二次函数一、选择题1．（2022江苏苏州，6，3分）已知二次函数y＝x2－3x＋m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是（）．A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3【答案】B．【解析】∵二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴0＝12－3＋m，解得m＝2，∴二次函数为y＝x2－3x＋2．设y＝0，则x2－3x＋2＝0．解得x2＝1，x2＝2，这就是一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根．所以应选B．【方法指导】考查一元二次方程的根、二次函数图象与x轴交点的关系．当b2－4ac≥0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根．【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．2．（2022江苏扬州，8，3分）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（）．A．B．C．D．【答案】C．【解析】首先根据题意推断方程x3＋2x－1=0的实根是函数y=x2＋3与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3＋2x－1=0的实根x0所在范围．解：依题意得方程x3＋2x－1=0的实根是函数y=x2＋2与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=时，y=x2＋2=2，=4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，y=x2＋2=2，=3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，y=x2＋2=2，=2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；129\n当x=1时，y=x2＋2=3，=1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．所以方程的实根所在的范围是．所以应选C．【方法指导】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．3.（2022重庆市(A)，12，4分）一次函数y＝ax＋b（a≠0）、二次函数y＝ax2＋bx和反比例函数y＝(k≠0)在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为(－2，0)．则下列结论中，正确的是（）A．b＝2a＋kB．a＝b＋kC．a＞b＞0D．a＞k＞0【答案】D．【解析】∵一次函数与二次函数的图象交点A的坐标为（－2，0），∴－2a＋b＝0，∴b＝2a．又∵抛物线开口向上，∴a＞0，则b＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k＞0．∴2a＋k＞2a，即b＜2a＋k．故A选项错误．假设B选项正确，则将b＝2a代入a＝b＋k，得a＝2a＋k，a＝－k．又∵a＞0，∴－k＞0，即k＜0，这与k＞0相矛盾，∴a＝b＋k不成立．故B选项错误．再由a＞0，b＝2a，知a，b两数均是正数，且a＜b，∴b＞a＞0．故C选项错误．这样，就只有D选项正确．【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象及性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D为何正确，可由二次函数y＝ax2＋bx与反比例函数y＝(k≠0)的图象，知当x＝－＝－＝－1时，y＝－k＞－＝－＝－a，即k＜a．又因为a＞0，k＞0，所以a＞k＞0．【易错警示】二次函数a、b、c的符号的确定与函数图象的关系混淆不清．4.（2022湖南益阳，7，4分）抛物线的顶点坐标是（）A．(3，1)B．(3，－1)C．(－3，1)D．(－3，－1)【答案】：A【解析】抛物线的顶点是（h，k）129\n【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式求顶点坐标。5．（2022山东滨州，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2．其中正确的个数是A．1B．2C．3D．4【答案】：B．【解析】由，得，从而可判断①是正确的；当时，从而可判断②是正确的；有图象可得a＜0，c＞0，从而可判断③是错误的；根据二次函数对称性可得：当y＜0时，x＜－1或x＞3，从而可判断④是错误的.故选B．【方法指导】本题考查了二次函数的图象与性质，属于难题．6.(2022山东烟台，11,3分)如图是二次函数图像的一部分，其对称轴是，且过点（－3,0），下列说法：①②③④若是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（）A.①②B.②③C.①②④D.②③④【答案】A【解析】①根据抛物线的开口方向、对称轴的位置以及与外轴的交点位置来确定a、b、c的符号，∵开口向上∴a>0；∵抛物线与y轴交于负半轴∴c<0∵=－1<0∴b>0，∴abc<0，故此选项正确.②利用对称轴求解：∵=－1，∴2a－b=0；故此选项正确.③根据对称轴即可求出抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）然后补齐图象根据图象特点即可求出当x=2时，4a+2b+c>0，故此选项错误.④把所给两点利用二次函数的对称轴转化为对称轴同侧图象上的点，即利用对称轴可以求出（－5，y1129\n）的对称点的坐标是（3，0），在对称轴的右侧图象上y随x的增大而增大，故此选项正确.故选项C正确.【方法指导】本题考查了二次函数的图象及性质.对于二次函数的图象与性质，关键是把握图象与二次函数各项系数之间的关系，同时观察图象与x轴，y轴交点的位置，注意二次函数值y随自变量x的变化要以对称轴为分界点.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：（1）开口向上a>0;开口向下a<0.（2）c>0图象与y轴的正半轴有交点；c=0图象过坐标原点；c<0图象与y轴的负半轴有交点；（3）根据对称轴和a符号确定b的符号以及a、b之间的数量关系.（4）根据x=1时y的值来确定a+b+c的符号；根据x=－1时y的值来确定a－b+c的符号；x=2时y的值来确定4a+2b+c的符号；根据x=－1时y的值来确定4a－2b+c的符号.（5）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性即可比较大小.7.（2022四川雅安，9，3分）将抛物线y＝(x－1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2+6 C．y＝x2+6 D．y＝x2【答案】D【解析】抛物线y＝(x－1)2+3的顶点为（1，3），向左平移1个单位，再向下平移3个单位后得顶点（0，0），所以平移后所得抛物线的解析式为y＝x2．故选D．【方法指导】抛物线的平移变换是本题的考查重点，解决此类问题的关键是抓住抛物线顶点坐标的变化．8.(湖南株洲,8,3分)二次函数的图象如图所示，则的值是（）A.－8B.8C.D.66【答案】：C【解析】:由图可知，抛物线与x轴只有一个交点,所以△==0，解得m=±8.又∵对称轴，∴m＞0，∴m的值为8【方法指导】：本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，本题易错点在于要根据对称轴确定出m是正数.9．（2022江西南昌，12，3分）若二次涵数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1<x2，图象上有一点M (x0，y0)在x轴下方，则下列判断正确的是（）．A．a>0B．b2－4ac≥0C．x1<x0<x2D．a(x0－x1)(x0－x2)<0【答案】D129\n【解析】抛物线与x轴有不同的两个交点，则，与B矛盾，可排除B选项；剩下A、C、D不能直接作出正误判断，我们分a>0,a<0两种情况画出两个草图来分析（见下图）.由图可知a的符号不能确定（可正可负，即抛物线的开口可向上，也右向下），所以的大小就无法确定；在图1中，a>0且有，则的值为负；在图2中，a<0且有，则的值也为负.所以正确选项为D.【方法指导】本题考查的是二次函数的性质，要求对二次函数的性质有比较深刻地理解，并能熟练地画函数草图作出分析．10．（2022山东德州，8，3分）下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是A、y=－x+1B、y=x2－1C、y=D、y=－x2+1【答案】B【解析】A、函数y=－x+1，当x>0时，y随x的增大而减小；B、函数y=x2－1，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而增大；C、函数y=，当x>0（第－象限）时，双曲线一分支y随x的增大而减小；D、抛物线y=－x2+1，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而减小.【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象与性质.解答本题需要了解各函数图象的增减性特点，解题时不妨画个示意图进行直观判断.11．（2022山东德州，11，3分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以上结论：①b2－4c>0②b+c+1=0③3b+c+6=0④当1<x<3时，x2+(b－1)x+c<0。其中正确的个数是A、1B、2C、3D、4【答案】B【解析】∵抛物线与x轴没有交点，∴b2－4c<0，于是①129\n错误；当x=1时，抛物线与直线交点坐标为（1，1）满足函数y=x2+bx+c，即b+c+1=1，②错误；∵（3，3）在函数y=x2+bx+c图象上，∴3b+c+9=3，即3b+c+6=0，所以③正确；观察图象可知，当1<x<3时，x>x2+bx+c，即x2+(b－1)x+c<0.因此以上说法正确的有③、④.故选B.【方法指导】本题考察了二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是联想相关函数与方程、不等式、坐标交点、图象交点分析，这是解决这类问题的思考点，数形结合思想方法是解题中常用方法.【易错警示】把握知识点不到位，出现多选或漏选.12．[2022山东菏泽，8，3分]已知，二次函数的图象为下列四个图象之一.试根据图象分析，的值应等于（ ）xyO－11xyOxyOxyO－11A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2（题目不清楚）！【答案】C．【解析】【方法指导】【答案】：C．13．（2022山东日照，12，4分）如图,已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2.下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1.其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】当x＞2时，M=y1，所以①错误。当x＜0时，两个函数值都是随着x的增大而增大的，所以x值越大，M值越大，所以②正确。当x≤0时，M=y1使得M≤0；当0＜x≤2，M=y2，使得M≤4，x＞2时，M=y1使得M≤4.综之，使得M大于4的x值不存在，所以③正确。129\n当M=2时，有两种情况，即，0＜x≤2，M=y2即得2x=2,解得x=1.x＞2时，M=y1即得所以④错误。【方法指导】本题是给信息的试题，所以根据题中所给的信息解题即可，但是这种试题要求要把所给的信息理解透彻。(好恶心的一个点评)14．（2022江西，6，3分）若二次涵数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1<x2，图象上有一点M (x0，y0)在x轴下方，则下列判断正确的是（）．A．a>0B．b2－4ac≥0C．x1<x0<x2D．a(x0－x1)(x0－x2)<0【答案】D【解析】抛物线与x轴有不同的两个交点，则，与B矛盾，可排除B选项；剩下A、C、D不能直接作出正误判断，我们分a>0,a<0两种情况画出两个草图来分析（见下图）.由图可知a的符号不能确定（可正可负，即抛物线的开口可向上，也右向下），所以的大小就无法确定；在图1中，a>0且有，则的值为负；在图2中，a<0且有，则的值也为负.所以正确选项为D.【方法指导】本题考查的是二次函数的性质，要求对二次函数的性质有比较深刻地理解，并能熟练地画函数草图作出分析．15．（2022白银，9，3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（ ）129\n A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x=﹣＜0，故b＞0，所以2a﹣b＜0，①正确；②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确；④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误；⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误；故错误的有2个．故选：B．点评：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键．16．（2022兰州，3，3分）二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）考点：二次函数的性质．分析：直接根据抛物线的顶点式的特点即可确定顶点坐标．解答：解：∵y=2（x﹣1）2+3，∴其顶点坐标是（1，3）．故选A．点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．17．（2022兰州，13，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）129\n A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：A．正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；B．正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；C．正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；D．错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0．故选D．点评：主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 18．（2022兰州，15，3分）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（ ） A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解答：解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1﹣t，S=π（1﹣t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t﹣1，S=π（t﹣1）2（1≤t≤2）．129\n综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t﹣1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择． 19．（（2022贵州毕节，14，3分）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ） A．y=（x﹣1）2+3B．y=（x+1）2+3C．y=（x﹣1）2﹣3D．y=（x+1）2﹣3考点：二次函数图象与几何变换．分析：由二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减．解答：解：∵二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，∴所得图象的函数解析式是：y=（x﹣1）2+3．故选A．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．20．（2022湖南张家界，8，3分）若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（ ） A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．分析：根据正比例函数图象的性质确定m＜0，则二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．解答：解：∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴该正比例函数图象经过第一、三象限，且m＜0．∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．综上所述，符合题意的只有A选项．故选A．点评：本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知m＜0是解题的突破口．21．（2022·聊城，12，3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝经过平移得到抛物线y＝，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）129\nA．2B．4C．8D．16考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据抛物线解析式计算出y＝的顶点坐标，过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可．解答：解：过点C作CA⊥y，∵抛物线y＝＝（x2－4x）＝（x2－4x＋4）－2＝（x－2）2－2，∴顶点坐标为C（2，－2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4．点评：本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键． 22．（2022·聊城，8，3分）二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是（ ）129\nA．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．专题：数形结合．分析：根据二次函数图象的开口方向向下确定出a＜0，再根据对称轴确定出b＞0，然后根据一次函数图象解答即可．解答：解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝－＞0，∴b＞0，∴一次函数y＝ax＋b的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，C选项图象符合．点评：本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键． 23．（2022·泰安，16，3分）在同一坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是（ ）ABCD考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：令x＝0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．解答：解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b，所以两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以a＞0，所以一次函数y＝ax＋b经过第一三象限，所以A选项错误，C选项正确．故选C．129\n点评：本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 24（2022·泰安，10，3分））对于抛物线y＝－（x＋1）2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ） A．1B．2C．3D．4考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解：①∵a＝－＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x＝－1，故本小题错误；③顶点坐标为（－1，3），正确；④∵x＞－1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性． 