矩形、菱形、正方形一、选择题1、（2022年安徽凤阳模拟题二）如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（）A．(3，2)B．(－2，－3)C．(3，2)或(－3，－2)D．(2，3)或(－2，－3)答案：C2、(2022年安徽省模拟八)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，联结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝，AE＝，则能反映与之间函数关系的大致图象是第1题图第2题图3、(2022年湖北荆州模拟5)如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（▲）A．B．C．D．4、（2022年上海奉贤区二模）对角线相等的四边形是（▲）A．菱形；B．矩形；C．等腰梯形；D．不能确定；答案：D5、（2022浙江省宁波模拟题）如图，边长为12的正方形ABCD中，有一个正方形ＥＦＧＨ，其中Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在AB、BC、DF上，若BF=3，则正方形ＥＦＧＨ的边长为（）35\nA．5B．6C．D．F第11题EBDCAGH答案：C6.（2022沈阳一模）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（） A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形答案：C7、（2022浙江锦绣·育才教育集团一模）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积（▲）A．B．C．D．3答案：B（第1题）ABCDE8、(2022年江苏南京一模)如图，在矩形ABCD内，以BC为一边作等边三角形EBC，连接AE、DE．若BC＝2，ED＝，则AB的长为A．2B．2C．＋D．2＋答案：C9、（2022云南勐捧中学二模）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（）（A）20cm（B）18cm（C）16cm（D）12cm【答案】C10、（2022宁波五校联考一模）如图，正方形ABCD及正方形AEFG，连结BE、CF、DG，则BE：CF：DG等于（）A．1：1：1B．1：：1C．1：：1D．1：2：135\n答案：B11．（2022宁波五校联考一模）如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF//AB.线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A．B．C．D．答案：C12、（2022山东德州特长展示）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为100° 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ）A．25°或50°B．20°或50°C．40°或50°D．40°或80°C13、（2022山东德州特长展示）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB．下列说法中错误的是()A第2题图EBCDFA．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90º，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形14、（2022山东德州特长展示）如图是一个由正方形ABCD和半圆O组成的封闭图形，点O是圆心．点P从点A出发，沿弧AB、线段BC、线段CD和线段DA匀速运动，到达终点A．运动过程中OP扫过的面积（s）随时间（t）变化的图象大致是（ ） 第3题图ABCDOPtOOOOtttssssABCD35\nA15、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长是（）cm．A．8B．8C．3πD．4πD16、(2022年福州市初中毕业班质量检查)“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形(阴影部分)的概率是，则大、小两个正方形的边长之比是第5题图A．3∶1B．8∶1C．9∶1D．2∶1A17、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为().A.6B.5C.D.D18、（2022年湖北武汉模拟）.如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点处.若，则的度数为A．B.C.D.答案：B19.（2022年湖北武汉模拟）如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连结EG、35\nOF.则∠OFG的度数是A.60°B.45°C.30°D.75°答案：B20.（2022年湖北宜昌调研）如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在F处，线段CN的长是（）（A）6（B）5（C）4（D）3答案：D21.（2022年吉林沈阳模拟）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（） A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形答案：CDEABCMN22．（2022年江苏东台第二学期阶段检测）如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN．若CE的长为8cm，则MN的长为A．12cmB．12．5cmC．cm D．13．5cm答案：C23．(2022年江苏无锡崇安一模）下列图形中不是中心对称图形的是…………………………………………………（▲）A．矩形B．菱形C．正五边形D．平行四边形答案：C24、图4（2022年广西钦州市四模）正方形、正方形和正方形的位置如图4所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为：（Ａ）10 （Ｂ）12（Ｃ）14 （Ｄ）16答案：D35\n25．