·育才教育集团一模）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若，则△ABC的周长是▲.(第16题)图)图)答案：1512、(2022年江苏南京一模)一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是▲．答案：107、(2022年江苏南京一模)一个等腰三角形的两边长分别是2cm和3cm，则它的周长是cm．答案：7或813、(2022年江苏南京一模)如图，∠C＝36°，∠B＝72°，∠BAD＝36°，AD＝4，则CD＝．答案：414、(2022年江苏南京一模)如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=▲．17\n答案：40°；15、(2022年广东省佛山市模拟)如图△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发s时，△BCP为等腰三角形．（原创）PCBA答案：2，2．5，1．4三、解答题1．（2022年北京房山区一模）（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE=AD.（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是（只填序号即可）第1题图2①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.第1题图117\n答案：(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD（SAS）∴BE=AD--------------1分（2）①②③都正确--------------4分（3）证明：在PE上截取PM=PC，联结CM由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）∴∠1=∠2设CD与BE交于点G,,在△CGE和△PGD中∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60°∴△CPM是等边三角形--------------5分∴CP=CM，∠PMC=60°∴∠CPD=∠CME=120°∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CME（AAS）---6分∴PD=ME∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.-------7分即PB+PC+PD=BE.2、（2022浙江锦绣·育才教育集团一模）（本小题满分12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.（1）直接写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.17\n答案：（本小题满分12分）解：（1）A（8，0），B（0，4）。（2）∵AB=AC，∴OB=OC。∴C（0，－4）。设直线AC：，由A（8，0），C（0，－4）得，解得。∴直线AC：。∵直线l移动的速度为2，时间为t，∴OE=2t。设P，在中，令x=2t，得，∴M（2t，）。∵BC=8，PM=，OE=2t，EA=，∴。∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0＜t＜4）。∵，∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。（3）存在。∵由（2），在0＜t＜4，即0＜t＜8时，∠AMP和∠APM不可能为直角。若∠PAM为直角，则PA⊥CA，∴△AOC∽△PEA。∴。设P（p，），则OC=4，OA=8，EA=8－p，EP=，17\n∴，整理得，解得（舍去）。当时，EP==10。∴P（3，10）。∴当P（3，10）时，△PAM是直角三角形。3、（2022河南南阳市模拟）(10分)如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．第22题图【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，17\n∴△BPE∽△CEQ，∴，∵BP=a，CQ=a，BE=CE，∴BE=CE=a，∴BC=3a，∴AB=AC=BC•sin45°=3a，∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，连接PQ，在Rt△APQ中，PQ==a．4、（2022重庆一中一模）24．已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点,过点作于点，交于点，过点作,交延长线于点．（1）若正方形的边长为4，求的面积；（2）求证：．【答案】123H45解又四边形ABCD为正方形，............5分,在CN上截取NH=FN，连接BH17\n又又AB=BC.................10分5、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.①求证：BD⊥CF；②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.图1图2图3解（1）BD＝CF成立.理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,∵∠BAD=，∠CAF=，∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF.∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分）（2）①证明：设BG交AC于点M.∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.17\n∵∠BMA＝∠CMG，∴△BMA∽△CMG.∴∠BGC＝∠BAC＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分）②过点F作FN⊥AC于点N.∵在正方形ADEF中，AD＝，∴AN＝FN＝.∵在等腰直角△ABC中，AB＝4，∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.Rt△FCN∽Rt△ABM，∴∴AM＝.∴CM＝AC－AM＝4－＝，.……（9分）∵△BMA∽△CMG，∴.∴.∴CG＝.……………………………………（11分）∴在Rt△BGC中，.……………………..（12分）6、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．17\n解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组解得：∴抛物线的解析式为……………………………（4分）（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）……………………（8分）（3）如图设点E，则①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE17\n=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：即，∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）7、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(每小题8分，共16分)(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．CABDEF第17(1)题图(2)一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？(1)证明：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DEAC，EFAB，…………2分∴四边形ADEF为平行四边形．…………4分又∵AC＝AB，∴DE＝EF．…………6分∴四边形ADEF为菱形．…………8分(2)解：设江水的流速为x千米/时，依题意，得：…………1分＝，………………4分解得：x＝5．………………6分经检验：x＝5是原方程的解．…………7分17\n答：江水的流速为5千米/时．…………8分8、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为边AC上一个点（可以包括点C但不包括点A），以P为圆心PA为半径作⊙P交AB于点D，过点D作⊙P的切线交边BC于点E.（1）求证：BE=DE；（2）若PA=1，求BE的长；（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段BE长度的取值范围为.、⑴证：连接PD.∵DE切⊙O于D.∴PD⊥DE.∴∠BDE+∠PDA=90°.∵∠C=90°.∴∠B+∠A=90°.∵PD=PA.∴∠PDA=∠A.∴∠B=∠BDE.∴BE=DE⑵连PE,设DE=BE=X,则EC=4-X.∵PA=PD=1,AC=3.∴PC=2.∵∠PDE=∠C=90°∴ED+PD=EC+CP=PE.∴x+1=(4-x)+2.解得x=.∴BE=⑶≤BC<9、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．、17\n解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)∴解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.∴.∴=×PN=PN.∴当PN取最大值时,取最大值.设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n)+t.∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2（n-）.∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-).10、图8（2022年广西钦州市四模）某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图8所示，已知m，，于点（1）求的大小.（2）求的长度.17\n解：（1）…………………………（1分）…………………………（2分）==…………………………（4分）（2）………………………………………………………………（5分）在中，，………………………………………………………（6分）==.…………………………………………………（8分）17