25（2022•徐州，8，3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：x…－3－2－101…y…－3－2－3－6－11…则该函数图象的顶点坐标为（ ） A．（－3，－3） B．（－2，－2） C．（－1，－3） D．（0，－6）考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．解答：解：∵x＝－3和－1时的函数值都是－3相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝－2，∴顶点坐标为（－2，－2）．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．129\n26（2022·鞍山，8，2分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（ ） A．5个B．4个C．3个D．2个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由开口方向、与y轴交于负半轴以及对称轴的位置，即可确定a，b，c的正负；由对称轴x＝－＝1，可得b+2a＝0；由抛物线与x轴的一个交点为（－2，0），对称轴为：x＝1，可得抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；当x＝－1时，y＝a－b+c＜0；a－b+c＜0，b+2a＝0，即可得3a+c＜0．解答：解：∵开口向上，∴a＞0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∵对称轴x＝－＞0，∴b＜0，∴abc＞0；故①正确；∵对称轴x＝－＝1，∴b+2a＝0；故②正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（－2，0），对称轴为：x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；故③正确；∵当x＝－1时，y＝a－b+c＜0，∴a+c＜b，故④错误；∵a－b+c＜0，b+2a＝0，∴3a+c＜0；故⑤正确．故选B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．27．（2022·济宁，5，3分）二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．a＞0 B．当－1＜x＜3时，y＞0 C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大129\n考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：A．抛物线的开口方向向下，则a＜0．故本选项错误；B．根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是－1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当－1＜x＜3时，y＞0．故本选项正确；C．根据图示知，该抛物线与y轴交与正半轴，则c＞0．故本选项错误；D．根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 28（2022杭州3分）给出下列命题及函数y=x，y=x2和y=①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果时，那么a＜﹣1．则（ ）A．正确的命题是①④B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①②D．错误的命题只有③【答案】．A【解析】易求x=1时，三个函数的函数值都是1，129\n所以，交点坐标为（1，1），根据对称性，y=x和y=在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），①如果，那么0＜a＜1正确；②如果，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故本小题错误；③如果，那么a值不存在，故本小题错误；④如果时，那么a＜﹣1正确．综上所述，正确的命题是①④．【方法指导】本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标，并准确识图是解题的关键． 29.2022•嘉兴4分）若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（ ） A．直线x=1B．直线x=﹣2C．直线x=﹣1D．直线x=﹣4【答案】C．【解析】∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，即b=2a，∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣=﹣1．【方法指导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣．30.(2022•衢州3分）抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（ ） A．b=2，c=﹣6B．b=2，c=0C．b=﹣6，c=8D．b=﹣6，c=2【答案】B．【解析】函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4），∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴平移前的抛物线为y=（x+1）2﹣1，即y=x2+2x，∴b=2，c=0．【方法指导】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．21.（2022上海市，3，4分）如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）（A）；（B）；（C）；（D）．129\n31.（2022陕西，10，3分）已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：二次函数图象性质的应用及对称性的考查。解析：由点是该抛物线的顶点，且，所以为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，因为，所以得出点A、B可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧，当在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，因此>3，当在对称轴的两侧时，点B距离对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即得-（-5）>3-,解得，综上所得：，故选B23.（2022四川巴中，10，3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．ac＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而减小 C．b﹣2a=0 D．x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．245761分析：由函数图象可得抛物线开口向上，得到a大于0，又抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，得到c小于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，选项A错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而增大，选项B错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项C错误；由抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（3，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的有一个根为3，选项D正确．129\n解答：解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：抛物线开口向上，即a＞0，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即c＜0，∴ac＜0，选项A错误；由函数图象可得：当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，选项B错误；∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，选项C错误；由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），又对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根，选项D正确．故选D．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，难度适中．二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定，c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标． 32（2022四川内江，9，3分）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ） A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1 C．当x=1时，y的最大值为﹣4D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）考点：二次函数的性质．分析：A根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向．B利用x=﹣可以求出抛物线的对称轴．C利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值．D当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标．解答：解：∵抛物线过点（0，﹣3），∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确．B、根据抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1，正确．C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x=1时，y的最小值为﹣4，而不是最大值．故本选项错误．D、当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．正确．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质，根据a的正负确定抛物线的开口方向，利用顶点坐标公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标．33．（2022贵州省黔东南州，8，4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）129\n A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点的个数判断b2﹣4ac与0的关系．解答：解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右边，∴a，b异号即b＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0．故选D．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0． 34（2022贵州省黔西南州，10，4分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个129\n考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：（1）图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，正确；（2）图象与y轴的交点在1的下方，所以c＜1，错误；（3）∵对称轴在﹣1的右边，∴﹣＞﹣1，又a＜0，∴2a﹣b＜0，正确；（4）当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；故错误的有1个．故选：A．点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．35.（2022河南省，8，3分）在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【解析】二次函数的开口向下，所以在对称轴的左侧随的增大而增大，二次函数的对称轴是，所以，【答案】A36．（2022黑龙江省哈尔滨市，5）把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是()．(A)y=(x+2)2+2(B)y=(x+2)2-2(C)y=x2+2(D)y=x2-2考点：抛物线的平移分析：根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即（-1，0）—→（0，－2）.解答：根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”故选D．37（2022湖北省鄂州市，9，3分）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（ ）129\n A．2个B．3个C．4个D．5个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵对称轴x=﹣=﹣，∴b=a＜0，∴ab＞0．故①正确；②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②正确；③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，∴b+2c＞0．故③正确；④如图，当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．∵b＜0，∴c﹣b＞0，∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞0，即a﹣2b+4c＞0．故④正确；⑤如图，对称轴x=﹣=﹣，则．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．38．（2022湖北省十堰市，1，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（ ）129\n A．5个B．4个C．3个D．2个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定②正确；由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），∴c=1，a﹣b+c=0．①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣＞0，∴a与b异号，∴ab＜0，正确；②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确；④∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵ab＜0，∴b＞0．∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1，∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，∴0＜b＜1，正确；③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b，∴a+b+c=2b＞0．∵b＜1，c=1，a＜0，∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，∴0＜a+b+c＜2，正确；⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x，0），则x0＞0，由图可知，当x0＞x＞﹣1时，y＞0，错误；综上所述，正确的结论有①②③④．故选B．点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y=ax2129\n+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．二、填空题1．(2022湖北荆门，17，3分)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)，则n＝______．【答案】9．【解析】∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，∴原抛物线的顶点在x轴上．将原抛物线的顶点平移至原点，则所得抛物线的解析式为y＝x2，且它经过点A′(－3，n)，B′(3，n)．当x＝±3时，n＝(±3)2＝9．【方法指导】此题另一解法如下：依题意，得m2＋bm＋c＝n①，(m＋6)2＋b(m＋6)＋c＝n②．②－①，得12m＋36＋6b＝0．即b＝－2(m＋3)．∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，∴b2－4c＝0．即c＝．∴n＝m2＋bm＋c＝m2－2(m＋3)m＋×4(m＋3)2＝9．2．（2022广东湛江，14，4分）抛物线的最小值是．【答案】1.【解析】的顶点坐标为（0，1）由于抛物线的开口向上，所以它的有最小值1.【方法指导】求二次函数的最小值的步骤：1.把配成顶点式：2.如果，当时，y有最小值如果，当时，y有最大值3.如果自变量有一定的限制，还得根据图象的性质，确定端点的函数值是否为最3．(2022四川成都，24，4分)在平面直角坐标系xoy中，直线y＝kx(k为常数)与抛物线y＝x2－2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为(0，－4)，连接PA，PB．有以下说法：①PO2＝PA·PB；②当k＞0时，(PA＋AO)(PB－BO)的值随k的增大而增大；③当k＝－时，BP2＝BO·BA；④△PAB面积的最小值为4．其中正确的是______．(写出所有正确说法的序号)【答案】③、④．【解析】由方程组消去y得，x2－2＝kx．即x2－3kx－6＝0．(※)129\n设点A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，其中x1＜x2，则由(※)方程得x1＋x2＝3k，x1x2＝－6．①由勾股定理得PA＝＝．∵点A(x1，kx1)在抛物线y＝x2－2上，∴kx1＝x12－2．即kx1＋2＝x12．∴PA＝＝－x1．同理PB＝x2．∴PA·PB＝－x1x2(k2＋)＝6(k2＋)≥6×＝22．∴PA·PB≠16．而PO2＝16，∴PA·PB≠PO2．∴说法①是错误的．②由勾股定理得OA＝＝－x1．同理，OB＝x2．∴(PA＋AO)(PB－BO)＝－x1(＋)·x2(－)＝－x1x2[()2－()2]＝6×＝16．xyOPAB图4可见当k增大时，(PA＋AO)(PB－BO)的值保持不变，∴说法②是错误的．③当k＝－时，如图4，(※)方程变为x2＋x－6＝0．解得x1＝，x2＝－2．于是y1＝－1，y2＝2．即点A(－2，2)，B(，－1)．于是求得PB＝2，BO＝2，OA＝4，BA＝6．∵PB2＝(2)2＝12＝2×6，∴BP2＝BO·BA．∴说法③是正确的．④∵S△PAB＝(x2－x1)·PO＝2．∴当k＝0时(此时直线y＝kx是横轴)，S△PAB有最小值，最小值＝2＝4．∴说法④是正确的．【方法指导】此题难度较大．判断说法①、②时，可先估计它们是错误的，然后分别列举反例进行说明．129\n4．（2022兰州，20，4分）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．考点：二次函数的性质．分析：根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．解答：解：由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，联立消掉y得，x2﹣2x+2k=0，△=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，即k=时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（，），∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k=0，解得k=﹣2，129\n∴要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜．故答案为：﹣2＜k＜．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键． 5.2022•衢州4分）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种 棵橘子树，橘子总个数最多．【思路分析】根据题意设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式，进而求出x=﹣时，y最大【解析】假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结（600﹣5x）个橙子．∵果园橙子的总产量为y，∴则y=（x+100）（600﹣5x）=﹣5x2+100x+60000，∴当x=﹣=﹣=10（棵）时，橘子总个数最多【方法指导】此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键6.（2022山西，18，3分）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为_____m. 【答案】48【解析】以C为原点建立平面直角坐标系，如右上图，依题意，得B（18，－9），设抛物线方程为：，将B点坐标代入，得a＝－，所以，抛物线方程为：，E点纵坐标为y＝－16，代入抛物线方程，－16＝，解得：x＝24，所以，DE的长为129\n48m。7.（2022四川绵阳，18，4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n＜；④3|a|+|c|＜2|b|。其中正确的结论是①③④（写出你认为正确的所有结论序号）.［解析］抛物线开口向下，a<0,2a<0,对称轴x=>1,-b<2a,2a+b>0，①正确；-b<2a,b>-2a>0>a,令抛物线的解析式为y=-x2+bx-,此时，a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2，则（+2）/2=-b/(-),b=,抛物线y=-x2+x-符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c（其实a>c,a<c,a=c都有可能），②错误；-1＜m＜n＜1，-2<m+n<2,抛物线的对称轴为x=>1，>2，m+n<，③正确；当x=1时，a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,3a+c>-2b,-3a-c<2b,a<0,c<0,b>0,3|a|+|c|=-3a-c<2b=2|b|,④正确。三、解答题1．（2022重庆市(A)，25，12分）如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（－3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．【答案】（1）∵点A（－3，0）与点B关于直线x＝－1对称，∴点B的坐标为（1，0）．（2）∵a＝1，∴y＝x2＋bx＋c．∵抛物线过点（－3，0），且对称轴为直线x＝－1，∴b＝2，c＝－3，∴y＝x2＋2x－3，且点C的坐标（－3，0）．①设点P的坐标为（x，y），由题意得S△BOC＝×1×3＝，∴S△POC＝6．当x＞0时，有×3×x＝6，∴x＝4，∴y＝42＋2×4－3＝21．129\n当x＜0时，有×3×(－x)＝6，∴x＝－4，∴y＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5．∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）．②∵直线y＝x＋b过A、C两点，∴设点Q的坐标为（x，y），－3≤x≤0，则有QD＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x=－．∵－3≤－≤0，∴当x＝－时，QD有最大值．∴线段QD长度的最大值为．【解析】（1）由抛物线的轴对称性容易求解．（2）①先求出△BOC的面积，然后以OC为底边，点P到OC的距离，即点P的横坐标的绝对值为高，表示△POC的面积，进而求出点P的横坐标，再将其代入抛物线的解析式求得点P的纵坐标解决问题．②构建线段OD长关于点Q的横坐标的二次函数模型，利用二次函数的性质求解．【方法指导】本题考查轴对称，求二次函数的解析式，平面直角坐标系中的图形面积，二次函数的最值．第（2）问中①在表示△POC的面积时，启示我们在坐标系中求三角形的面积时，一般是将坐标轴上的边作为底边，而将该边所对的顶点的横（纵）坐标的绝对值作为高．通过第（3）问可总结出表示平行于y轴的直线上两点的距离时，需用上面点的纵坐标减下面点的纵坐标来求，简称“上纵－下纵”．同理，表示平行于x轴的直线上两点的距离时，需用右边点的横坐标减左边点的横坐标来求，简称“右横－左横”．2.（2022湖北黄冈，23，12分）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：（1）用x的代数式表示t为：t＝；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为y2＝；当≤x＜时，y2＝100；129\n（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？【答案】解：（1）t＝6－x；当0＜x≤4时，y2＝－5(6－x)＋110＝5x＋80．当4≤x＜6时，y2＝100．（2）当0＜x≤2时，w＝(15x＋90)x＋(5x＋80)(6－x)＝10x2＋40x＋480；当2＜x≤4时，w＝(－5x＋130)x＋(5x＋80)(6－x)＝－10x2＋80x＋480；当4＜x＜6时，w＝(－5x＋130)x＋100(6－x)＝－5x2＋30x＋600；（3）当0＜x≤2时，w＝10x2＋40x＋480＝10(x＋2)2＋440．此时x＝2时，w最大＝600．当2＜x≤4时，w＝－10x2＋80x＋480＝－10(x－4)2＋640．x＝4时，w最大＝640．当4＜x＜6时，w＝－5x2＋30x＋600＝－5(x－3)2＋645．4＜x＜6时，w＜640．∴x＝4时，w最大＝640．国内4千件，国外2千件，最大利润为64万元（或640千元）．【解析】（1）根据“每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件”，知x＋t＝6，据此易解第（1）问．（2）w等于国内销售总利润与国外销售总利润的和，即w＝y1x＋y2(6－x)．根据第（1）问可得，结合，可知w与x之间属于分段函数关系，自变量x的取值范围分别是0＜x≤2，2＜x≤4，4＜x≤6．然后将不同取值范围下的解析式代入w＝y1x＋y2(6－x)中得解．（3）对（2）中w与x之间的各段二次函数关系配方，得出各最大值情况，再把它们进行对比，获得最后的最大值．【方法指导】本题考查构建二次函数模型求最大值，涉及列函数解析式，配方，二次函数的增减性、极值．这类分段函数问题涉及数量众多，关系错综复杂，求解关键是抓住主要相等关系（如本例中“总利润w＝国内销售总利润＋国外销售总利润＝y1x＋y2(6－x)”），然后理清各段情况下自变量的取值范围并求出相应函数关系式，这是关键中的关键，最后将它们整体代入主要相等关系式中分类讨论获解．3．（2022江苏苏州，29，10分）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c是常数，且c<0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)．(1)b＝▲，点B的横坐标为▲（上述结果均用含c的代数式表示）；(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y＝x2＋bx＋c交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．①求S的取值范围；129\n②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有▲个．【思路分析】（1）由A(－1，0)在抛物线y＝x2＋bx＋c上可以解决．（2）先求直线AE的解析式，再求直线CD的解析式，最后求抛物线的解析式．（3）先求直线CB的解析式，再分类讨论点P的不同位置S的取值范围．【解】（1）＋c，－2c；129\n【方法指导】①抛物线与x轴的交点的横坐标是令y为0的一元二次方程的两根；②结合点的坐标特征将几何线段的长用坐标表示是勾通代数与几何的关键；③用解析式联立方程组可以求两个图象的交点；④本题第3问，是动点探索型问题，要能灵活运用所学的知识，注意思想方法的运用．【易错警示】不注意点的坐标的符号特征，错误表达几何线段的长；推导不仔细出错．没有考虑分类讨论．4.（2022江苏扬州，26，10分）如图，抛物线交轴于点A，交轴正半轴于点B.（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）有一宽度为1的直尺平行于轴；在点A、B之间平行移动；直尺两边长所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ.设M点的横坐标为；且.试比较线段MN与PQ的大小.【思路分析】（1）只要求出抛物线与x轴、y轴的交点A、B的坐标即可求出直线AB对应的函数关系式；（2）用含的代数式表示出M、N、P、Q的坐标，分别求出MN、PQ的长即可解决问题．【解】（1）令=0，得，.令x=0,得y=－8.129\n∴，.设直线AB对应的函数关系式为，则解得，.∴直线AB对应的函数关系式为；（2）因为直尺的宽度为1，M、N横坐标均为，∴P、Q的横坐标均为+1，据题意得，M、N纵坐标分别为2－8、，可得MN=；同理可得PQ=.∴，∵∴当时，，；当=1.5时，，MN=PQ；当时，.【方法指导】已知点在图象上，则点的坐标适应解析式．【易错警示】对于（2）没有分类讨论，漏掉其中一种或两种情况．5.（2022贵州安顺，26，14分）如图，已知抛物线于x轴交于A（－1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。【思路分析】（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答．【解】（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），129\n根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）存在。由y=－x2+2x+3，得D点坐标为（1,4），对称轴为x=1。①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，y）,根据勾股定理，得x2+(3－y)2=（x－1）2+(4－y)2,即y=4－x。又点P（x，y）在抛物线上，∴4－x=－x2+2x+3，即x2－3x+1=0。解得x=。∵＜1，应舍去，∴x=。y=4－x=。即点P的坐标为（，）。②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时P点坐标为（2，3）。∴符合条件的点P的坐标为（，）或（2，3）。（3）由B(3,0)，C（0,3）,D（1,4），根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=。∴CB2+CD2=BD2=20.∴∠BCD=90°，设对称轴交x轴于点E，过C做CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F。在Rt△DCF中，∵CF=DF=1，∴∠CDF=45°，由抛物线的对称性知，∠CDM=2×45°=90°，点M坐标为（2,3）∴DM∥BC。∴四边形BCDM为直角梯形。由∠BCD=90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况：以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．【方法指导】此题是一道“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性． 129\n6．（2022山东临沂，26，13分）如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．yxOABC【答案】：解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意，得解得∴抛物线的解析式为：．（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，由题意，得解得∴直线BC的解析式为．∵抛物线的对称轴是x＝2，∴当x＝2时，．∴点P的坐标是（2，）．（3）存在．（ⅰ）当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x＝2对称．129\n∵C点的坐标为（0，），∴点N的坐标为（4，）．（ⅱ）当存在的点N′在x轴上方时，如图所示，作N′H⊥x轴于点H，∵四边形ACM′N′是平行四边形，∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝OC．∵点C的坐标为（0，），∴N′H＝，即N′点的纵坐标为，∴，解得x1＝，x2＝．∴点N′的坐标为（，）和（，）．综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为（4，），（，），（，）．yxOABCPNMN′M′H【方法指导】利用待定系数法求出解析式；本题考查了对称、特殊的四边形、二次函数的图象多个知识点。7．（2022山东滨州，23，9分）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长体方形，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)【答案】：解：根据题意，得y=20·x·(－x)，整理，得y=－20x2+1800x．∵y=－20x2+1800x=－20(x2－90x+2025)+40500=－20(x－45)2+40500，∵a=－20＜0，∴当x=45时，函数y有最大值，y最大值=40500，答：当底面的宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大为40500cm3．【解析】根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值．【方法指导】129\n本题考查利用二次函数解决实际问题．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=－x2－2x+5，y=3x2－6x+1等用配方法求解比较简单．8.（2022四川宜宾，23，10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?【思路分析】（1）每月的销售利润=每件的利润×每月卖的件数；由进价为每件40元，每件售价不能高于65元可求出自变量x的取值范围.（2）把问号（1）的结论配方即可求出答案.（3）令y=2200可求出第一个问号，第二个问号可根据图象得出.【解】 (1) (2)∵a=－10<0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．∵，且x为整数，当x=5时，50+x=55，y=2400(元)，当x=6时，50+x=56，y=2400(元)∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．(3)当当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60． ∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元． 当售价不低于51元且不高于60元且为整数，每个月的利润不低于为2200元．(或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于为2200元)【方法指导】要求哪个量的最大值应先把这个量用函数解析式表达出来，常用的数量关系为总利润=每件的利润×卖出的总件数.类似于问号（3）中的第二个问题要画出函数图象，结合函数图象解决.9.（2022四川宜宾，25，12分）如图，抛物线经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D(m，m＋１)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；(3)在(2)的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．129\n【思路分析】（1）把点A(－1，0)、C(0，4)的坐标带入可求出a，b从而求出抛物线的解析式.（2）把点D(m，m＋１)代入抛物线的解析式可求出点D的坐标为(3，4)，因为C的坐标为（0,3）所以CD∥AB，且CD=3，根据轴对称的性质可知CE=CD=3，所以OE=1，∴E(0，1)．（3）可把点P的坐标用字母表示出来，再把点P代入抛物线解析式中求出字母的值即可求出点P的坐标.由（1），（2）知OC=OB=4，所以∠OBC=∠OCB=45°,因为CD∥AB所以∠OBC=∠OCB∠DCB=45°过点D，P分别作x轴的垂线垂足分别为E,F可求出DE=CE=，BE=BC－CE=所以设PF=3t，则BF=5t，∴OF=5t－4可表示出P点的坐标，代入解析式即可求出点P的坐标.【解】 (1) ∵抛物线经过A(－1，0)、C(0，4)两点∴抛物线的解析式为(2)∵点D(m，m＋１)在抛物线上，∴即∴∵点D在第一象限，∴点D的坐标为(3，4)．由(1)知OA=OB，∴∠CBA=45°．设点D关于直线BC的对称点为点E．∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD=3，∴∠ECB=∠DCB=45°，∴E点在y轴上，且CE=CD=3．∴OE=1，∴E(0，1)．即点D关于直线BC的对称的点的坐标为(0，1)．129\n(3)作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E．由(1)有： OB=OC=4，∴∠OBC=45°，∵∠DBP=45°，∴∠CBD=∠PBA．∵C(0，4)，D(3，4)，∴CD∥OB且CD=3．∴∠DCE=∠CBO=45°，∴DE=CE=．∵OB=OC=4，∴BC=，∴BE=BC－CE=∴设PF=3t，则BF=5t，∴OF=5t－4，∴P(－5t+4，3t)．∵P点在抛物线上，∴∴∴【方法指导】求抛物线的解析式应先根据题意假设适当地解析式形式常用的有（1）顶点式：y=a(x－h)2+k；(2)交点式：y=a(x－x1)(x－x2)；（3）一般式：y=ax2+bx+c(4)若抛物线经过原点可假设解析式为：y=ax2129\n+bx.求对称点的坐标要根据轴对称或中心对称的的性质去求，应熟练掌握两种对称的性质.注意点的横纵坐标可以与线段的长度互相转化但要注意坐标的符号.解直角坐标系的综合题时常用的辅助线为作x轴或y轴的垂线.已知点的横坐标或纵坐标要求点的坐标时可直接把点的坐标带入解析式，若横纵坐标均不知道可把点的横纵坐标用字母表示出来，再把点的横纵坐标代入抛物线解析式中先求出字母的值而后可求出点的坐标.10.（2022四川泸州，25，12分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，已知抛物线经过三点A、B、O(O为原点)．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使的周长最小．若存在，求出点C的坐标．若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上轴上方的一个动点，那么是否有最大面积．若有，求出此时P点的坐标及的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）．【答案】（1）∵抛物线（）过点A、B、O，且，解得：∴所求抛物线的解析式为；（2）存在，由，配方后得：，抛物线的对称轴，∵点C在对称轴上，△BOC的周长＝OB＋BC＋CO，而OB＝，要使△BOC的周长周长最小，必须BC＋CO最小，∵点O与点A关于直线对称，有CO＝CA，△BOC的周长＝OB＋BC＋CO＝OB＋BC＋CA．当A、B、C三点共线时，即点C是直线AB与对称轴的交点时，BC＋CA最小，此时△BOC的周长最小，设直线AB的解析式为：，则有，解得，．129\n∴直线AB的解析式为，当时，，∴C的坐标为（－1，）；（3）设P（），则………………①过点P作PQ⊥轴于点Q，PG⊥轴于点G，过点A作AF⊥PQ于点F，过点B作BE⊥PQ于点E，则PQ＝，PG＝，由题意得：＝………………②把①代入②得：＝．当时，△PAB的面积最大，最大值是，129\n此时，∴P的坐标为（，）．【解析】（1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；（2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标；（3）设P（x，y）（－2＜x＜0，y＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值．