（2022年杭州拱墅区一模）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④答案：D26.（2022上海黄浦二摸）我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中真命题是（A）有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形（B）有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形（C）有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形（D）有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形答案：D27．（2022年上海静安区二摸）如果□ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断□ABCD为菱形的是（A）∠OAB＝∠OBA（B）∠OAB＝∠OBC（C）∠OAB＝∠OCD（D）∠OAB＝∠OAD答案：D28．（2022年上海徐汇区二摸）下列正方形的性质中，菱形（非正方形）不具有的性质是Ａ．四边相等；Ｂ．对角线相等；Ｃ．对角线平分一组对角；Ｄ．对角线互相平分且垂直．答案：B二、填空题1．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．35\n第1题答案：52、(2022年安徽省模拟八)点E、F分别在一张长方形纸条ABCD的边AD、BC上，将这张纸条沿着直线EF对折后如图，BF与DE交于点G，如果∠BGD=30°，长方形纸条的宽AB=2cm，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积S△GEF=______cm2.ABDCEFG第1题图答案：43、（2022届宝鸡市金台区第一次检测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=120°，则∠AOE=答案：209、(2022北仑区一模)18.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为▲．【答案】（第1题）10、（2022重庆一中一模）16．如图，矩形中,，以的长为半径的交边于点，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留根号和π）．第16题图【答案】11．（2022江西饶鹰中考模拟）在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC35\n的长为5，则⊙O的半径长为.答案：5xyOABO3x2y第1题图12、（2022山东德州特长展示）如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD:AB=:2，CP:BP=1:2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AOAP=OB2．其中正确的序号是_______________．（把你认为正确的序号都填上）①②③13、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点D，且与AB、BC分别交于E、F两点，若四边形BEDF的面积为1，则的值为．14、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为对角线AC上一点，过P作BP的垂线交直线AD于点Q，若△APQ为等腰三角形，则AP的长度为或.3.6或115、（2022年江苏东台第二学期阶段检测）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.35\n答案：217．（2022年上海静安区二摸）在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，四边形EFGH是矩形，EF=2FG，那么矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是 ▲．答案：18．（2022年上海闵行区二摸）如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，EF⊥AE，与边CD相交于点F，如果△CEF的面积等于1，那么△ABE的面积等于▲．ABCDEF（第17题图）答案：419．（2022年上海浦东新区二摸）如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以D为圆心的同一圆弧上，且∠ADE=∠CDF，那么EF的长度等于▲．（结果保留）答案：第16题图20．（2022年上海浦东新区二摸）边长为1的正方形内有一个正三角形，如果这个正三角形的一个顶点与正方形的一个顶点重合，另两个顶点都在这个正方形的边上，那么这个正三角形的边长是▲．答案：35\n三、解答题1、（2022年湖北荆州模拟题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点与相较于点，与相较于，连接.请你判定四边形是什么特殊四边形，并说明理由.解：四边形是菱形.理由如下：四边形是矩形∴AD∥BC 是的垂直平分线 四边形是平行四边形 是的垂直平分线平行四边形是菱形2、（2022年安徽模拟二）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F都在AG上，连接BE、DF，有∠1=∠2，∠3=∠4．第2题图（1）证明：；（2）若，求EF的长．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=2．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴（ASA）．（2）∵∠1=∠2，∠1+∠4=，∴∠2+∠4=，即．∵∠G+∠4=，∴∠2=∠G=．∴AE=1，BE=．由（1）可知AF=BE=，∴EF=AF－AE=－1．3.（2022年北京房山区一模）已知，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行操作：35\n如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)（1）通过操作，最后拼成的四边形为（2）拼成的这个四边形的周长的最小值为_______________________________cm,最大值为___________________________cm．