矩形、菱形、正方形一、选择题1、（2022江苏射阴特庸中学）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为()A．2B．2C．4D．4答案：B10题图2、（2022江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.A．2＋B．2＋2 C．12 D．18答案：B3、(2022山西中考模拟六)在下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形答案：C4、（2022·湖州市中考模拟试卷1）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是（ ）A.24B.18C.12D.6答案：A5、（2022·湖州市中考模拟试卷7）正方形、正方形和正方形17\n的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（）A.10 B.12C.14 D.16答案：D6、（2022·湖州市中考模拟试卷10）如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是()A.B.C.D.答案：D7、6．(2022年河北省一摸)|下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是A．①②③B．①②C．①③D．②③答案：B第8题图DABCE8、(2022年河北二摸)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，AE=3，则tan∠DBE的值是A．B．2C．D．答案：B9、(2022年河北三摸)一个正方形的面积等于10,则它的边长a满足A.3＜a＜4B.5＜a＜6C.7＜a＜8D.9＜a＜10答案：AABDCOEF10、(2022年河北三摸)如图，矩形ABCD的对角线AC⊥OF，边CD在OE上，∠BAC＝70°，则∠EOF等于A.10° B.20° C.30°D.70°17\n答案：B11、(2022年河北三摸)如图，在正方形ABCD中，AB＝3㎝．动点M自A点出发沿AB方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3㎝的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（㎝2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是123-112xyO123-112xyO123-112xyO123-112xyOA．B．C．D．CABDMN答案：B12、(2022年河北四摸)如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形ACD7题题B答案：B二、填空题ADHGCFBE第1题1、（2022山东省德州一模）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．答案：BACDE（第2题）2、（2022温州市一模）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=.17\n答案：15°3、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.答案：2.54、（2022·温州市中考模拟）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2=______.125题图6题图7、2022年温州一摸）如图，以O为顶点的两条抛物线分别经过正方形的四个顶点A、B、C、D，则阴影部分的面积为______答案：18、（2022年温州一摸）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2=______.(2)若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．答案证：（1）由□ABCD，得AD=BC,AD∥BC.……2分由BE=DF,得AF=CE,∴AF=CE,AF∥CE.……3分17\n∴四边形AECF是平行四边形；……4分（2）由菱形AECF,得AE=EC，∴∠EAC=∠ACE.……5分由∠BAC=90°，得∠BAE=∠B，∴AE=EB.……7分∴BE=AE=EC，BE=5.……8分2、（2022江苏射阴特庸中学）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（结果精确到1mm）答案：解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．……2分∵∠α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，∴∠ADF=∠α=36°．根据题意，得BE=24mm,DF=48mm．……4分在Rt△ABE中，sinα=BE/AB，∴AB=BE/sin36°=40(mm).……6分在Rt△ADF中，cos∠ADF=DF/AD，∴AD=DF/COS36°=60(mm）．8分∴矩形ABCD的周长=2(40+60)=200(mm)．……10分3、（2022江苏射阴特庸中学）如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C．(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．答案：(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,……2分由AB=AD，得四边形ABCD是正方形.……3分(2)MN2=ND2+DH2.……4分理由：连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°,∴∠NDH=90°,……6分再证△AMN≌△AHN，得MN=NH，……7分∴MN2=ND2+DH2.……8分(3)设AG=x，则EC=x-4,CF=x-6,17\n由Rt△ECF，得(x-4)2+(x-6)2=100,x1=12,x2=-2(舍去)∴AG=12.……10分由AG=AB=AD=12,得BD=12,∴MD=9,设NH=y,由Rt△NHD,得y2=(9-y)2+(3)2,y=5,即MN=5.……12分4、(2022山西中考模拟六)如图，在中，，，．是边上一点，直线于，交于，交直线于．设．（1）当取何值时，四边形是菱形？请说明理由；（2）当取何值时，四边形的面积等于？答案：解：（1），，又，．又，四边形是平行四边形．当时，四边形是菱形．此时，，，，．∴．在中，，∴∴（负值不合题意，舍去）．即当时，四边形是菱形．（2）由已知得，四边形是直角梯形，，依题意，得．整理，得．解之，得，．，∴舍去．∴当时，梯形的面积等于．5、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于F.17\n(1)∠DEF和∠CBE相等吗？请说明理由；(2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.答案：解：（1）相等.理由如下:……1分∵四边形ABCD是矩形∴∠C=∠D=90°∴∠BEC+∠CBE=90°∵EF⊥BE∴∠BEF=90°∴∠DEF+∠BEC=90°∴∠DEF=∠CBE………3分（2）BE=EF.理由如下:………4分∵AE平分∠DAB∴∠DAE=∠BAE∵AB∥CD∴∠BAE=∠DEA∴∠DAE=∠DEA∴AD=ED=BCA∵∠C=∠D=90°∠DEF=∠CBE∴△DEF≌△CBE（ASA）∴BE=EF…………8分6、（2022·湖州市中考模拟试卷3）已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2.（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积（用含a的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由.解：（1）如图①，过点G作于M.在正方形EFGH中，.………………………1分17\n又∵，∴⊿AHE≌⊿BEF.………………………2分同理可证：⊿MFG≌⊿BEF.………………………3分∴GM=BF=AE=2.∴FC=BC-BF=10.………………………4分（2）如图②，过点G作于M.连接HF.………………………5分又∴⊿AHE≌⊿MFG.………………………6分∴GM=AE=2.………………………7分………………………8分（3）⊿GFC的面积不能等于2.………………………9分∵若则12-a=2，∴a=10.此时，在⊿BEF中，……………10分在⊿AHE中，.…11分∴AH＞AD.即点H已经不在边AB上.故不可能有………………………………………12分解法二：⊿GFC的面积不能等于2.………………………9分∵点H在AD上，∴菱形边长EH的最大值为.