【方法指导】考查了坐标系中点的坐标求法，抛物线解析式的求法，根据对称性求线段和最小的问题，也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题；解答本题（3）也可以将直线AB向下平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解析式，可求唯一交点P的坐标．13.2022广东省，23，9分）已知二次函数．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如题23图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．【思路分析】对于(1)，把原点坐标代入解析式即可求得m的值．对于(2)，把m=2代入解析式，然后利用顶点坐标公式以及求交点坐标的方法即可求得C、D坐标．对于(3)，利用△COP∽△CED和前两问求出的三角形的边长即可求得OP的长，进而求得答案．【解】（1）把原点O的坐标（0，0）代入得，解得m=±1.所以，二次函数解析式为或（2）把m=2代入，得，令x=0，得y=3，所以C点坐标为（0，3），配方，得，所以D点坐标为（2，－1）.129\n（3）如图，连结CD，并作DE⊥y轴于E，∵C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，－1）∴CE=4，DE=2，∵DE⊥y，∴OP∥DE∴△COP∽△CED∴，即∴OP=1.5，∴P点的坐标为（1.5，0）.【方法指导】(1)已知函数的图象经过某已知点，通常都是把这个点的坐标代入解析式，从而求得待定系数，最终求得解析式；(2)求抛物线的顶点坐标通常只需要用顶点坐标公式即可求出，求与坐标轴的交点坐标，往往是将x轴和y轴分别看作y=0和x=0，代入函数式求公共解，即交点坐标；(3)在第（1）和（2）的基础上，可以求出相似三角形的边长，然后利用相似三角形的性质可以求出边长．14．（2022浙江台州，23，12分）如图1，已知直线l：与y轴交于点A，抛物线经过点A，其顶点为B，另一抛物线（h>1）的顶点为D，两抛物线相交于点C，（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；（2）设交点C的横坐标为m．①交点C的纵坐标可以表示为：或，由此请进一步探究m关于h的函数关系式；②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．129\nMNECDABD0xyABC0xy第23题【思路分析】（1）由与y轴交于点A，易得A（0,2），又由抛物线经过点A（0,2），可以将A点横、纵坐标代入二次函数解析式，可求出k的值，从而确定顶点B的坐标；由于D点是的顶点，易得D（h，2－h），如要判断点D在直线l上，需要将D点的坐标，代入直线解析式中验证。（2）由于点C是两抛物线的交点，可将C点的横坐标m分别代入两个抛物线解析式，从而求出两种不同表示的C点纵坐标；欲探究m关于h的函数关系式，需找到m和h的等量关系，由于两种不同表示方法表示的都是C点纵坐标，二者相等列等式，再变形为函数关系式。有∠ACD=90°这一特殊条件，再作x轴、y轴的垂线，从而构造相似三角形，利用相似三角形的对应边的比相等，列出关于m的方程，从而求出m的值。【解】（1）由题意可知A（0，2），又因为抛物线经过点A，所以有，解得，所以抛物线解析式为，从而得出点B的坐标为（1，1）；因为点D是抛物线（h>1）的顶点，所以点D的坐标为（h，2－h），将（h，2－h）代入中，左右两边相等，所以点D在直线l上．129\n（2）①交点C的纵坐标可以表示为：或由题意知：=，整理得：，解得，或，∵h>1∴．②过点C作CM⊥y轴，垂足为点M，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，过点C作CN⊥DE，垂足为点N，则四边形CMEN是矩形，∴∠MCN=90°，又∵∠ACD=90°∴∠MCA=∠DCN∴△ACM∽△DCN∴由题意可知CM=m，AM=，CN=，DN=从而有，由①得，∴解得，，又∵点C在第一象限内，∴【方法指导】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识点，本题对学生的综合解题能力要求偏高。对于二次函数，我们需要了解顶点式和一般式两种常见形式，能够熟练的说出它的开口方向、顶点、对称轴等常用知识点。2．(2022浙江湖州,19,8分)已知抛物线经过点A（3，0），B（－1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．【思路分析】（1）根据抛物线y=－x2+bx+c经过点A（3，0），B（－1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=－（x－3）（x+1），再整理即可，（2）根据抛物线的解析式为y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，即可得出答案．【解】（1）解法一：∵抛物线经过点A（3，0），B（－1，0），129\n∴解得∴抛物线的解析式为．解法二：抛物线的解析式为．（2）抛物线的顶点坐标为（1，4）．【方法指导】此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的形式，关键是根据题意选择合适的解析式．15．（2022重庆，25，12分）如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5)．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为，△ABN的面积为，且，求点P的坐标．（第25题图）yxOCAB【思路分析】（1）根据图象上的点的坐标用待定系数法解答；（2）设M，N两点的横坐标为一个未知数，结合M，N两点所在函数的图形和解析式，把其纵坐标用该未知数表示，然后根据MN⊥x轴，MN的长度等于两点纵坐标的差，得到一个MN的长是所设未知数的函数，求出该函数的最大值即可；（3）首先可以结合图形求出的值，再求出的值，求出平行四边形CBPQ的BC边上的高，求出直线PQ的解析式，最后求出直线PQ与抛物线的交点，即得点P的坐标．【解】（1）设直线BC的解析式为，将B（5，0），C（0，5）代入，得解得129\n∴直线BC的解析式为．将B（5，0），C（0，5）代入，得解得∴抛物线的解析式为．（2）如图①，设点M的坐标为（x，），则N的坐标为（x，），MN===，当时，MN最大值为．MyxOCABN图①（3）如图②，当时，解得，，故A（1，0），B（5，0），∴AB=4．把代入，得，∴点N的坐标为（，），∴，∴．由B（5，0），C（0，5）可得OB=OC=5，BC=，过点C作CD⊥PQ于D，可得平行四边形CBPQ的BC边上的高CD=．129\n图②MPyxOCABNEQD设直线PQ交y轴于点E，由OB=OC，可得∠BCO=45°，∠DCE=45°，∴CE=6，点E的坐标为（0，－1），∴直线PQ的解析式为y=x－1．∵点P同时在抛物线和直线PQ上，∴由，解得，∴P点坐标为P1（2，－3），P2（3，－4）．【方法指导】本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，建立数学模型求二次函数的最大值问题，考查了二次函数与几何图形的综合应用．用待定系数法求函数解析式，一般来说，有几个待定系数就需要找出几个点的坐标；求线段、周长、面积等的最大值或最小值问题，首先需考虑建立怎样的数学模型，使问题转化为求函数的极值问题；解答二次函数与几何问题的综合问题时，需要用到解答几何证明问题的一些思考方法，比如“两头凑”就是思考和解决数学问题的重要而常见的方法．16．（2022江西南昌，25，12分）已知抛物线抛物线yn=－(x－an)2+an（n为正整数，且0<a1<a2<…<an）与x轴的交点为An－1（bn－1,0）和An(bn，0)，当n=1时，第1条抛物线y1=－(x－a1)2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．（1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（，）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（，）;所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是；（3）探究下列结论：①若用An－1An表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出An－1An；②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值；a1的值知道了y1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b1的值，又把（b1，0）代入y2，可求出a2，即得y2的解析式；（2）用同样的方法可求得a3、a4、a5……由此得到规律，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x；（3）由（2）可知得;最后一问我们会猜测这是与直线y=x平行且过A（2，0）的一条直线，用特殊值法取129\n得和，得所截得的线段长度为，换一组抛物线试试，求出的值也为（当然用字母来运算就是解得和，求得所截得的线段长度也为）.[解]（1）∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），∴―a12+a1=0，∴a1=0或1，由已知可知a1>0，∴a1=1，即y1=―(x―1)2+1方法一：令y1=0代入得：―(x―1)2+1=0，∴x1=0，x2=2，∴y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）∴b1=2，方法二：∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），∴―(b1―1)2+1=0，b1=2或0，b 1=0（舍去），∴b1=2，又∴抛物线y2=―(x―a2)2+a2与x轴交于点A1（2，0），∴―(2―a2)2+a2=0，∴a2=1或4，∵a2>a1，∴a2=1（舍去），∴取a2=4，抛物线y2=―(x―4)2+4．（2）（9，9）；（n2，n2）y=x．详解如下：∵抛物线y2=―(x―4)2+4令y2=0代入得：―(x―4)2+4=0，∴x1=2，x2=6，∴y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0），又∵抛物线y3=―(x―a3)2+a3与x轴交于A2（6，0），∴―(6―a3)2+a3=0∴a3=4或9，∵a3>a3，∴a3=4（舍去），只取a3=9，招物线y3的顶点坐标为（9，9），∵由y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），抛物线y3的的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2）．∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x；③∵A0（0，0），A1（2，0），∴A0A1=2，又∵yn=―(x―n2)2+n2，129\n令yn=0，∴―(x―n2)2+n2=0，即x1=n2+n，x2=n2－n，∴An－1(n2－n，0)，An(n2+n，0)，即An－1An=(n2+n)－(n2－n)=2n②存在，是平行于y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x－2．【方法指导】本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最高境界．17.（2022江苏泰州，26，14分）已知：关于x的二欠函数，点，，都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数.(1)若，请说明a必为奇数，(2)设a=11，求使成立的所有n的值;(3)对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在，求n的值(用含a的代数式表示)；如果不存在，请说明理由.【思路分析】（1）根据推出；（2）当a=11时，有，根据增减性，求出n的取值范围；（3）假设存在,则AB=BC，进一步分析，得.【解】(1))若，则即：∴a必为奇数.(2)当a=11时，∵∴化简得：解得：∵n为正整数.∴1、2、3、4.关于x的二欠函数，点，，都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数.(3)假设存在,则AB=BC∴129\n即：两边平方得：化简得:∴【方法指导】本题考查了二次函数的图象与性质、不等式、代数式、等腰三角形等知识综合运用.18．（2022广东广州，25，14分）已知抛物线（a≠0,a≠c）过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。（1）使用a、c表示b;（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线经过点B，且与该抛物线交于另一点C(),求当x≥1时的取值范围。【思路分析】对于（1），把点A（1,0）代入函数式，变形，即可得到；对于（2），有多种思路可以判断点在哪个象限，思路一：根据题意画图，由条件可知图像不经过第三象限就可以推出开口向上，即，由△可以判断出与轴有两个交点，所以其顶点在第四象限；思路二：直接用公式法（或十字相乘法）算出，抛物线与x轴有两个不同的交点的横坐标，分别为，所以确定抛物线顶点在第四象限；对于（3），题目问时，的取值范围，只要把图像画出来就清晰了，难点在于要观察出是抛物线与轴的另一个交点。因为抛物线与x轴有两个不同的交点的横坐标是，由这里可以发现，还可以发现C在A的右侧；可以确定直线经过B、C两点；看图像可以得到，时，大于等于最小值，此时算出二次函数最小值即可，即求出即可，已经知道，算出即可，即是要再找出一个与有关的式子，即可解方程组求出；直线经过B、C两点，把B、C两点坐标代入直线消去，整理即可得到，联立，解得，此时．129\n【解】（1）把点A（1,0）代入函数即可得到．（2）若a＜0，则抛物线开口向下，抛物线必过第三象限，所以，a＜0不成立。当时，抛物线开口向上，B在第四象限。理由如下由题意，可变形为解得所以抛物线与轴有两个交点又因为抛物线不经过第三象限所以，且顶点在第四象限（3）∵在抛物线上，∴把B、C两点代入直线解析式，得解得∴抛物线的对称轴为∴当时，的最小值为顶点纵坐标，且无最大值，即【方法指导】二次函数的问题通常都是其解析式、求对称轴、求顶点坐标、求最值以及与其他知识的综合等，本题基本上综合了上述各种问题，解题的方法就是牢牢抓住二次函数的对称轴的求法，顶点坐标的求法，以及最值的求法．19．（2022山东德州,24,12分）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转900，得到△DOC。抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t。①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F。求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由。129\n【思路分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）求动点P坐标，需要进行探究，分类讨论存在情况，结合相似、列一元二次方程解题；要探究使△PCD的面积最大，寻求PN=PM－NM，S△PCD＝△PCN+△PND列出二次函数模型来解决.【解】（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO=3∵tan∠BAO=∴OB＝OA·tan∠BAO＝3∵△DOC是由△AOB绕原点O逆时针旋转900而得到的。∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0），（0，3），（－3，0）代放抛物线解析式得，a+b+c=0c=39a－3b+c=0解之得，a=－1,b=－2,c=3∴抛物线的解析式为：y=－x2－2x+3（2）①抛物线y=－x2－2x+3的对称轴l为：x==－1∴E点坐标为（－1，4）（ⅰ）当∠CEF＝900时，△CEF∽△COD,此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点。坐标为（－1，4）（ⅱ）当∠CFE＝900时，△CFE∽△COD。过点P做PMCA于点M，则△EFC∽△EMP。于是，,∴MP=3EM.即：－t2－2t+3=3(－1－t)。整理得：t2－t－6=0解之得：t1=－2,t2=－3（不合题意，舍去）。所以此时点P的坐标为（－2，3）所以当△CEF与△COD相似时点P的坐标分别为：（－1，4）或（－2，3）。②设直线CD的解析式为：y=kx+m则得：，解之得：k=,m=1129\n所以直线CD的解析式为：y=x+1设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t,t+1）.∴PN=PM－NM=－t2－2t+3－（t+1）＝－t2－t+2则S△PCD＝△PCN+△PND＝PN×CM+PN×OM=PN×(CM+OM)=PN×OC＝（－t2－t+2）＝－（t+）2+∴当t＝－时，S△PCD的最大值为。【方法指导】本题主要考查二次函数、一次函数与相似三角形、旋转等结合，具有较强探究性、同时融合方程思想、分类讨论思想、函数建摸等.20．（2022山东菏泽，21，10分）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A，C分别是一次函数的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.(1)试求b，c的值、并写出该二次函数表达式；(2)动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问:①当P运动到何处时，有PQ⊥AC?②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?xyOBADC【思路分析】（1）可以求出点A、B坐标，联系等腰三角形、平行四边形在平面直角坐标系中求解B、D坐标，根据代定系数法确定二次函数表达式；（2）运用相似、图形面积计算、二次函数最大（小）值的计算等解决动态型问题.【解】（1）由令，得∴点A（0,3）129\n令，得∴点C（4,0）∵三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形∴点B（－4,0）又∵四边形ABCD能构成平行四边形∴点D的坐标为（8,3）将B（－4,0）、D（8,3）代入二次函数得：，故：该二次函数表达式将B（－4,0）、D（8,3）代入二次函数得：，故：该二次函数表达式为··········3分.（2）PxyOBADCQ①设点P运动到t秒时，有PQ⊥AC，此时AP=t,CQ=t,AQ=，∵PQ⊥AC，则有△APQ∽△CAO,∴，解得即：当点P运动到距A点个单位处，有PQ⊥AC.····6分.②∵,且∴当△APQ面积最大时，四边形PDCQ的面积最小.当动点P运动t秒时AP=t,CQ=t,AQ=设△APQ底边AP上的高为h作QH⊥AD于H，由△AQH∽△CAO可得：（也可由∠HAQ=∠OCA得sin∠HAQ=sin∠OCA得到），∴，∴129\n∴当时，达到最大值，此时，故当点P运动到距A点个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为······10分.为··········3分.（2）①设点P运动到t秒时，有PQ⊥AC，此时AP=t,CQ=t,AQ=，∵PQ⊥AC，则有△APQ∽△CAO,∴，解得即：当点P运动到距A点个单位处，有PQ⊥AC.····6分.②∵,且∴当△APQ面积最大时，四边形PDCQ的面积最小.当动点P运动t秒时AP=t,CQ=t,AQ=设△APQ底边AP上的高为h作QH⊥AD于H，由△AQH∽△CAO可得：（也可由∠HAQ=∠OCA得sin∠HAQ=sin∠OCA得到），∴，∴∴当时，达到最大值，此时，故当点P运动到距A点个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为······10分.【方法指导】本题考查了二次函数、一次函数与三角形、四边形等知识的综合.第（1）问相对容易解决；（2）问从题型看呈现动态探究型问题解决，相对考虑的知识点较多，这与平时把握的知识技能、数学思考等解题质量联系密切突现试题的选拔功能.21．（2022四川凉山州，23，8分）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）。解：在抛物线图象上任取两点（0，3）、（1，4），由题意知：点向左平移1个单位得到（，3），再向下平移2个单位得到（，1）；点向左平移1个单位得到（0，4），再向下平移2个单位得到（0，2）。设平移后的抛物线的解析式为。129\n则点（，1），（0，2）在抛物线上。可得：，解得：。所以平移后的抛物线的解析式为：。