答案：（1）平行四边形；-----------------------------1分（2）拼成的平行四边形上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6，左右两边的长等于线段MN的长，当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来矩形的边AB的一半，等于4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2（6+4）=20；----------------------------3分当点E与点A重合，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，等于，此时，这个四边形的周长最大，其值为2（6+）=12+.-----------5分4、(2022年安徽省模拟六)如图，正方形ABCD中，AB＝24，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长度；（3）求△FGC的面积．答案：解:（1）∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；（3分）②∵EF=DE=CD=8，设BG=FG=x，则CG=24－x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得：（24－x）2+162=（x+8）2，解之，解得：x=12．（7分）(3)∵S△GCE=GC•CE=×12×16=96.35\n∵GF=12，EF=8，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=3：2，第1题图∴S△GFC=×96=．（12分）5、(2022年安徽省模拟八)(本题满分10分)已知：平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G；（1）求证：BH=AB；（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．第2题图答案：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB，DC∥AB，∴∠C=∠EBH，∠CDE=∠H又∵E是CB的中点，∴CE=BE∴△CDE≌△BHE，∴BH=DC∴BH=AB（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠ADF=∠G∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=AB，∠A=∠C∵E、F分别是CB、AB的中点，∴AF=CE∴△ADF≌△CDE，∴∠CDE=∠ADF∴∠H=∠G6、(2022年安徽省模拟八)如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）后，四边形ABQP面积为S米2．ADBCPQ第3题图⑴求面积S关于时间t的函数关系式；⑵在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．35\n答案：⑴过点P作PE⊥BC于E， Rt△ABC中，AC＝10（米） 由题意知：AP＝2t，CQ＝t，则PC＝10－2t 由AB⊥BC，PE⊥BC得PE∥AB∴＝ 即：＝∴PE＝（10－2t）＝－t＋6又∵S＝×6×8＝24∴S＝S－S△CPQ＝24－·t·（－t＋6）＝t2－3t＋24S＝t2－3t＋24⑵假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等，则有：t2－3t＋24＝12， 即：t2－5t＋20＝0∵b2－4ac＝（－5）2－4×1×20＜0∴方程无实根∴在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等。7、（2022届宝鸡市金台区第一次检测）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4、给出如下结论：①S1＋S4=S2＋S3;②S2＋S4=S1＋S3;③若S3=2S1，则S4=2S2;④若点P在矩形的对角线BD（不含B、D两点）上，则S1=S2，其中正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）答案：②④8、（2022年上海奉贤区二模）如图，已知是等边三角形，点是延长线上的一个动点，以为边作等边，过点作的平行线，分别交的延长线于点，联结．（1）求证：；（2）如果BC=CD，判断四边形的形状，并说明理由．ADCBFEG答案：（1）∵等边和等边∴，∠CAB=∠EAD=60°-------------------------(1分)∵∠BAE+∠EAC=60°，∠DAC+∠EAC=60°35\n∴∠BAE=∠CAD--------------------------------------------------------------（2分）∴--------------------------------------------------------(3分)(2)∵∴∠ABE=∠ACD,BE=CD---------------------(1分)∵∠ABC=∠ACB=60°∴∠ABE=∠ACD=∠BCG=120°∴∠DBE=60°∴∠BCG+∠DBE=180°，∴BE//CG------------------------------(2分)∵BC//EG∴四边形是平行四边形-------------------------------(1分)∵BC=CD，∴BE=BC---------------------------------------------------(1分)∴四边形平行四边形是菱形。-----------------------------------(1分)9、（2022年上海长宁区二模)如图，△ABC中，∠ACB=，D、E分别是BC、BA的中点，联结DE，F在DE延长线上，且AF=AE.（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数.