∴BF的最大值为.………………………10分又因为函数的值随着a的增大而减小，所以的最小值为.………………………11分又∵，∴⊿GFC的面积不能等于2.………………12分17\n7、20.(2022年深圳育才二中一摸)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE；（2）若ÐDBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，…………………………2分∵BE∥AC∴四边形ABEC是平行四边形。……………………3分∴AC=BE。∴BD=BE。…………………4分（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8………………5分∵∠DBC=30°，∴，………………6分………………7分∵BD=BE，BC⊥DE，∴DE==8………………8分且∴∴……………………9分8、(2022年广西南丹中学一摸)如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．17\n（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．第25题图【解答】（1）（3分）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF，∴∠EFG=∠EGF，∴EF=EG=AG，∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形．………………3分
（2）（3分）连接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，∴ON⊥BC，∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线，∴点N是线段BC的中点．………………6分（3）（4分）解法一：作OM⊥AB于M，则四边形OMBN是矩形。∴OM＝BN＝12BC＝1令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝MB＝x（外接圆半径），∵AM＝AB－MB＝4－x在Rt△AOM中，由勾股定理得：OA2＝AM2+OM2即x2=(4－x)2+12解之得：x＝17\n∴AM＝4－＝又∵Rt△AOM∽Rt△EFO∴＝即＝∴OF＝∴FG＝2OF＝………………………………10分解法二：（4分）延长NO交AD于H，则AH＝BN＝1，NH＝4令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝x（外接圆半径），∵OH＝4－x在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝AH2+OH2即x2=12+(4－x)2解之得：x＝∴HO＝4－＝又∵Rt△AOM∽Rt△EFO∴＝即：＝∴OF＝∴FG＝2OF＝…………………………………………10分9、(2022年河北省一摸)|已知：如图13，等腰△ABC中，底边BC=12，高AD=6．（1）在△ABC内作矩形EFGH，使F、G在BC上，E、H分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．求矩形EFGH的面积．ABCFGHEDK图13（2）在（1）的基础上，再作第二个矩形，使其两个顶点在EH上，另外两个顶点分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．则第二个矩形的面积为；（3）在（2）的基础上，再作第三个矩形，使其两个顶点在第二个矩形的边上，另外两个顶点分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．则第三个矩形的面积为；（4）按照这样的方式做下去，根据上述计算猜想第四个矩形的面积为；第17\n个矩形的面积为．答案：（1）设矩形EFGH的宽为，长为，则由△AEH∽△ABC，得：，即：，解得：．∴矩形EFGH的面积为3×6＝18．………………………………………………4分（2）；………………………………………………………………………………5分（3）；………………………………………………………………………………6分（4），………………………………………………………………………………7分．……………………………………………………………………………9分……………………………………………………………………………10分10、(2022年河北二摸)已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF，连结BF、BD、FD．（1）BD与CF的位置关系是．（2）①如图1，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF的面积为．②如图2，当CE=2（即点E为CD的中点）时，△BDF的面积为．③如图3，当CE=3时，△BDF的面积为．(E)EABCDFABCDFABCDF图1图2图3EE（3）如图4，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．DA图4BCFE答案：(1)平行3分（2）①8；②8；③8；6分17\n（3）△BDF面积等于正方形ABCD面积的一半∵BD∥CF，∴△BDF和△BDC等低等高∴……………………………………………10分11、(2022年河北四摸)(本题9分)已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.(1)如图1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；(2)如图2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.图1图2备用图答案：(1)证明:①∵四边形是矩形∴∥∴,∵垂直平分,垂足为∴∴≌∴∴四边形为平行四边形又∵∴四边形为菱形②设菱形的边长,则在中,17\n由勾股定理得,解得∴(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒∴,∴,解得∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.分三种情况:i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得ii)如图2,当点在上、点在上时,,即,得iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得图1图2图3综上所述,与满足的数量关系式是12、(2022年河南西华县王营中学一摸)（10分）已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45º，它的两边，边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H17\n(1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知∠BAC=45º，.AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长．小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题。你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？答案：（1）答：AB＝AH.……………………1分证明：延长CB至E使BE=DN，连结AE∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，∴∠ABE=180°－∠ABC＝90°又∵AB＝AD∴△ABE≌△AEN（SAS）……………………3分∴∠1＝∠2，AE=AN∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°∴∠1+∠3＝90°－∠MAN＝45°∴∠2+∠3＝45°即∠EAM=45°又AM=AM∴△EAM≌△NAM（SAS）……………………5分17\n又EM和NM是对应边∴AB＝AH（全等三角形对应边上的高相等）……………………6分(2)作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°∴∠E＝∠F＝90°，又∠BAC=45°∴∠EAF=90°延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又AE=AD=AF∴四边形AEGF是正方形……………………8分由（1）、（2）知：EB＝DB＝2，FC＝DC＝3设AD＝，则EG=AE=AD=FG＝∴BG＝－2；CG＝－3；BC＝2+3＝5在Rt△BGC中，……………………9分解之得，（舍去）∴AD的长为6…………………………………………10分17\n17