根据以上信息解答下列问题：将直线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式。【思路分析】要根据题中所给的信息去解决这个问题.先通过平移后的点的坐标,进而用代入法求出函数解析式.【解】在直线y=2x－3上任取两点A(0,－3),B(1,－1).由题意知:点A向右平移3个单位得A′(3,－3),再向上平移1个单位得到A″(3,－2).点B向右平移3个单位得B′(4,－1),再向上平移1个单位得到B″(4,0).设平移后的直线的解析式为y=kx+b(k≠0),则A″(3,－2),B″(4,0)在直线上,可得所以平移后的直线的解析式为y=2x－8.【方法指导】信息题就是利用所给的信息或是新的解题方法去解决相应的问题，一般是要解决的问题就是按照信息所给的解题方法去解决。22．（2022江西，24，12分）已知抛物线抛物线yn=-(x-an)2+an（n为正整数，且0<a1<a2<…<an）与x轴的交点为An-1（bn-1,0）和An(bn，0)，当n=1时，第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．（1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（，）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（，）;所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是；（3）探究下列结论：①若用An-1An表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出An-1An；②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值；a1的值知道了y1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b1的值，又把（b1，0）代入y2，可求出a2，即得y2的解析式；（2）用同样的方法可求得a3、a4、a5……由此得到规律，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x；（3）由（2）可知得129\n;最后一问我们会猜测这是与直线y=x平行且过A（2，0）的一条直线，用特殊值法取得和，得所截得的线段长度为，换一组抛物线试试，求出的值也为（当然用字母来运算就是解得和，求得所截得的线段长度也为）.[解]（1）∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），∴―a12+a1=0，∴a1=0或1，由已知可知a1>0，∴a1=1，即y1=―(x―1)2+1方法一：令y1=0代入得：―(x―1)2+1=0，∴x1=0，x2=2，∴y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）∴b1=2，方法二：∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），∴―(b1―1)2+1=0，b1=2或0，b 1=0（舍去），∴b1=2，又∴抛物线y2=―(x―a2)2+a2与x轴交于点A1（2，0），∴―(2―a2)2+a2=0，∴a2=1或4，∵a2>a1，∴a2=1（舍去），∴取a2=4，抛物线y2=―(x―4)2+4．（2）（9，9）；（n2，n2）y=x．详解如下：∵抛物线y2=―(x―4)2+4令y2=0代入得：―(x―4)2+4=0，∴x1=2，x2=6，∴y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0），又∵抛物线y3=―(x―a3)2+a3与x轴交于A2（6，0），∴―(6―a3)2+a3=0∴a3=4或9，∵a3>a3，∴a3=4（舍去），只取a3=9，招物线y3的顶点坐标为（9，9），∵由y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），抛物线y3的的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2）．∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x；③∵A0（0，0），A1（2，0），129\n∴A0A1=2，又∵yn=―(x―n2)2+n2，令yn=0，∴―(x―n2)2+n2=0，即x1=n2+n，x2=n2－n，∴An－1(n2－n，0)，An(n2+n，0)，即An－1An=(n2+n)－(n2－n)=2n②存在，是平行于y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x－2．【方法指导】本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最高境界．23．（2022白银，28，12分）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．解答：解：①∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1，∴y=x2﹣3x，②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，129\n∵△AOB的面积等于6，∴AO•BD=6，当0=x2﹣3x，x（x﹣3）=0，解得：x=0或3，∴AO=3，∴BD=4即4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）．又∵顶点坐标为：（1.5，﹣2.25）．∵2.25＜4，∴x轴下方不存在B点，∴点B的坐标为：（4，4）；③∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，BO==4，当∠POB=90°，∴∠POD=45°，设P点横坐标为：﹣x，则纵坐标为：x2﹣3x，即﹣x=x2﹣3x，解得x=2或x=0，∴在抛物线上仅存在一点P（2，﹣2）．∴OP==2，使∠POB=90°，∴△POB的面积为：PO•BO=×4×2=8．点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．24．（2022兰州，28，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．129\n（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．考点：二次函数综合题．分析：（1）将y=mx2﹣2mx﹣3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．解答：解：（1）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y=0时，x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y=x2﹣x﹣．如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，129\n由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x﹣，设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，S△PBC=PQ•OB=×（﹣x2+x）×3=﹣（x﹣）2+，当x=时，S△PBC有最大值，Smax=，×（）2﹣﹣=﹣，P（，﹣）；（3）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m，顶点M坐标（1，﹣4m），当x=0时，y=﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2=（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2=m2+1，MB2=（3﹣1）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（3﹣0）2+（0+3m）2=9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=﹣1（∵m＜0，∴m=1舍去）；②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=19m2+9，解得m=﹣（m=舍去）．综上，m=﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．129\n点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度． 25．（2022年佛山市，24，10分）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．129\n点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．26．（2022广东珠海，22，9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．考点：二次函数综合题．3481324分析：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，OA′=m，在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x，得出A′点坐标，运用待定系数法得到直线OA′的解析式，确定E点坐标（4m，﹣3m），根据抛物线l与线段CE相交，列出关于m的不等式组，求出解集即可；（3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解．解答：解：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入，129\n得，解得，所以抛物线l的解析式为y=﹣x2+2mx+m；（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO，∵矩形OABC中，AD∥OC，∴∠ADO=∠DOM，∴∠A′DO=∠DOM，∴DM=OM．设DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，在Rt△OA′M中，∵OA′2+A′M2=OM2，∴m2+（2m﹣x）2=x2，解得x=m．∵S△OA′M=OM•A′N=OA′•A′M，∴A′N==m，∴ON==m，∴A′点坐标为（m，﹣m），易求直线OA′的解析式为y=﹣x，当x=4m时，y=﹣×4m=﹣3m，∴E点坐标为（4m，﹣3m）．当x=4m时，﹣x2+2mx+m=﹣（4m）2+2m•4m+m=﹣8m2+m，即抛物线l与直线CE的交点为（4m，﹣8m2+m），∵抛物线l与线段CE相交，∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0，∵m＞0，∴﹣3≤﹣8m+1≤0，解得≤m≤；（3）∵y=﹣x2+2mx+m=﹣（x﹣m）2+m2+m，≤m≤，129\n∴当x=m时，y有最大值m2+m，又∵m2+m=（m+）2﹣，∴当≤m≤时，m2+m随m的增大而增大，∴当m=时，顶点P到达最高位置，m2+m=（）2+=，故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（，）．点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，两个函数交点坐标的求法，二次函数、矩形的性质，解不等式组等知识，综合性较强，有一定难度．（2）中求出A′点的坐标是解题的关键． 27．（2022广西钦州，26，12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；（2）若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由；（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．129\n考点：二次函数综合题．专题：探究型．分析：（1）由y=x2+2x得，y=（x﹣2）2﹣2，故可得出抛物线的顶点A的坐标，令x2+2x=0得出点B的坐标过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由∠ADO=90°可知点D的坐标，故可得出OD=AD，由此即可得出结论；（2）由题意可知抛物线m的二次项系数为，由此可得抛物线m的解析式过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，根据勾股定理可求出OC的长，同理可得AC的长，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，由此即可得出结论；（3）过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，由于OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根据CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG，根据全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出点C′的坐标把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x进行检验即可得出结论；（4）由于点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，故设Q（a，（a﹣2）2﹣4），由于OC为该四边形的一条边，故OP为对角线，由于点P在x轴上，根据中点坐标的定义即可得出a的值，故可得出结论．解答：解：（1）∵由y=x2+2x得，y=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），令x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣4，∴点B的坐标为（﹣4，0），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∴∠ADO=90°，∴点A的坐标为（﹣2，﹣2），点D的坐标为（﹣2，0），∴OD=AD=2，∴∠AOB=45°；（2）四边形ACOC′为菱形．129\n由题意可知抛物线m的二次项系数为，且过顶点C的坐标是（2，﹣4），∴抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣2，过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2，∴OC===2，同理，AC=2，OC=AC，由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，故四边形ACOC′为菱形．（3）如图1，点C′不在抛物线y=x2+2x上．理由如下：过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，∴∠COH=∠C′OG，∵CE∥OH，∴∠OCE=∠C′OG，又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，∴△CEO≌△C′GO，∴OG=4，C′G=2，∴点C′的坐标为（﹣4，2），把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x得y=0，∴点C′不在抛物线y=x2+2x上；（4）存在符合条件的点Q．∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，∴设Q（a，（a﹣2）2﹣4），∵OC为该四边形的一条边，∴OP为对角线，∴=0，解得x1=6，x2=4，∴P（6，4）或（﹣2，4）（舍去），∴点Q的坐标为（6，4）．129\n点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，难度适中．28．（2022贵州安顺，26，10分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．129\n（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答．解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）存在．由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，应舍去，∴x=，∴y=4﹣x=，即点P坐标为．②若以CD为一腰，∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）．∴符合条件的点P坐标为或（2，3）．（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=，∴CB2+CD2=BD2=20，∴∠BCD=90°，设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，∵CF=DF=1，∴∠CDF=45°，由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3），∴DM∥BC，∴四边形BCDM为直角梯形，由∠BCD=90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．129\n综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．点评：此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性． 29．（（2022贵州毕节，27，16分）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到；（2）关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度；（3）本问为存在型问题．可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论．解答：解：（1）∵点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax2+b上，∴，解得：a=﹣1，b=1，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+1，抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于y轴对称，∴B（﹣1，0）．（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：129\n，解得k=﹣1，b=1，∴y=﹣x+1．∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为y=﹣x+n，∵点B（﹣1，0）在直线BD上，∴0=1+n，得n=﹣1，∴直线BD的解析式为：y=﹣x﹣1．将y=﹣x﹣1代入抛物线的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x2+1，解得：x1=2，x2=﹣1，∵B点横坐标为﹣1，则D点横坐标为2，D点纵坐标为y=﹣2﹣1=﹣3，∴D点坐标为（2，﹣3）．如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=；∴四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD=+++=+．（3）假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：（I）若△BPE∽△BDC，如答图②所示，则有，即，∴PE=3BE．设OE=m（m＞0），则E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，∴点P的坐标为（﹣m，3﹣3m）．∵点P在抛物线y=﹣x2+1上，∴3﹣3m=﹣（﹣m）2+1，解得m=1或m=2，当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去．因此，此种情况不存在；（II）若△EBP∽△BDC，如答图③所示，则有，即，∴BE=3PE．设OE=m（m＞0），则E（m，0），BE=1+m，PE=BE=（1+m）=+m，∴点P的坐标为（m，+m）．∵点P在抛物线y=﹣x2+1上，∴+m=﹣（m）2+1，解得m=﹣1或m=，∵m＞0，故m=1舍去，∴m=，点P的纵坐标为：+m=+×=，∴点P的坐标为（，）．综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（，）．129\n点评：本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点．第（2）问的解题要点是求出点D的坐标，第（3）问的解题要点是分类讨论．30．