答案：（1）证：∵∠ACB=，又∵E是BA的中点∴CE=AE=BE∵AF=AE∴AF=CE(2分)在△BEC中∵BE=CE且D是BC的中点∴ED是等腰△BEC底边上的中线∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线∴∠1=∠2∴∠AEC=－∠1－∠2=－2∠1(2分)∵AF=AE∴∠F=∠3∵∠1=∠3∴∠1=∠F=∠3∴在△AEF中∠FAE=－∠3－∠F=－2∠1(2分)∴∠AEC=∠FAE35\n∴CE//AF又∵CE=AF∴四边形ACEF是平行四边形(2分)①解：∵四边形ACEF是菱形∴AC=CE由（1）知AE=CE∴AC=CE=AE∴△AEC是等边三角形(2分)∴∠4=在Rt△ABC中∠B=－∠4=(2分)10.（2022沈阳一模）（7分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.答案：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB=.（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE－PF=OF－BF=OB=.11、(2022年江苏南京一模)（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB＝1，则当∠ABC＋∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．ABCDEFGH（第1题）35\n答案：（本题8分）（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，∴FG＝CD，HE＝CD，FH＝AB，GE＝AB．2分∵AB＝CD，∴FG＝FH＝HE＝EG．3分∴四边形EGFH是菱形．4分（其他方法参照给分）（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，∴GF∥DC，HF∥AB．5分∴∠GFB＝∠DCB，∠HFC＝∠ABC．∴∠HFC＋∠GFB＝∠ABC＋∠DCB＝90°．∴∠GFH＝90°．6分∴菱形EGFH是正方形．7分∵AB＝1，∴EG＝AB＝．∴正方形EGFH的面积＝()2＝．8分12、(2022年江苏南京一模)（8分）如图，正方形的边长为12，其内部有一个小正方形，其中、、分别在、上．若，求小正方形的边长．答案：（本题8分）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝12，CE＝3．…………………………………………1分在Rt△ABE中，AB＝12，BE＝9，∴AE＝＝15．…………………………………………………………………2分∵∠AEB＋∠CEF＝∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，且∠B＝∠C＝90°，∴△ABE～△ECF．…………………………………………………………………6分∴＝．即＝，EF＝．即小正方形EFGH的边长．…………………………………………………………8分13、(2022年江苏南京一模)（10分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°(，得线段PQ.35\n（1）若点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若点Q落在边CD上，且∠ADB=n°.①探究m与n之间的数量关系；DBAOC第3题备用图DBAOC第3题图DBAOC第3题备用图②若点P在线段OB上运动，PQ=QD，求n的取值范围.（在备用图中探究）答案：（1）作AD的垂直平分线，交BC于点P。…………………………（3分）（2）①如图，连接PC.由PC=PQ，得∠3=∠4。由菱形ABCD，得∠3=∠PAD。所以得∠4=∠PAD，…………………………（4分）而∠4+∠PQD=180°.所以∠PAD+∠PQD=180°.所以m+2n=180.……………………………（6分）②解法一：∵PQ=QD，∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°.…（7分）而点P在线段BO上运动，∴∠BCD≥∠3≥∠ACD，∴180-2n≥2n≥90-n，………………………（9分）∴30≤n≤45．………………………………(10分)解法二：由PQ=QD，可得∠QPD=∠1，又∠1=∠2，∴∠QPD=∠2，…………………………（7分）∵点P在线段OB上运动，∴∠ABC≤∠APQ且∠APQ≤90°+∠2（或∠ABC≤∠APQ≤90°+∠2）即（或2n≤180-2n≤90+n）……（9分）∴30≤n≤45．…………………………………………（10分）14、(2022年江苏南京一模)（8分)如图（1），四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，A、B、E在一条直线上．已知，AD=EF=6，AB=BE=2，∠E=．如图（2）四边形ABCD可以沿着直线l左右平移，移动后连接A、E、F、D形成四边形AEFD．（1）在平移过程中，四边形AEFD是否可以形成矩形？如果可以，直接写出矩形的面积；如果不可以，请说明理由；（2）试探究如何平移，四边形AEFD为菱形（借助备用图，写出具体过程和结论）？35\n图（1）图（2）备用图（1）备用图（2）答案：（本题8分）（1）12cm2；……………………2分（2）①如图，若四边形ABCD沿直线l向右平移形成菱形，过点A做AP⊥直线l，∵∠AB′P＝60，∴∠B′AP＝30．∵AB＝2，∴B′P＝AB′＝1．在Rt△AB′P中，根据勾股定理，得AP2＝AB′2－B′P2，∴AP＝．∵四边形AEFD为菱形，∴AE＝AD＝6．根据题意有AB′∥EB，∴∠EBQ＝∠AB′Q．在△AB′Q和△EBQ中，∠AB′Q＝∠EBQ，∠AQB′＝∠EQB，AB′＝EB,∴△AB′Q≌△EBQ．∴AQ＝QE＝3，BQ＝B′Q＝BB′．在Rt△AQP中，根据勾股定理，得QP2＝AQ2－AP2.∴QP＝．∵B′Q＝QP－B′P＝－1，∴BB′＝2－2，即四边形ABCD沿直线l向右平移（2－2）cm可以得到菱形AEFD．……………………5分②如图，当四边形ABCD沿直线l向左平移形成菱形时，过点A做AP⊥直线l，由①知AP＝．∵四边形AEFD为菱形，∴AE＝AD＝6．根据题意有AB′∥EB，∴∠EBQ＝∠AB′Q.在△AB′Q和△EBQ中，∠AB′Q＝∠EBQ，35\n∠AQB′＝∠EQB，AB′＝EB，∴△AB′Q≌△EBQ．∴AQ＝QE＝3，BQ＝B′Q＝BB′．在Rt△AQP中，根据勾股定理，得QP2＝AQ2－AP2∴QP＝．∵B′Q＝QP＋B′P＝＋1，∴BB′＝2＋2，即四边形ABCD沿直线l向左平移（2＋2）cm可以得到菱形AEFD．ABCADEF（第5题）15、(2022年江苏南京一模)（8分）如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．ABCADEF（第5题）答案：（本题8分）证明：（1）在□ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE＝∠ABD，∠CDF＝∠CDB．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CDF中，∵∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF．………………………………………………4分（2）∵AB＝DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB＝90°．∵AB＝DB，AB＝CD，∴DB＝CD．∵DF平分∠CDB，∴DF⊥BC，即∠BFD＝90°．在□ABCD中，∵AD∥BC，∴∠EDF＋∠DEB＝180°．∴∠EDF＝90°．∴四边形DFBE是矩形．…………………………………………8分16、（黑龙江2022）(本题10分)如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°（1）求证：AG=FG;（2）延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长.35\n（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点∵∠CFB=45°∴CH=HF（1分）∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°∴∠BAG=∠FBE∵AG⊥BFCH⊥BF（1分）∴∠AGB=∠BHC=90°在△AGB和△BHC中∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC（1分）∴△AGB≌△BHC（1分）∴AG=BH，BG=CH∵BH=BG+GH∴BH=HF+GH=FG∴AG=FG（1分）(2)∵CH⊥GF∴CH∥GM∵C为FM的中点∴CH=GM∴BG=GM∵BM=10∴BG=，GM=（1分）∴AG=AB=10∴HF=∴CF=×∴CM=（1分）过B点作BK⊥CM于K∵CK==，∴BK=（1分）过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q∴△BKC≌△CQD∴CQ=BK=（1分）DQ=CK=∴QF=－=∴DF==（1分）17、（2022云南勐捧中学三模）(本小题7分)如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF．第22题图35\n【答案】解：证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠FAC=∠EAC，∵AC=AC，AE=AF，∴△ACE≌△ACF．18、(2022年广东省佛山市模拟)（原创）如图（1）矩形纸片ＡＢＣＤ，把它沿对角线折叠，会得到怎么样的图形呢？（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图轨迹，只需画出其中一种情况）（2）折叠后重合部分是什么图形？试说明理由。ADCB（1）ADCB（2）ＢFCAＤE20题G（1）图略（4分）（2）等腰三角形（1分）（2分）19、（2022年广州省惠州市模拟）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（1）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；（2）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．35\n解：（1）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．∴点P的坐标为（，6）。（3分）（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴。由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m．∴。∴（0＜t＜11）。（8分）（3）点P的坐标为（，6）或（，6）。（12分）20、(2022北仑区一模)23．(本题9分)已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．（1）求证：CD=AN；（2）若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【答案】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，--------------------------------------------------1分在△AMD和△CMN中，∠DAC=∠NCAAM=MC∠AMD=∠CMN∴△AMD≌△CMN（ASA），------------------------------------------------2分∴AD=CN，------------------------------------------------------------------------3分又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，---------------------------------------------4分∴CD=AN；------------------------------------------------------------------------5分35\n②∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，∴∠MCD=∠MDC，∴MD=MC，---------------------------------------------------------------6分由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD=MN=MA=MC，∴AC=DN，-----------------------------------------------------------8分∴四边形ADCN是矩形．