（2022湖北孝感，22，10分）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．129\n（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？考点：二次函数的应用；一次函数的应用．分析：（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b．，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可；（2）根据题意：每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．解答：解：（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b．由题意可得：解得故y与x的函数关系式为：y=﹣3x+108．（2）每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20）=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3（x﹣28）2+192．故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．点评：本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．31（2022湖北孝感，25，12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）取AB的中点G，连接EG，利用SSS能得到△AGE与△ECF全等；（2）①在AB上截取AM=EC，证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF；②过点F作FH⊥129\nx轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a﹣1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标；解答：（1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG．△AGE与△ECF全等． （2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．证明：如图2，在AB上截取AM=EC．∵AB=BC，∴BM=BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠AME=180°﹣45°=135°，又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF．而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△AME≌△ECF．∴AE=EF．②过点F作FH⊥x轴于H，由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a﹣1，∴点F的坐标为F（a，a﹣1）∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，∴a﹣1=﹣a2+a+1，∴a2=2，（负值不合题意，舍去），∴．∴点F的坐标为．点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想，是一道好题．32．（2022湖北宜昌，22，12分）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1129\n=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A （t，4） ，k= （k＞0） ；（2）随着三角板的滑动，当a=时：①请你验证：抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y=的图象上；②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值；（2）①求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=，若该点满足函数解析式y=，即表示该顶点在函数y=图象上；反之，该顶点不在函数y=图象上；②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y1=x（x﹣t）即可求得t=2；（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是+4．则t+4=+4，由此可以求得a与t的关系式．解答：解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，∴点A的坐标是（t，4）．又∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0），∴4=kt，则k=（k＞0）．（2）①当a=时，y1=x（x﹣t），其顶点坐标为（，﹣）．129\n对于y=来说，当x=时，y=×=﹣，即点（，﹣）在抛物线y=上．故当a=时，抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y=的图象上；②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．∵AC⊥x轴，∴AC∥EK．∵点E是线段AB的中点，∴K为BC的中点，∴EK是△ACB的中位线，∴EK=AC=2，CK=BC=2，∴E（t+2，2）．∵点E在抛物线y1=x（x﹣t）上，∴（t+2）（t+2﹣t）=2，解得t=2．（3）如图2，，则x=ax（x﹣t），解得x=+4，或x=0（不合题意，舍去）．．故点D的横坐标是+t．当x=+t时，|y2﹣y1|=0，由题意得t+4=+t，解得a=（t＞0）．点评：129\n本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．33．[2022湖南邵阳，25，8分]如图(二)所示，已知抛物线y=-2x2-4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到抛物线F.(1)求抛物线F所表示的解析式；(2)设抛物线F和x轴相交于点O、点B(点B位于点O的右侧)，顶点为C.点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴距离的2倍，求AB所在直线的解析式.知识考点：二次函数图象的平移，二次函数与一次函数结合.审题要津：（1）将二次函数解析式变换为顶点式，在根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答；（2）利用待定系数法求一次函数解析式.满分解答：解：(1)∵y=-2x2-4x=-2(x2+2x)=-2(x+1)2+2.∴将抛物线y=-2x2-4x向右平移两个单位后的解析式为y=-2(x+1-2)2+2，即y=-2x2+4x.(2)解方程-2x2+4x=0，得x1=0，x2=4.∴O(0,0),B(4,0).∵y=-2(x-1)2+2，∴C(1,2)，所以点C到x轴的距离为2.∴点A到x轴的距离为4，∵点A在y轴的负半轴上，∴A(0，-4).设直线AB的解析式为y=kx+c，∴有，解得.∴直线AB的解析式为y=-x+4.名师点评：本题考查了二次函数图象的平移，一次函数解析式的确定，解题的关键是求出F图象的解析式.34．（2022湖南郴州，25，10分）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．（1）证明：△PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．129\n考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形．分析：（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．解答：（1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形；（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k，∴EM=CM•tanC=•k=，同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣，由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，所以，S△PCE=x•2x=x2，S△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，=64﹣x2﹣（8﹣x）2，129\n=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，所以，当x=4时，S有最大值32．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．35 ．（2022湖南娄底，24，10分）（2022•娄底）已知：一元二次方程x2+kx+k﹣=0．（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设k＜0，当二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？考点：二次函数综合题．分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定已知方程的根的情况；（2）利用根与系数的关系（|xA﹣xB|==4）列出关于k的方程，通过解方程来求k的值；（3）根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围．解答：（1）证明：∵△=k2﹣4××（k﹣）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，∴关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）令y=0，则x2+kx+k﹣=0．∵xA+xB=﹣2k，xA•xB=2k﹣1，∴|xA﹣xB|===2|k﹣1|=4，即|k﹣1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=﹣1．∴此二次函数的解析式是y=x2﹣x﹣；（3）由（2）知，抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣．易求A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2），∴AB=4，AC=2，BC=2．显然AC2+BC2=AB2，得△ABC是等腰直角三角形．AB为斜边，∴外接圆的直径为AB=4，∴﹣2≤m≤2．129\n点评：本题综合考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有：抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式以及直线与圆的关系，范围较广，难度较大．36.（2022江苏南京，26，9分）已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数，且a¹0)。(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。当△ABC的面积等于1时，求a的值：当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。解析：(1)证明：y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am。因为当a¹0时，[-(2am+a)]2-4a(am2+am)=a2>0。所以，方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根。所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分)(2)解：jy=a(x-m)2-a(x-m)=(x-)2-，所以，点C的坐标为(,-)。当y=0时，a(x-m)2-a(x-m)=0。解得x1=m，x2=m+1。所以AB=1。当△ABC的面积等于1时，´1´|-|=1。所以´1´(-)=1，或´1´=1。所以a=-8，或a=8。k当x=0时，y=am2+am，所以点D的坐标为(0,am2+am)。当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，129\n´1´|-|=´1´|am2+am|。所以´1´(-)=´1´(am2+am)，或´1´=´1´(am2+am)。所以m=-，或m=，或m=。(9分)37（2022湖南张家界，25，12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，129\n将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（﹣1，0）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．129\n点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．本题难点在于第（4）问，如何充分利用轴对称的性质确定△PCF周长最小时的几何图形，是解答本题的关键．38．（2022·聊城，25，?分）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．考点：二次函数综合题．129\n分析：（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y＝48时代入解析式就可以求出其值；（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值．（3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C交直线L于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值．解答：解：（1）由题意，得y＝＝－x2＋10x，当y＝48时，－x2＋10x＝48，解得：x1＝12，x2＝8，∴面积为48时BC的长为12或8；（2）∵y＝－x2＋10x，∴y＝－（x－10）2＋50，∴当x＝10时，y最大＝50；（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下：由（2）可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10，过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C交直线L于点A′，再连接A′B，AB′则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB，∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C，当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC＞B′C＋BC，当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC，因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；这时由作法可知：BB′＝20，∴B′C＝＝10，∴△ABC的周长＝10＋10，因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10＋10．129\n点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键． 39（2022·泰安，29，?分）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C（0，－4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．考点：二次函数综合题．129\n分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．解答：解：（1）把点C（0，－4），B（2，0）分别代入y＝x2＋bx＋c中，得，解得∴该抛物线的解析式为y＝x2＋x－4．（2）令y＝0，即x2＋x－4＝0，解得x1＝－4，x2＝2，∴A（－4，0），S△ABC＝AB•OC＝12．设P点坐标为（x，0），则PB＝2－x．∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC，∠BEP＝∠BCA，∴△PBE∽△ABC，∴，即，化简得：S△PBE＝（2－x）2．S△PCE＝S△PCB－S△PBE＝PB•OC－S△PBE＝×（2－x）×4－（2－x）2＝x2－x＋＝（x＋1）2＋3∴当x＝－1时，S△PCE的最大值为3．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM＝DO时，如答图①所示．DO＝DM＝DA＝2，∴∠OAC＝∠AMD＝45°，∴∠ADM＝90°，∴M点的坐标为（－2，－2）；（II）当MD＝MO时，如答图②所示．129\n过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN＝ON＝1，AN＝AD＋DN＝3，又△AMN为等腰直角三角形，∴MN＝AN＝3，∴M点的坐标为（－1，－3）；（III）当OD＝OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，∴点O到AC的距离为×4＝，即AC上的点与点O之间的最小距离为．∵＞2，∴OD＝OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（－2，－2）或（－1，－3）．点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏． 40．（2022·鞍山，26，10分）如图，已知一次函数y＝0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y＝0.5x+2的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．129\n考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y＝0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．得出可设二次函数y＝ax2+bx+c＝a（x－2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．解答：解：（1）∵y＝0.5x+2交x轴于点A，∴0＝0.5x+2，∴x＝－4，与y轴交于点B，∵x＝0，∴y＝2∴B点坐标为：（0，2），∴A（－4，0），B（0，2），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2把B（0，2）代入得：a＝0.5∴二次函数的解析式：y＝0.5x2－2x+2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴＝，∴＝，得：OP1＝1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y＝0.5x+2与y＝0.5x2－2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD＝，当D为直角顶点时∵∠DAP2＝∠BAO，∠BOA＝∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，∴＝，＝，解得：AP2＝11.25，则OP2＝11.25－4＝7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴，∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．129\n点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解． 41．（2022•徐州，26，8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为 ；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为 1．8或2．5 ；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．