----------------------------------------------9分21、（2022温州模拟）18．(本题8分)如图，矩形ABCD中，M是CD的中点.求证：（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA【答案】证明：（1）在矩形ABCD中∵M是CD的中点∴DM=MC…………………1分∵∠D=∠C=90°AD=BC…………………2分∴△ADM≌△BCM…………1分（2）∵△ADM≌△BCM∴AM=MB………………2分∴∠MAB=∠MBA…………………2分证明：（1）在矩形ABCD中∵M是CD的中点∴DM=MC…………………1分∵∠D=∠C=90°AD=BC…………………2分∴△ADM≌△BCM…………1分（2）∵△ADM≌△BCM∴AM=MB………………2分∴∠MAB=∠MBA…………………2分22.（2022重庆一中一模）24．已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点,过点作于点，交于点，过点作,交延长线于点．（1）若正方形的边长为4，求的面积；（2）求证：．【答案】123H4523.解35\n又四边形ABCD为正方形，............5分,在CN上截取NH=FN，连接BH又又AB=BC.................10分24.（2022辽宁葫芦岛一模）（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；图1图2（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论．（1）∠BMD=3∠ADM………………3分（2）联结CM，取CE的中点F，联结MF，交DC于N，四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC,∴四边形ABCE是梯形.………………7分∵M是AB的中点，∴MF∥AE∥BC，∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4.∵CE⊥AE，∴MF⊥EC，又∵F是EC的中点，∴ME=MC，∴∠1=∠2.∴∠1=∠2=∠3.∴∠BME=3∠AEM.………………10分25.（2022宁波五校联考二模）如图，正方形BCEF的中心为O，△CBO的外接圆上有一点A（A、O在BC同侧，A、C在BO异侧），且（1）求的值；（2）求的值；（3）求正方形BCEF的面积答案：.(1)45(2)(3)8035\n26、（2022山东德州特长展示）（本题满分10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠ECG＝45°，请你利用（1）的结论证明：．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC=6，E是AB上一点，且∠ECG＝45°，BE＝2．求△ECG的面积．ABCDEFABCGEABCDE图1图2图3G解答：（1）证明：在正方形ABCD中，ABCDEF图1∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE＝CF．…………………………2分（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF．ABCDEF图2G由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，∴∠BCE+∠GCD＝45°．∴∠DCF＋∠GCD＝∠GCF＝45°35\n即∠ECG＝∠GCF．又∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．…………………………5分∴=．∴．……………6分（3）解：如图3，过C作CD⊥AG，交AG延长线于D．BCAGED（图3）在直角梯形ABCG中，BCADEG（第23题答案图3）∵AG∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∠CDA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形．已知∠ECG＝45°．由（2）中△ECG≌△FCG，∴GE＝GF．∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．设DG＝x，∵BE=2，AB=6，∴AE=4，AG＝6—x，EG=2+x．在Rt△AEG中，解得：x＝3．………。∴△CEG的面积为15．…………………………10分27、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.①求证：BD⊥CF；②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.35\n图1图2图3解（1）BD＝CF成立.理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,∵∠BAD=，∠CAF=，∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF.∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分）（2）①证明：设BG交AC于点M.∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.∵∠BMA＝∠CMG，∴△BMA∽△CMG.∴∠BGC＝∠BAC＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分）②过点F作FN⊥AC于点N.∵在正方形ADEF中，AD＝，∴AN＝FN＝.∵在等腰直角△ABC中，AB＝4，∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.Rt△FCN∽Rt△ABM，∴∴AM＝.∴CM＝AC－AM＝4－＝，.……（9分）∵△BMA∽△CMG，∴.∴.∴CG＝.……………………………………（11分）∴在Rt△BGC中，.……………………..（12分）28、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(每小题8分，共16分)(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．(2)35\n一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？CABDEF(1)证明：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DEAC，EFAB，…………2分∴四边形ADEF为平行四边形．…………4分又∵AC＝AB，∴DE＝EF．…………6分∴四边形ADEF为菱形．…………8分(2)解：设江水的流速为x千米/时，依题意，得：…………1分＝，………………4分解得：x＝5．………………6分经检验：x＝5是原方程的解．…………7分答：江水的流速为5千米/时．…………8分29、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(10分)如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网格．小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC的顶点都在格点上．ABCEF(1)格点E、F在BC边上，的值是_________；(2)按要求画图：找出格点D，连接CD，使∠ACD＝90°；(3)在(2)的条件下，连接AD，求tan∠BAD的值．解：(1)………3分(2)标出点D，………5分连接CD．………7分(3)解：连接BD，………8分∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，BD＝＝＝．……9分由(1)可知BF＝AF＝2，且∠BFA＝90°，∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝＝＝2．……10分∴∠ABD＝∠ABF＋∠FBD＝45°＋45°＝90°．……11分∴tan∠BAD＝＝＝．……12分35\n30、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始)，速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．(1)求证：四边形MFCN是矩形；(2)设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；(3)在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．ABCDEMFN第21题图备用图(1)证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC＝90°．…………1分∵MN∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°．∴∠FMN＝90°．…………2分∵∠C＝90°，∴四边形MFCN是矩形．…………3分(若先证明四边形MFCN是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)ABCDEMFN(2)解：当运动时间为t秒时，AD＝t，∵F为DE的中点，DE＝2，∴DF＝EF＝DE＝1．∴AF＝t＋1，FC＝8－(t＋1)＝7－t．∵四边形MFCN是矩形，∴MN＝FC＝7－t．…………4分又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°．∴在Rt△AMF中，MF＝AF＝t＋1，…………5分∴S＝S△MDE＋S△MNE＝DE·MF＋MN·MF＝×2(t＋1)＋(7－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋…………6分35\n∵S＝－t2＋4t＋＝－(t－4)2＋∴当t＝4时，S有最大值．…………7分(若面积S用梯形面积公式求不扣分)(3)解：∵MN∥AC，∴∠NME＝∠DEM．…………8分①当△NME∽△DEM时，∴＝．…………9分∴＝1，解得：t＝5．…………10分②当△EMN∽△DEM时，∴＝．…………11分∴EM2＝NM·DE．在Rt△MEF中，ME2＝EF2＋MF2＝1＋(t＋1)2，∴1＋(t＋1)2＝2(7－t)．解得：t1＝2，t2＝－6(不合题意，舍去)综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．……12分31、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分)如图1，在长方形纸片ABCD中，，其中≥1，将它沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0＜n≤1．(1)如图2，当（即M点与D点重合），=2时，则=；（2）如图3，当（M为AD的中点），的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当（AB=2AD），的值发生变化时，的值是否发生变化？说明理由．解：⑴⑵延长PM交EA延长线于G，则△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP.⑶设AD=1,AB=2,过E作EH⊥CD于H,∵∠EFP=∠FPN=∠MPD=∠EMA.∴△EFH∽ΔEMA∴∵AE的长度发生变化,∴的值将发生变化.32、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△35\nPMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．、解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)∴解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.∴.∴=×PN=PN.∴当PN取最大值时,取最大值.设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n)+t.∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2（n-）.∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-).33、（2022年吉林沈阳模拟）（7分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.35\n答案：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB=.（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE－PF=OF－BF=OB=.34.（2022年江苏东台第二学期阶段检测）(8分)如图，在菱形ABCD中，AB=2，,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形.答案：25.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM∴又∵点E是AD中点，∴DE=AE∴△DEN≌△AEM，∴ND=AM∴四边形AMDN是平行四边形（4分）（2）①1；（6分）②2（8分）35.（2022年江苏东台第二学期阶段检测）（12分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G。（1）求证：AF⊥BE；（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；（3）若GO：CF=4：5，试确定E点的位置。答案：27.解：（1）证明：∵ABCD为正方形，且DE=CF，∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°。∴△ABE≌△DAF（SAS）。∴∠ABE=∠DAF。又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DAF+∠AEB=90°。∴∠AOE=90°，即AF⊥BE。（4分）（2）BO=AO+OG。理由如下：由（1）的结论可知，∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，∴△ABO≌△DAG（AAS）。∴BO=AG=AO+OG。（8分）（3）过E点作EH⊥DG，垂足为H，由矩形的性质，得EH=OG，35\n∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5。∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，∴∠AEB=∠EDH。∴△ABE∽△HED。∴AB：BE=EH：ED=4：5。在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，∴AE：AD=3：4，即AE=AD。∴点E在AD上离点A的AD处。（12分）36、（2022年杭州拱墅区一模）如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，FE交线段DC于点Q，FE的延长线交线段BC于点P，连结AP、AQ．（1）求证：△ADQ≌△AEQ；（2）求证：PQ＝DQ＋PB；（3）当∠1=∠2时，求PQ的长．（1）∵ABCD是正方形，∴在Rt△ADQ和Rt△AEQ中，有AD＝AE，AQ＝AQ，∴△ADQ≌△AEQ（HL）------------------3分（2）同理可证得△AEP≌△ABP--------------------------------------------1分∴PB＝PE，由（1）QD＝QE，∴PQ＝QE＋PE＝DQ＋PB------------2分（3）当∠1=∠2时，Rt△ADQ∽Rt△PCQ，∴∠3＝∠4，又∵∠3＝∠5∴∠3＝∠4＝∠5，且∠3＋∠4＋∠5＝180°，∴∠3＝60°--------------1分∴Rt△ADQ中，AD＝3，DQ＝-------------------------------------------1分∴QC＝3―，∴PQ＝2QC＝6―2------------------------------------2分37．（2022年唐山市二模）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝EB，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；35\n（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．ABCDPEO·ABCDPEO·ABCDO·【答案】（1）PE＝PD且PE⊥PD………………2分ABCDPEO·12543（2）成立………………3分理由：∵四边形ABCD是正方形∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，∠BCD＝90°又∵PC＝PC∴△BCP≌△DCP∴PB＝PD，∠1＝∠2又∵PE＝PB∴PE＝PD，∠1＝∠3………………5分ABCDO·PE∴∠2＝∠3∵∠BCD＝90°∴∠DCE＝90°∴∠DPE＝180°―∠2―∠5∠DCE＝180°―∠3―∠4又∵∠4＝∠5∴∠DPE＝∠DCE＝90°即PE⊥PD………………9分（3）仍然成立………………10分作图如图………………12分38．（2022年上海闵行区二摸）（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，BC=2AD．DE⊥BC，垂足为点F，且F是DE的中点，联结AE，交边BC于点G．ABCDEFG（第23题图）（1）求证：四边形ABGD是平行四边形；（2）如果，求证：四边形DGEC是正方形．答案：23．证明：（1）∵DE⊥BC，且F是DE的中点，∴DC=EC．即得∠DCF=∠ECF．……………………………………………35\n（1分）又∵AD//BC，AB=CD，∴∠B=∠DCF，AB=EC．∴∠B=∠ECF．∴AB//EC．…………………………………（1分）又∵AB=EC，∴四边形ABEC是平行四边形．……………（1分）∴．………………………………………………（1分）∵BC=2AD，∴AD=BG．………………………………………（1分）又∵AD//BG，∴四边形ABGD是平行四边形．……………（1分）（2）∵四边形ABGD是平行四边形，∴AB//DG，AB=DG．…………………………………………（1分）又∵AB//EC，AB=EC，∴DG//EC，DG=EC．∴四边形DGEC是平行四边形．…………………………………（1分）又∵DC=EC，∴四边形DGEC是菱形．……………………（1分）∴DG=DC．由………………（1分）∴．∴．∴四边形DGEC是正方形．……………………………………（2分）35