分析：（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形；②当AC＝3，BC＝4时，分两种情况：129\n（I）若CE：CF＝3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；（II）若CF：CE＝3：4，如答图3所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A＝∠ECD与∠B＝∠FCD，从而得到CD＝AD＝BD，即D点为AB的中点；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE＝∠A，∠C＝∠C，从而可以证明两个三角形相似．解答：解：（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示．此时D为AB边中点，AD＝AC＝．②当AC＝3，BC＝4时，有两种情况：（I）若CE：CF＝3：4，如答图2所示．∵CE：CF＝AC：BC，∴EF∥BC．由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴BC＝5，∴cosA＝．AD＝AC•cosA＝3×＝1．8；（II）若CF：CE＝3：4，如答图3所示．∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠B．由折叠性质可知，∠CEF＋∠ECD＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD．同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，∴此时AD＝AB＝×5＝2．5．综上所述，当AC＝3，BC＝4时，AD的长为1．8或2．5．129\n（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q．∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝DB＝AB，∴∠DCB＝∠B．由折叠性质可知，∠CQF＝∠DQF＝90°，∴∠DCB＋∠CFE＝90°，∵∠B＋∠A＝90°，∴∠CFE＝∠A，又∵∠C＝∠C，∴△CEF∽△CBA．点评：本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质．第（1）②问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意． 42．（2022•徐州，27，10分）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：每月用气量单价（元/m3）不超出75m3的部分2．5超出75m3不超出125m3的部分a超出125m3的部分a＋0．25（1）若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费 150 元；（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据单价×数量＝总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；（2）结合统计表的数据）根据单价×数量＝总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175－x）m3，分3种情况：x＞125，175－x≤75时，75＜x≤125，175－x≤75时，当75＜x≤125，75＜175－x≤125时分别建立方程求出其解就可以．解答：解：（1）由题意，得60×2．5＝150（元）；（2）由题意，得a＝（325－75×2．5）÷（125－75），a＝2．75，∴a＋0．25＝3，设OA的解析式为y1＝k1x，则有2．5×75＝75k1，∴k1＝2．5，∴线段OA的解析式为y1＝2．5x（0≤x≤75）；设线段AB的解析式为y2＝k2x＋b，由图象，得，解得：，129\n∴线段AB的解析式为：y2＝2．75x－18．75（75＜x≤125）；（385－325）÷3＝20，故C（145，385），设射线BC的解析式为y3＝k3x＋b1，由图象，得，解得：，∴射线BC的解析式为y3＝3x－50（x＞125）（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175－x）m3，当x＞125，175－x≤75时，3x－50＋2．5（175－x）＝455，解得：x＝135，175－135＝40，符合题意；当75＜x≤125，175－x≤75时，2．75x－18．75＋2．5（175－x）＝455，解得：x＝145，不符合题意，舍去；当75＜x≤125，75＜175－x≤125时，2．75x－18．75＋2．75（175－x）＝455，此方程无解．∴乙用户2、3月份的用气量各是135m3，40m3．点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了单价×数量＝总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 43．（2022•徐州，28，10分）如图，二次函数y＝x2＋bx－的图象与x轴交于点A（－3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标： （－3，4） ；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；129\n（2）PA＝t，OE＝l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．解答：解：（1）（－3，4）；（2）设PA＝t，OE＝l，由∠DAP＝∠POE＝∠DPE＝90°得△DAP∽△POE，∴，∴l＝－＋＝－（t－）2＋∴当t＝时，l有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在．①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（－4，0）由△PAD∽△OEG得OE＝PA＝1，∴OP＝OA＋PA＝4。∵△ADG∽△OEG，∴AG：GO＝AD：OE＝4：1∴AG＝＝∴重叠部分的面积＝＝②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），此时重叠部分的面积为129\n点评：本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．44．（2022·鞍山，18，2分）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；（2）根据“利润＝（售价－成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．解答：解：（1）由题意，可设y＝kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y＝－10000x+80000；（2）设利润为W，则W＝（x－4）（－10000x+80000）＝－10000（x－4）（x－8）＝－10000（x2－12x+32）＝－10000[（x－6）2－4]＝－10000（x－6）2+40000所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．点评：本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识． 45．（2022•东营，24，12分）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，－1）．129\nAO（第24题图）xyB(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0<t<10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解．（2）设C点坐标为（x，y），由题意可知．过点C作轴于点D，连接AB，AC．易证，根据对应线段成比例得出的关系式，再根据点C在抛物线上得，联立两个关系式组成方程组，求出的值，再根据点C所在的象限确定点C的坐标。P为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．可得，故点H的坐标为（5，0）再根据点P在BC上，可求出直线BC的解析式，求出点P的坐标。（3）根据，得，所以求的最大值就是求MN的最大值，而M，N两点的横坐标相同，所以MN就等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标，从而形成关于MN长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。解：(1)∵抛物线的顶点是A(2，0)，设抛物线的解析式为．由抛物线过B(0，－1)得，∴．……………………2分∴抛物线的解析式为．129\n即．………………………………3分(2)设C的坐标为(x，y)．A（第24(2)答案图）xOyCBPHD∵A在以BC为直径的圆上．∴∠BAC=90°．作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．∵，∴∴△AOB∽△CDA．………………………4分∴∴OB·CD=OA·AD．即1·=2(x－2)．∴=2x－4．∵点C在第四象限．∴………………………………5分由解得．∵点C在对称轴右侧的抛物线上．∴点C的坐标为(10，－16)．……………………6分∵P为圆心，∴P为BC中点．取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．∴PH=(OB+CD)=．……………………7分129\n∵D(10，0)∴H(5，0)∴P(5，)．故点P坐标为(5，)．…………………………8分(3)设点N的坐标为，直线x=t（0<t<10）与直线BC交于点M．，AxOyCBMNx=t（第24(3)答案图）所以………………………9分设直线BC的解析式为，直线BC经过B(0，－1)、C(10，－16)所以成立，解得：…………………………10分所以直线BC的解析式为，则点M的坐标为．MN==………………………11分129\n==所以，当t=5时，有最大值，最大值是．…………………………12分点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h，k）一般可设其解析式为．(2)求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解．46．（2022·济宁，23，?分）如图，直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．考点：一次函数综合题．分析：（1）根据直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．解答：解：（1）∵直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，129\n∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴==，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，∵EP∥BO，∴==，∴AP=2t，∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则OQ=FQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，∴8－3t=t，解得：t=2，如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8－2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8，∴t=3t－8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8－3t）•t=8t－3t2，当t=－=时，S矩形PEFQ的最大值为：=4，如图2，当Q在P点的右边时，∵OQ=t，PA=2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8，∴S矩形PEFQ=QP•QE=（3t－8）•t=3t2－8t，∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴0≤t≤4，当t=－=时，S矩形PEFQ的最小，∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42－8×4=16，综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．129\n点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键． 47（2022•新疆12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．【思路分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；129\n（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．129\n【方法指导】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．48(.2022杭州10分）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．【思路分析】根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8，然后分①n=8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围；②n=﹣8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围．【解析】根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8．分类讨论：①n=8时，易得A（﹣6，0）如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a＜0，∵AB=16，且A（﹣6，0），∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x==2，要使y1随着x的增大而减小，则a＜0，∴x＞2；（2）n=﹣8时，易得A（6，0），如图2，∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a＞0，∵AB=16，且A（6，0），129\n∴B（﹣10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x==﹣2，要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，∴x＜﹣2．【方法指导】本题考查了二次函数的性质，主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，难点在于要分情况讨论． 49.（2022•嘉兴14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？【思路分析】（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m2+m+4，将m=代入y=﹣m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．【解析】（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2，129\n∴点B的坐标为（0，2）．（2）延长EA，交y轴于点F，∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF=AE，∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m），∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，∴△ABF∽△DAE，∴=，即：=，∴DE=4．（3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m），∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4），∴x=2m，y=﹣m2+m+4，∴y=﹣•++4，∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4，②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），129\n点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：m+4=﹣m2+m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．【方法指导】：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．50.（2022浙江丽水10分）如图，已知抛物线与直线交于点O（0，0），A（，12），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作轴、轴的平行线与直线OA交于点C，E。（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（，），求出，之间的关系式。129\n51.2022浙江丽水12分）如图1，点A是轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作轴的垂线，垂足为F，过点B作轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为（1）当时，求CF的长；（2）①当为何值时，点C落在线段BD上？②设△BCE的面积为S，求S与之间的函数关系式；（3）如图2，当点C与点E重合时，△CDF沿轴左右平移得到△C’D’F’，再将A，129\nB，C’，D’为顶点的四边形沿C’F’剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。129\n52.（2022•宁波9分）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．【思路分析】（1）利用交点式得出y=a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=﹣x2，进而得出答案．【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a=﹣3，解得：a=﹣1，故抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）（x﹣3），即y=﹣x2+4x﹣3，∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=﹣x上．【方法指导】此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键．53.（2022•宁波14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．129\n（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．【思路分析】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；（2）①先证出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x；（3）当=2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB，===2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4﹣OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=x+，最后根据求出点P的坐标即可；当=时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB，===，得出FG=8，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据即可求出点P的坐标【解析】1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=﹣1，则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD，∴∠BOD=∠CDO，129\n∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，②连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DPE=45°，∴∠DFE=∠DPE=45°，∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=DE，即y=x；（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH，又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB，∴===2，∴FH=2，OD=2BH，∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OE=FH=2，∴EF=OH=4﹣OD，∵DE=EF，∴2+OD=4﹣OD，解得：OD=，∴点D的坐标为（0，），∴直线CD的解析式为y=x+，由得：，则点P的坐标为（2，2）；当=时，连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，129\n∵∠DEP=∠DPA，∴∠DBE=∠DAP=45°，∴△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得：△BOD∽△FGB，∴===，∴FG=8，OD=BG，∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四边形OEFG是矩形，∴OE=FG=8，∴EF=OG=4+2OD，∵DE=EF，∴8﹣OD=4+2OD，OD=，∴点D的坐标为（0，﹣），直线CD的解析式为：y=﹣x﹣，由得：，∴点P的坐标为（8，﹣4），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．129\n【方法指导】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．54.2022•衢州12分）在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值；（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可；（3）存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值．【解析】（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC=∠OAB=90°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠DOQ=45°，∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，∴AO=AD=2，OD=2，∴t==2；（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，129\n∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t，∴OG=PG=t，∴点P（t，t）又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得：PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2，即：2t2+[（6﹣2t）2+22]=（6﹣t）2+（2﹣t）2，整理得：4t2﹣8t=0，解得：t1=0（舍去），t2=2，∴t=2，②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2，∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]=2t2，整理得：t2﹣10t+20=0，解得：t=5±．∴当t=2或t=5+或t=5﹣时，△PQB为直角三角形．解法2：①如图2，当∠PQB=90°时，易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD∴∠BQC=∠POQ=45°可得QC=BC=2，∴OQ=4，∴2t=4，∴t=2，②如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC上，作PN⊥x轴于点N，交AB于点M，则易证∠PBM=∠CBQ，∴△PMB∽△QCB∴=，∴CB•PM=QC•MB，∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（t﹣6），化简得t2﹣10t+20=0，解得：t=5±，∴t=5﹣；③如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC的延长线上，作PN⊥x轴于点N，交AB延长线于点M，则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC，∴△PMB∽△QCB，∴=，∴CB•PM=QC•MB，∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（t﹣6），化简得t2﹣10t+20=0，解得：t=5±，∴t=5+；129\n（3）存在这样的t值，理由如下：将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形．∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t，t），∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t﹣6，t﹣2），代入y=﹣（x﹣t）2+t，得：2t2﹣13t+18=0，解得：t1=，t2=2．【方法指导】本题考查了相似形综合题，涉及了动点问题，勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的t值，同时要数形结合进行思考，难度较大．55.（2022•绍兴14分）抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求点B及点D的坐标．（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．129\n【思路分析】（1）解方程（x﹣3）（x+1）=0，求出x=3或﹣1，根据抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y=（x﹣3）（x+1）配方，写成顶点式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即可确定顶点D的坐标；（2）①根据抛物线y=（x﹣3）（x+1），得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则==，得出Q的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y=﹣x﹣56，直线BD的解析式为y=2x﹣6，解方程组，即可求出点P的坐标；②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在【解析】（1）∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，解得x=3或﹣1，∴点B的坐标为（3，0）．∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）①如右图．∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，∴C点坐标为（0，﹣3）．∵对称轴为直线x=1，∴点E的坐标为（1，0）．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），∴CH=DH=1，∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，∴∠CDB=∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴==，∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．129\n∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6．由方程组，解得．∴点P的坐标为（，﹣）；②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴==，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=∠DCF=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF=a，∴MF=MN+NF=3a，∴MG=FG=a，∴CG=FG﹣FC=a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=，∴M（，﹣）；若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴==，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF=a，∴MF=MN﹣NF=a，129\n∴MG=FG=a，∴CG=FG+FC=a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5，∴M（5，12）；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．∵∠CMN=∠BDE＜45°，∴∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，∴点M不存在．综上可知，点M坐标为（，﹣）或（5，12）．129\n【方法指导】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（2）中第②问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．57.（2022上海市，24，12分）如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，=2，．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结，求的大小；（3）如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．129\n（第24题图）y-1Ox2-11123-2358.（2022陕西，24，10分）在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．（1）写出这个二次函数的对称轴；（2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，129\n当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A，那么它的表达式可表示为：]考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（1）问主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。解析：本题中（1）由抛物线的轴对称性可知，与x轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D与E的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题；解：（1）对称轴为直线：x=2。（2）∵A（1，0）、B（3，0），所以设即当x=0时，y=3a，当x=2时，y=∴C（0，3a），D(2,-a)∴OC=|3a|,∵A（1，0）、E（2，0），∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a|在△AOC与△DEB中，∵∠AOC=∠DEB=90°∴当时，△AOC∽△DEB∴时，解得或当时，△AOC∽△BED∴时，此方程无解，综上所得：所求二次函数的表达式为：或59.（2022四川内江，28，12分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．129\n考点：二次函数综合题．分析：（1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最后得出结论；（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式．解答：解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），令x=0，得y=﹣5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）．依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a=15a，而S△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1；（2）如解答图所示，在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，∵a＞0，∴a=，129\n∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，避免出错．注意第（1）问中求△ACD面积的方法． 60.（2022四川遂宁，25，12分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A，B两点分别代入y=x2+bx+c进而求出解析式即可；129\n（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．解答：解：（1）∵y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）∴由此得，解得．∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+，∵直线y=kx﹣经过点A（2，0）∴2k﹣=0，解得：k=，∴直线的解析式是y=x﹣，（2）设P的坐标是（x，x2﹣x+），则M的坐标是（x，x﹣）∴PM=（x2﹣x+）﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，解方程得：，，∵点D在第三象限，则点D的坐标是（﹣8，﹣7），由y=x﹣得点C的坐标是（0，﹣），∴CE=﹣﹣（﹣7）=6，由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即﹣x2﹣x+=6解这个方程得：x1=﹣2，x2=﹣4，符合﹣8＜x＜2，当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3，当x=﹣4时，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=，因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）；（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6由勾股定理得：DC=∴△CDE的周长是24，∵PM∥y轴，∵∠PMN=∠DCE，∵∠PNM=∠DEC，129\n∴△PMN∽△CDE，∴=，即=，化简整理得：l与x的函数关系式是：l=﹣x2﹣x+，l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，∵﹣＜0，∴l有最大值，当x=﹣3时，l的最大值是15．点评：此题主要考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交点求法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出PM=CE进而得出等式是解题关键．61．（2022贵州省黔东南州，24，14分）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式；（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．考点：二次函数综合题．分析：（1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；129\n（2）确定出抛物线与x轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象．由图象可以直观地看出使得y1≥y2的x的取值范围；（3）首先求出点B的坐标及线段AB的长度；设△PAB中，AB边上的高为h，则由S△PAB≤6可以求出h的范围，这是一个不等式，解不等式求出xP的取值范围．解答：解：（1）∵抛物线与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2，∴交点的纵坐标为2+1=3，即交点坐标为（2，3）．设抛物线的解析式为y1=a（x﹣1）2+4，把交点坐标（2，3）代入得：3=a（2﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为：y1=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3．（2）令y1=0，即﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图：根据图象，可知使得y1≥y2的x的取值范围为﹣1≤x≤2．（3）由（2）可知，点A坐标为（3，0）．令x=3，则y2=x+1=3+1=4，∴B（3，4），即AB=4．设△PAB中，AB边上的高为h，则h=|xP﹣xA|=|xP﹣3|，S△PAB=AB•h=×4×|xP﹣3|=2|xP﹣3|．已知S△PAB≤6，2|xP﹣3|≤6，化简得：|xP﹣3|≤3，去掉绝对值符号，将不等式化为不等式组：﹣3≤xP﹣3≤3，129\n解此不等式组，得：0≤xP≤6，∴当S△PAB≤6时，点P的横坐标x的取值范围为0≤xP≤6．点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、三角形的面积、解不等式（组）等知识点．题目难度不大，失分点在于第（3）问，点P在线段AB的左右两侧均有取值范围，注意不要遗漏．62．（2022河北省，25，12分）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．（1）用含x和n的式子表示Q；（2）当x=70，Q=450时，求n的值；（3）若n=3，要使Q最大，确定x的值；（4）设n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是（－，）次数n21速度x4060指数Q420100解析：（1）设，∴由表中数据，得，解得∴4分（2）由题意，得∴n=26分129\n（3）当n=3时，由可知，要使Q最大，=909分（4）由题意，得10分即，解得，或=0（舍去）∴m=5012分63．（2022湖北省鄂州市，23，10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件） 1000﹣10x 销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000 （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．分析：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，利润=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．解答：解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x销售玩具获得利润w（元）﹣10x2+1300x﹣30000（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）根据题意得解之得：44≤x≤46w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250∵a=﹣10＜0，对称轴x=65129\n∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．∴当x=46时，W最大值=8640（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大． 64．（2022湖北省咸宁市，1，9分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？考点：二次函数的应用．分析：（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由利润=销售价﹣成本价，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．解答：解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000129\n∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大． 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